精品解析：湖南省邵阳市武冈市2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题

2020年下学期期末考试试卷 九年级数学 时量：100分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. （x﹣1）（x+2）＝1 D. 2. 已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A. 第二、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第三、四象限 3. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在中，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 7. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分对应值如下表： －2 －1 0 1 2 3 4 5 0 －3 －4 －3 0 5 利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 9. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是____． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 若a是方程的解，则代数式的值为______． 14. 已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=_________． 15. 已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____． 16. 已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为_____． 17. 如图，已知中，，，点P、D分别在边、上，，，那么的长是________． 18. 已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： ． 20. 解下列一元二次方程： （1） （2） 21. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 朗读者 15 中国诗词大会 a 出彩中国人 10 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）补全题中的条形统计图； （3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元，每个月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 23. 如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP=　 　，AQ=　 　． （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？ 24. 如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时该同学距地面的高度AE为27米，电梯再上升10米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号） 25. 如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0). (1)求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积. 26. 如图，在平面直角坐标系中，如图放置，点P是边上的一点，过点P的反比例函数（，）与边交于点E，连接． （1）如图1，若点A的坐标为，点B的坐标为，且的面积为5，求直线和反比例函数的解析式； （2）如图2，若，过P作，与交于点C，若，并且的面积为，求反比例函数的解析式及点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020年下学期期末考试试卷 九年级数学 时量：100分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. （x﹣1）（x+2）＝1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A．不是整式方程，故此选项不合题意； B．当a、b、c均为常数，而a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C．它是一元二次方程，故此选项符合题意； D．整理后方程为：，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住： 化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A. 第二、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2. 考点：反比例函数的性质 3. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答； 【详解】解： ∵， ∴， ∵，，， ∴ ，  解得：， ∴． 4. 在中，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， 根据锐角三角函数定义： ，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，方程有实数根，需考虑二次项系数是否为零．当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，有实数根的条件是判别式大于等于零． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴分两种情况： 当时，即，方程化为，解得，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， 解得． 综合两种情况，． ∴的取值范围是， 故选：A． 6. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 【答案】B 【解析】 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，  ∵ ∴马应该落在②的位置， 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 7. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长,利用cosA=,求出AE的长,进而求出CE,再用勾股定理求出BE的长即可求解. 【详解】解：由题可知tanA=, 根据勾股定理得AB=10,AD=5, ∴cosA=, ∴AE=,CE=, 勾股定理得BE=, ∴cos∠CBE=, 故选D. 【点睛】本题考查了三角函数的求值,中等难度,熟悉勾股定理和灵活运用三角函数是解题关键. 8. 二次函数的部分对应值如下表： －2 －1 0 1 2 3 4 5 0 －3 －4 －3 0 5 利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图表可以得出二次函数的顶点坐标为（1，−4），图象与x轴的交点坐标为（−1，0），（3，0），且图象开口向上，结合图象可以得出函数值y＜0时，x的取值范围． 【详解】解：根据图表可得出二次函数的顶点坐标为（1，−4），图象与x轴的交点坐标为（−1，0），（3，0），如图所示： ∴当函数值y＜0时，x的取值范围是：−1＜x＜3． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围．数形结合是这部分考查重点． 9. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果； 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线解析式为． 10. 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=8，CE=OB=6，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可． 本题考查了了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 若a是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，得，代入代数式即可求出代数式得值． 【详解】解：∵a是方程的解 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程的解代入代数式． 14. 已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得， ∵AD=10， ∴OD=10-OA， 代入可得， 解得OA=4，经检验，符合题意； 故答案为4． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本定理是解题关键． 15. 已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值． 【详解】∵菱形对角线互相垂直， ∴∠OEA＝∠AOB， ∵∠OAE＝∠BAO， ∴△OAE∽△ABO， ∴∠AOE＝∠ABO， ∵AO＝AC＝2，AB＝6， ∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝． 故答案为：． 【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO． 16. 已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为_____． 【答案】25 【解析】 【分析】因为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，那么可知对称轴就是，结合顶点公式法可求出的值，从而得出函数的解析式，再把，可求出的值． 【详解】解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 对称轴，解得， ，那么当时，函数的值为25． 故答案为25． 【点睛】本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键． 17. 如图，已知中，，，点P、D分别在边、上，，，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到，进而证得，则，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为______． 【答案】1，2或－2 【解析】 【分析】需要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，有一定经过原点；按以上三种情况分别求出a的值即可. 【详解】解：①当函数为一次函数时，即a-1=0，解得a=1； ②当函数为二次函数时（a≠1），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点， ∵x轴有一个交点， .∴△=（-2a）2-4（a+2）（a-1）=0，解得：a=2 ③函数为二次函数时（a≠1），与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图像经过原点， ∵a+2=0，a=-2. 当a=-2，此时y=，与坐标轴有两个交点. 故答案为1，2或－2 【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，理解函数图像与x轴的交点的横坐标就是方程的根是解答本题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】考查了特殊角的三角函数值，实数的加减法，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 令或 解得，； 【小问2详解】 解： ，． 21. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 朗读者 15 中国诗词大会 a 出彩中国人 10 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）补全题中的条形统计图； （3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名． 【答案】（1）50， 20， 30 （2）见解析 （3）400名 【解析】 【分析】（1）根据最强大脑人数为5，占比，求出总人数x，根据中国诗词大会人数总人数对应百分比，求出，根据朗读者的百分比（朗读者人数总人数）求出b； （2）根据（1）可知中国诗词大会的人数为20人，据此补全条形统计图即可； （3）用样本百分比估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：总人数：， ∴， ，故； 【小问2详解】 解：中国诗词大会的人数为20人， 补全条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：根据题意得：（名）， 则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元，每个月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件商品售价定为65元时，每个月获得最大利润，最大的月利润是3125元 【解析】 【分析】（1）根据“销售利润（售价进价）销售量”列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 .解：由题意可得，， 即y与x的函数关系式是； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 由于，则该二次函数开口向下， 当时，y取得最大值，此时最大值为3125，， 答：每件商品售价定为65元时，每个月获得最大利润，最大的月利润是3125元． 23. 如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP=　 　，AQ=　 　． （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？ 【答案】（1）AP=2t，AQ=16﹣3t；（2）运动时间为秒或4秒． 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度时间，即可表示出AP，AQ的长度． （2）此题应分两种情况讨论，当△APQ∽△ABC时；当△APQ∽△ACB时；利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）AP=2t，AQ=16﹣3t． （2）∵∠PAQ=∠BAC， ∴当时，△APQ∽△ABC， 即， 解得 当时，△APQ∽△ACB， 即， 解得t=4． ∴运动时间为秒或4秒． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解． 24. 如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时该同学距地面的高度AE为27米，电梯再上升10米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号） 【答案】（37+9）米． 【解析】 【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案 【详解】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G． 由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°．AE＝27，DE＝10． 在Rt△CEG中，CG＝AE＝27，tan， ∴EG＝＝． ∴DH＝EG＝9． 在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°， ∴BH＝DH＝9． ∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝27+10+9＝（37+9）米． 答：大楼BC的高度是（37+9）米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 25. 如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0). (1)求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积. 【答案】（1）M（2，-3）；（2）36 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可解得抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）先求出点C的坐标，再用面积相加的方法求得四边形AMBC的面积. 【详解】解：（1）将点A（-1,0）、点B（5,0）代入y=x2+bx+c中，得 可得 ， 解得 ， 所以抛物线的解析式为y = - - ， 化为顶点式为y = -3 故点M（2，-3） （2）代入x=8，可得y=9 故C（8,9） 因为AB=5+1=6， 且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值， 所以S四边形AMBC=S△ABM+S△ABC= + =36. 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，（2）中函数图象中四边形的面积需将四边形转化为三角形来求得图形的面积. 26. 如图，在平面直角坐标系中，如图放置，点P是边上的一点，过点P的反比例函数（，）与边交于点E，连接． （1）如图1，若点A的坐标为，点B的坐标为，且的面积为5，求直线和反比例函数的解析式； （2）如图2，若，过P作，与交于点C，若，并且的面积为，求反比例函数的解析式及点P的坐标． 【答案】（1）； （2）y＝；点P坐标为 【解析】 【分析】（1）过点P作轴交x轴于点Q，利用待定系数法求出直线的解析式；根据求出点P坐标，进而求出反比例函数解析式； （2）过点E作轴于点F，过点P作轴于点S，则、，进而求出点E坐标，得到反比例函数解析式，利用得到，进而得到，从而求出点P坐标． 【小问1详解】 解：如图1，过点P作轴交x轴于点Q， 设直线的解析式为， 将点A的坐标为，点B的坐标为代入得： ， 解得， 直线AB的解析式为； ， ， ， 将代入得：， 解得， 点P坐标为， 将代入反比例函数得：， ， 此反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图2，过点E作轴于点F，过点P作轴于点S， 、、， 、， ， 将代入反比例函数得：， ， 此反比例函数的解析式为y＝， ， ， ， 、， ， ， ， ， 点P坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $