精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年下学期八年级数学学情自测

数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026年2月6日在米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行了第25届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项C的图案是轴对称图形． 2. 在下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解重庆园博园春节期间的游客量 B. 了解捷龙三号运载火箭的设备零件的质量情况 C. 了解八年级某班学生的近视情况 D. 了解一捆百元钞票中的假钞情况 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A中重庆园博园春节期间游客量较大，调查范围广，适合抽样调查； 选项B中运载火箭零件质量对安全性要求极高，需要逐一检查，适合普查； 选项C中调查一个班级学生的近视情况，调查范围小，适合普查； 选项D中假钞调查需要逐张确认，适合普查． 3. 超导量子计算原型机“祖冲之三号”量子比特相干时间达到0.00072秒，其中数据0.00072用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：0.00072用科学记数法表示为． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 5. 若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据解析式得到一次项系数k的值，判断函数增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可得到与的大小关系． 【详解】解： 在一次函数中，， 随的增大而增大， ， ． 6. 估计的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算化简后无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解：， 又， ∴， 不等式两边同时减2，可得，即， 因此原式的值在1到2之间． 7. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数与正比例函数的图象，判断、的取值范围，再根据、的取值范围判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数的图象是随的增大而减小， ， 正比例函数的图象是随的增大而增大， ， 一次函数的图象是随的增大而减小，与轴交点的坐标是， ， 图象与轴的交点在轴正半轴， 函数图象过第一、二、四象限． 8. 如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 9. 如图，在正方形中，点为线段上一动点，连接，交对角线于点．过作交延长线于，交延长线于，连接．取中点，连接．若，则一定等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质证明，得到对应边和对应角相等，得证为等腰直角三角形，继而得到，，根据直角三角形斜边中线定理得到，继而得到． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， 为中点， 在中，， 为等腰三角形，， 又是的外角， ， ， ． 10. 已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式乘法与代数式求值，根据单项式乘法的性质，两个单项式乘积相等等价于对应指数和相等，据此逐个判断三个说法即可． 【详解】解：①当时， ，为正整数， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 存在多组解，因此不能推出，，故①错误． ②若满足，由可得， 问题转化为：在（）中，找出所有不重复的不同数对，使得数对的和相等， 列举计算得： 和为：共1种情况； 和为：共1种情况； 和为：共3个不同数对，任选2组，共3种情况； 和为：共1种情况； 和为：共1种情况； 总计种，故②正确． ③若五个单项式的乘积等于另外五个单项式的乘积，则所有10个指数的总和为偶数，（因为总和等于两倍的五个指数的和）， 设10个相邻单项式的指数为， 总和为， 是偶数，是奇数， 总和是奇数，不可能是偶数，因此不存在满足条件的情况，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 14. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于一点，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系． 根据函数图象的交点，是同时满足两个函数解析式的点，也是对应方程组的公共解，解得点的坐标即可得到答案． 【详解】解：点在直线上， 代入得：， 交点的坐标为， 关于，的二元一次方程组，相当于函数的函数图象的交点坐标， 两函数图像交于， 方程组的解为． 15. 如图，已知，过点作交于点，在延长线上取一点，使得，连接，交于点，若平分，且，，则点到的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过点C作于点H，证明，得到，然后利用勾股定理求出，，证明出，求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H ∵， ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点到的距离为． 16. 一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为0，且个位数字与百位数字之和是十位数字与千位数字之和的2倍，则称为“双倍数”．对于一个“双倍数”，若顺次取出的前两位数字所组成的两位数为，顺次取出后两位数字所组成的两位数为，记．例如：对于四位自然数4935，因为，所以4935是“双倍数”，．若是最小的“双倍数”，则______；若“双倍数”（其中，，，且、、都为整数）满足与均是整数，则的值为______． 【答案】 ①. 24 ②. 4626 【解析】 【分析】为了使其尽可能小，应使高位的数字尽可能小，不妨令最小的“双倍数”的千位、百位，根据题意，，为了使十位最小，取，则，从而推出最小的双倍数；根据题意可知，，，可得当时，是完全平方数，得是整数；再由是完全平方数，求出，即可求N． 【详解】解：设，（是均不为0的自然数） ∵为了使四位数尽可能小，应使其高位的数字尽可能小， ∴不妨令最小的“双倍数”的千位、百位， ∵， ∴， ∴, ∴为了使十位最小，又不能为0， ∴令，那么， ∴最小的“双倍数”为1113； ∴； ∵， ∴其千位，百位，十位，个位， ∵，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴； ∴ 代入得， ∴， ∵是整数， ∴是完全平方数， 又， ∴ ∴， ∴， ∴当时，是完全平方数， ∴是整数； ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴是完全平方数， ∵， ∴， 又∵， ∴， 当时，是完全平方数， ∴，， ∴． 三、解答题：（本大题共9个小题，17题—18题每题8分，19题—25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】不等式组的所有整数解为，， 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再从解集中找到整数解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为，，． 18. 在学完《尺规作图》后，李老师给同学们留下了一道课后拓展题．如图所示，四边形是一个直角梯形，，． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）小鲁同学发现，当时，有，并给出了证明，请帮他补全证明过程． 证明：， ① 垂直平分， ② 在和中 ④ 又，且 ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法求解； （2）由垂直平分线的性质得到，然后证明出，得到，然后等量代换证明即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 解：证明：， ， 垂直平分， ， 在和中 ， 又，且 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，计算整式的乘法，然后计算负整数指数幂和零指数幂求出a的值，然后代入求解． 【详解】解： 当时，原式． 20. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，某校举行了国家安全知识竞赛，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：）， 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，七年级抽取的学生成绩的第一四分位数是______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）84，85，35；72 （2）八年级学生的国家安全知识竞赛成绩较好，见解析 （3）302名 【解析】 【分析】（1）根据八年级共抽取20名学生，结合扇形统计图求出A组、B组人数，根据题干知C组共5人，用总人数减去其余几组人数求出D组人数，即可求出占比；再根据中位数和众数、第一四分位数定义求解即可； （2）根据统计图表解答即可； （3）根据用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：八年级共抽取20名学生， 由扇形图得：A组人数，B组人数，已知C组共5人， 因此D组人数为，占比，故． 八年级中位数是第10、11个数据的平均数：前组共人，因此第10、11个数据都在C组，分别为83、85，中位数． 七年级成绩中，85出现次数最多（3次），因此众数． 七年级共20个数据，第一四分位数位置为，即第5、6个数据的平均数，排序后第5、6个数据都是72，因此第一四分位数为． 【小问2详解】 解：八年级学生竞赛成绩较好， 理由：七、八年级成绩平均数相同，八年级的中位数（84）高于七年级的中位数（83），说明八年级整体成绩更好．（理由合理即可，例如也可说明八年级优秀率更高） 【小问3详解】 解：七年级抽取的20人中，成绩不低于90分的有5人，因此七年级优秀人数约为：名． 八年级D组（不低于90分）占比，因此八年级优秀人数约为：名． 总优秀人数：名． 答：估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名． 21. 春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同． （1）“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解） 【答案】（1）“艺蕴流光”杯垫每个的进价是20元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是35元 （2）购进100个“萌能陪伴”手机支架时，总进价最低，最低总进价为7500元 【解析】 【分析】（1）设“艺蕴流光”杯垫每个的进价是元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可； （2）设总进价为元，可得，根据不等关系，列出不等式组，求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设“艺蕴流光”杯垫每个的进价是元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是元， 根据题意得，，解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：“艺蕴流光”杯垫每个的进价是20元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是35元； 【小问2详解】 解：设总进价为元， 则， 由题意得，，解得， ，，且为整数， 随的增大而增大 当时，购进这两种文创品的总进价最低，最低总进价为（元）， 答：购进100个“萌能陪伴”手机支架时，总进价最低，最低总进价为7500元． 22. 如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据题意进行分类讨论：①当点P在上时，②当点P在上时； （2）根据（1）中得出的函数表达式，列表，画出图象即可，结合图象即可写出性质； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，点为边上的中点， ∴，， ∴， ①当点P在上时，即时， ∴， ∴； ②当点P在上时，过点C作于点E， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：列表如下： x 3 4 6 12 6 函数图象如图所示： 由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可得，当的面积大于6时，的取值范围． 23. 国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）机器人先到达处 【解析】 【分析】（1）过点作于点，结合题意求得和，在中，用勾股定理求得，根据计算即可． （2）先利用勾股定理求得，再利用路程与速度求得时间，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图， 由题意得， 米 （米），（米） 在中，，米 由勾股定理得，（米） （米） 答：的长度为米． 【小问2详解】 解：在中，，米， 由勾股定理得，（米）， 江江从需要时间（秒）， 机器人从需要时间（秒）， ∵， 机器人先到达处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，点，其中，直线：交直线于点，点坐标为，是直线上一动点． （1）求直线的解析式； （2）当周长最小时，求出点的坐标及的面积； （3）在（2）的条件下，将线段沿轴左右平移，平移后点，点的对应点分别为点、点，平面内有一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），10 （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将，代入即可求解； （2）先求出，作点B关于直线对称的点，连接，交直线于点D，根据轴对称可得此时的周长最小．根据待定系数法求出直线的解析式，令，得到，根据即可求解； （3）设平移后对应的坐标为，，分三种情况求解：①四边形是菱形，则，根据两点间距离公式列出方程，求出x，得到点，的坐标，根据菱形的性质即可求出点E的坐标，同理可求②四边形是菱形，③四边形是菱形时点E的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线：过点，， ∴，解得 ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于直线，令，则， ∴， 作点B关于直线对称的点， 连接，交直线于点D，此时， ，此时的周长最小． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∵，， ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 设平移后对应的坐标为，， 若、、、为顶点的四边形是菱形，共有三种情况： ①如图，若四边形是菱形，则， 则， 解得 当时，，， ∵在菱形中，，， ∴可看作由平移得到， ∴； 当时，，， ∵在菱形中，，， ∴； ②如图，若四边形是菱形，则， 则， 解得 ∴，， ∵在菱形中，，， ∴可看作由平移得到， ∴； ③如图，若四边形是菱形，则 则， 解得 ∴，， ∵在菱形中，，， ∴可看作由平移得到， ∴； 综上，点坐标为或或． 25. 如图，在中，，，为直线上一点． （1）如图1，点在上，连接，若平分，且，求的长度； （2）如图2，点在点左侧，为延长线上一点，连接，为中点，连接，在直线左侧作，连接，，满足，．求证：； （3）如图3，点在上，满足，，为直线上一动点，连接，将沿直线翻折到，当最小时，在射线上取一点，在射线上取一点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过点D作于点H，证明出，是等腰直角三角形，求出，然后利用勾股定理求解； （2）如图，延长到点K，使，连接，延长，交于点G，证明出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）如图，连接，利用勾股定理求出，由折叠得，，当点，在线段上时，取得最小值，即的值，作点D关于的对称点，连接，，证明出是等边三角形，求出，如图，在右边作，且使，连接，证明，得到，当点B，Q，R三点共线时，取得最小值，即的值，过点R作交的延长线于点T，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点H ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长到点K，使，连接，延长，交于点G， ∵为中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， 由三角形三边关系得， ∴如图，当点，在线段上时，取得最小值，即的值，作点D关于的对称点，连接， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ 由轴对称得， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 如图，在右边作，且使，连接， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴如图，当点B，Q，R三点共线时，取得最小值，即的值，过点R作交的延长线于点T ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026年2月6日在米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行了第25届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解重庆园博园春节期间的游客量 B. 了解捷龙三号运载火箭的设备零件的质量情况 C. 了解八年级某班学生的近视情况 D. 了解一捆百元钞票中的假钞情况 3. 超导量子计算原型机“祖冲之三号”量子比特相干时间达到0.00072秒，其中数据0.00072用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 估计的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 7. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为线段上一动点，连接，交对角线于点．过作交延长线于，交延长线于，连接．取中点，连接．若，则一定等于（ ）． A. B. C. D. 10. 已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 因式分解：_______________________． 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 14. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于一点，则关于，的二元一次方程组的解为______． 15. 如图，已知，过点作交于点，在延长线上取一点，使得，连接，交于点，若平分，且，，则点到的距离为______． 16. 一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为0，且个位数字与百位数字之和是十位数字与千位数字之和的2倍，则称为“双倍数”．对于一个“双倍数”，若顺次取出的前两位数字所组成的两位数为，顺次取出后两位数字所组成的两位数为，记．例如：对于四位自然数4935，因为，所以4935是“双倍数”，．若是最小的“双倍数”，则______；若“双倍数”（其中，，，且、、都为整数）满足与均是整数，则的值为______． 三、解答题：（本大题共9个小题，17题—18题每题8分，19题—25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 在学完《尺规作图》后，李老师给同学们留下了一道课后拓展题．如图所示，四边形是一个直角梯形，，． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）小鲁同学发现，当时，有，并给出了证明，请帮他补全证明过程． 证明：， ① 垂直平分， ② 在和中 ④ 又，且 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，某校举行了国家安全知识竞赛，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：）， 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，七年级抽取的学生成绩的第一四分位数是______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 21. 春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同． （1）“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解） 22. 如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围． 23. 国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，点，其中，直线：交直线于点，点坐标为，是直线上一动点． （1）求直线的解析式； （2）当周长最小时，求出点的坐标及的面积； （3）在（2）的条件下，将线段沿轴左右平移，平移后点，点的对应点分别为点、点，平面内有一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 25. 如图，在中，，，为直线上一点． （1）如图1，点在上，连接，若平分，且，求的长度； （2）如图2，点在点左侧，为延长线上一点，连接，为中点，连接，在直线左侧作，连接，，满足，．求证：； （3）如图3，点在上，满足，，为直线上一动点，连接，将沿直线翻折到，当最小时，在射线上取一点，在射线上取一点，满足，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $