精品解析：江苏苏州市昆山市第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级第一次阶段测试 数学 命题人：周崇毅 审核人：邵立元 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，进而得到的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故选：A. 2. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 3. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 6. 函数，的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0，即可求出单调增区间. 【详解】因为，所以, 即，. 单调增区间为. 故选：A. 7. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可． 【详解】对①，向量、同向时，， 故时，必有向量、反向且， 只满足充分性，不满足必要性，①错误； 对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误； 对③，，，则，，不能得到，故③错误； 对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， ， 即不共面，构成空间的另一个基底，④正确； 对⑤，，⑤错误． 故选：C． 8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列给出的命题为真命题的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不共面来确定基底可判断A，利用四点共面的性质可判断B，利用向量法来确定线面关系可判断C，利用投影向量公式可判断D． 【详解】因为为空间的一组基底，所以不共面， 而在确定的平面内，所以也与不共面， 即也是空间的一组基底，故A正确； 若四点共面，为该平面外一点，且，则，故B正确； 因为，所以，则直线在平面内或，故C错误； 由空间向量在方向上的投影向量的模长，故D正确； 故选：ABD 10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 关于函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求得的导数和单调性、极值，可判断A；求得的导数，可得单调性，计算，的函数值，可判断B；由参数分离和构造函数求得导数，判断单调性，可判断C；设，由，求得，关于的函数式，结合分析法，构造函数，判断单调性，可判断D． 【详解】解：， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 函数无极大值点，故A错误； 令， 恒成立， 在单调递减， ，， 有且只有一个零点，故B正确； 等价为， 令，则， 由的导数为， 当时，单调递减，时，单调递增， 可得的最大值， 即，可得在单调递减，则无最小值， 所以不恒成立，故C错误； 设，即有， 即为，化为， 可得，则， 设，可得， 由的导数为，可得时，，单调递增，可得， ，单调递增，可得，故成立，故D正确． 故选：BD． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】依题意可得存在实数，使得，从得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为向量，，共面，所以存在实数，使得， 即，所以，解得． 故答案为： 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解答下列问题： （1）求过曲线上点且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程； （2）已知曲线方程为，求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出过点的切线的斜率，即可得与之垂直的直线的斜率，用点斜式将所求直线方程表示出来，再整理成一般式即可； （2）设所求直线与函数相切于点，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，将切线方程表示出来，代入点坐标，求出的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以过点的切线的斜率， 所以过点且与切线垂直的直线的斜率为， 所以所求直线的方程为：， 即：； 【小问2详解】 设所求直线与函数相切于点， 因为， 所以切线的斜率， 所以所求切线方程为： ， 又因为切线过点， 所以， 整理得：， 解得或， 所以所求切线方程为：或 16. 如图，在长方体中，，为棱的中点． （1）证明： ∥平面 ． （2）若 是线段 的中点，求 的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标，求解平面法向量，即可根据向量法求证， （2）根据点到线的向量法求解距离，即可由面积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：如图， 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 根据题意，可得，，，，． 则，，． 设是平面的法向量，可得则 令，得． 因为，平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，，，则，，所以， 所以． 设到直线的距离为，则， 所以． 17. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可； （2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值. 【小问1详解】 由已知 令得或， 当时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符； 当，即时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意； 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，函数单调递增， 令，得，函数单调递减， 所以. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和时，可求函数的单调性； （2）首先将不等式变形，转化为证明，构造函数，然后利用导数求函数的最小值，得到最小值大于0即可证明. 【小问1详解】 . ①当时，令在恒成立，在上单调递增；. ②当时，令，得，令，得 令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 要证，需证， 令， 则转化成证明：在上恒成立， ， 令，则，所以在上单调递增， 又因为，, 则存在，使即，所以， 所以 ， 当时，， 则；当时，，则； ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴在处取得极小值，也是最小值 ， ， ∴ 在上恒成立， ∴ 对于任意的，都有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级第一次阶段测试 数学 命题人：周崇毅 审核人：邵立元 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列给出的命题为真命题的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为2 10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 关于函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解答下列问题： （1）求过曲线上点且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程； （2）已知曲线方程为，求过点且与曲线相切的直线方程． 16. 如图，在长方体中，，为棱的中点． （1）证明： ∥平面 ． （2）若 是线段 的中点，求 的面积． 17. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $