精品解析：江苏苏州市吴中区甪直高级中学、昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年下学期第一次模块检测联合考试高二数学试题

2026年春季学期蓬高甪高第一次模块检测联合考试 高二数学 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前将自己的姓名，考试号，考场号，座位号等信息填在答题卡指定区域上并准确的涂写考试号． 3．选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，写在其他区域无效！ 4．填空题和解答题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的指定区域上．写在试卷或者其他区域均视为无效作答． 5．考试结束后，答题卡上交！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知在h时刻，原油的温度（单位：℃）为．则在时刻，原油温度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以， 所以在第时，原油温度的瞬时变化率为. 2. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 如图，圆和直角三角形的两边相切，射线从处开始，绕点逆时针匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察阴影部分面积的变换规律即可选出答案． 【详解】当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦最长时， 的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大， 图象中这里的切线较陡，曲线就较陡. 故前半部分曲线开始由平缓变陡； 后半部分弦又渐渐变短，曲线由陡变缓，4个图中只有D具有上述特点. 故选：D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量与任意向量不平行 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 任意两个空间向量都共面 D. 将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 5. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 6. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可得解. 【详解】因为， 所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 当单调递增，当单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围是. 故选：A 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 8. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是增函数 C. 在时取极小值 D. 在时取极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值. 【详解】结合图象可知，当时，，当时，， 当时，， ，因， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 故在时取极大值，在时取极小值. 故选：AD. 10. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的单调递减区间为 B. 是的极小值点 C. 有3个零点 D. 当时，方程恰有三个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数法求出单调性判断A；根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理得到有3个零点判断C；当时，结合图像得到方程恰有三个实数根判断D. 【详解】，， 对于选项A，的解为， 则的单调递减区间为，故选项A正确； 对于选项B，由得或， 的解为或， 则的单调递增区间为， 则是的极大值点，故选项B错误； 对于选项C，， 为的一个零点， 时是单调递增函数， 故在范围内，有且仅有一个零点； 的单调递减区间为， 是的极大值点， ， 是的极小值点， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 在范围内，是单调递增函数， ， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 则有3个零点，故选项C正确； 对于选项D，的极小值为 ，极大值为，， 直线与的图像有且只有三个交点， 结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在处的3次泰勒多项式为 C. 在处的3次泰勒多项式为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出阶导数判断A，根据定义写出3次泰勒多项式判断BC，利用泰勒多项式求近似值判断D. 【详解】选项A，，则，A错； 选项B，，则，，所以， 所以， 从而在处的3次泰勒多项式为，B正确； 选项C，，， ，， 所以在处的3次泰勒多项式为，C正确； 选项D，由选项B知在处的n次泰勒多项式为， ， ，， 所以，D错. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量共面定理即可求解. 【详解】由空间向量共面定理即可得，解得. 故答案为： 13. 已知函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解， 故，解得：； 故答案为：. 14. 已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用参数来表示，从而把构造成一个关于的函数，再利用导数来研究单调性求最值即可. 【详解】设斜率为的直线方程为，与交于， 则有，化简得，即 因为，所以， 又与交于， ，化简得，即. 则， 构造函数，  求导得： ，可知， 又由， 构造函数，求导得， 由， 在上单调递增， 由， 可得在上单调递减， 又因为，， 所以结合单调性可知： 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取最小值，即 ， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； （2）设函数，求函数在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助平均变化率定义计算即可得； （2）借助导数的几何意义计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 则， ，， 则函数在点处的切线方程为， 整理得. 16. 如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． （1）求； （2）设． ①用向量表示； ②求的值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算； （2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【小问1详解】 由题意可知：，因为,,, 所以 【小问2详解】 由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 17. 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】（1），定义域为 （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. 【小问2详解】 设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间： （2）若函数在上存在最大值，求实数的范围； （3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再导函数大于0、小于0的不等式即可. （2）由（1）的信息求出的极大值，并解不等式，再由已知求出的范围. （3）设出切点坐标，求出切线方程，再利用导数探讨有3个解的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 函数有唯一极大值点，要函数在上存在最大值，则， 当时，恒有，当时，，当时，， 由，得，整理得，解得， 因此，解得， 所以实数的范围是. 【小问3详解】 设切点坐标为，则， 切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可作曲线的三条切线，得方程有3个不同实数解， 则直线与函数的图象有3个交点，于是， 所以数的范围是. 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）1 【解析】 【分析】（1）对原函数进行求导，代入求解即可. （2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性. （3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可. 【小问1详解】 已知，则. 因为，则，解得， 【小问2详解】 由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期蓬高甪高第一次模块检测联合考试 高二数学 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前将自己的姓名，考试号，考场号，座位号等信息填在答题卡指定区域上并准确的涂写考试号． 3．选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，写在其他区域无效！ 4．填空题和解答题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的指定区域上．写在试卷或者其他区域均视为无效作答． 5．考试结束后，答题卡上交！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知在h时刻，原油的温度（单位：℃）为．则在时刻，原油温度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆和直角三角形的两边相切，射线从处开始，绕点逆时针匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量与任意向量不平行 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 任意两个空间向量都共面 D. 将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 5. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 6. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是增函数 C. 在时取极小值 D. 在时取极小值 10. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的单调递减区间为 B. 是的极小值点 C. 有3个零点 D. 当时，方程恰有三个实数根 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在处的3次泰勒多项式为 C. 在处的3次泰勒多项式为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 13. 已知函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为________． 14. 已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当自变量从0变到1时，求函数的平均变化率； （2）设函数，求函数在点处的切线方程． 16. 如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． （1）求； （2）设． ①用向量表示； ②求的值． 17. 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间： （2）若函数在上存在最大值，求实数的范围； （3）过点可作曲线的三条切线，求实数的范围. 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $