湖南株洲市炎陵县2025-2026学年九年级上学期期末质量监测数学试题

炎陵县九年级数学质量监测试题（2026.01） （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最大值为 2.用配方法解方程时，配方后正确的是（  ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（  ） A． B． C． D． 第4题 4．如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 5.如图，点在中，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6．如图，已知，．若，则的长为（  ） A．2 B．3 C．6 D．9 甲 乙 丙 平均数 91 91 91 方差 6 24 54 第7题 第5题 第6题 第8题 7.如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，∠BAC的度数为（  ） A．45° B．55° C．65° D．无法确定 8．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 9．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（  ） A. ①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④第10题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 11.已知，则 12.如图，的半径为5，弦，点C是的中点，连接，则的长为___________   第13题 第12题 第15题 13.反比例函数如图，则矩形的面积是__________ 14.一元二次方程的解是_____________ 15.如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆D端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的C点向下压的长度是 米 16.实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是_____________（填序号） ①．有两个不相等的实数根 ②．有两个相等的实数根 ③．没有实数根 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （6分）计算： 18.（8分）先化简，在求值： ,其中 19．（8分）为了满足同学们的多样化兴趣，促进同学们的个性化成长，某校计划开设5个类别的选修课：A：“音乐类”，B：“绘画类”，C：“体育类”，D：“舞蹈类”，E：“文学类”，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查，每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门，对调查结果进行统计后，绘制了如下的两个不完整的统计图． 根据以上统计图的信息，解答下列问题： (1)此次调查抽取的学生人数为 名，在扇形图中，A：“音乐类”所在扇形的圆心角的度数是 度； (2)请补全条形统计图； (3)如果该校有2000名学生，请估计全校选择C：“体育类”的学生大约有多少人． 20.（8分）张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题： (1)涨价后，每千克张掖红梨的利润为 元，每天可销售 千克(用含x的代数式表示)； (2)若每天要盈利320元，则该张掖红梨应涨价多少元？ (3)若需获得最大利润，应涨价多少元，最大利润是多少元? 21.（8分）如图，已知的直径为，平分，交于点，过点作，垂足为． (1)判断与的位置关系，并给出证明． (2)若，求的半径． 22.（10分）如图，一楼房后有一假山，的坡度1：，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶测得的俯角为． (1)求点到水平地面的距离的高度； (2)求楼房的高． 23.（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究： 在矩形中，点在上，， 【观察与猜想】 （1）如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是4.5，直接写出长． 24.（12分）在坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，.抛物线与x 轴交于点和点 F. (1)如图①，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点C的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出a的取值范围. 图① 图② 九年级数学 第 1 页，共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $炎陵县九年级数学质量监测试题(2026.01) (时量：120分钟 满分：120分) 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1.关于抛物线y=3(x-1)2+2,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.对称轴是x=1 C.顶点坐标是(1,2) D.最大值为y=2 2.用配方法解方程x2-4x-5=0时，配方后正确的是() A.(x+2)2=9 B.(x+2)2=1 C.(x-2)2=9 D.(x-2)2=21 3.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为( A.y=(x+2)2-3 B.y=(x-2)2-3 C.y=(x+2)2+3 D.y=(x-2)2+3 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则c0sB=( A.台 B.月 c. D含 5.如图，点A,B,C在⊙0中，若∠ACB=50°，则∠A0B的度数是( 第4题 A.120 B.110° C.100° D.90° 6.如图，已知AB‖CDI‖EF,AC=2,CE=4.若DF=6,则BD的长为( A.2 B.3 C.6 D.9 甲 乙 丙 平均数x 91 91 91 方差s2 6 24 54 第5题 第6题 第7题 第8题 7.如图，OA,OB为⊙0的半径，AC为⊙0的切线，连接AB. 若∠B=25°，∠BAC的度数为( 器 A.45 B.55° C.65 D.无法确定 8.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差s2如右表所示，那 么这三名同学数学成绩最稳定的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 9. 在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点0为位似中心，相似比为， 把△EFO 缩小，则点E的对应点E'的坐标是( ) A.(-2,1) B.(-8,4) C.（-8,4)或(8，-4) D.(-2,1)或(2，-1) 九年级数学 10.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=-1, 且过点(-3,0)，下列说法：①ac<0;②2a-b=0;③4a-2b+c>0;④ 若(-2，y1),(0,y2)是抛物线上两点，则y1=y2;⑤关于x的方程ax2+bx+c= 一2，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（) A.①②③ B.①②④⑤ C.①②④ D.①②③④ 第10题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 1.已知=？则号= 12.如图，⊙0的半径为5，弦AB=8,点C是AB的中点，连接0C,则0C的长为 O B A O 第12题 第13题 第15题 13.反比例函数y=-x<0)如图，则矩形0APB的面积是 14.一元二次方程(x+1)(x-1)=0的解是 15.如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头.已知动力臂 0A=1.8米，阻力臂0B=0.9米，如果杠杆D端被向上撬起BD=0.6米，那么此时要将杠杆的C 点向下压AC的长度是 米 16.实数a,b定义新运算“*”如下：a*b=b2+ab,例如1*2=22+1×2=4+2=6，则方 程2*x=一2的根的情况是 (填序号) ①.有两个不相等的实数根 ②.有两个相等的实数根 ③.没有实数根 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(6分)计算：1-V3-2sin60°+（π-2025）0 18.(8分)先化简，在求值：学·点生，其中x=3 第1页，共2页 19.(8分)为了满足同学们的多样化兴趣，促进同学 个人数/名 40 们的个性化成长，某校计划开设5个类别的选修课：A:“音 40 3s 乐类”，B:“绘画类”，C:“体育类”，D:“舞蹈类”，E:“文 B 20% 学类”，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查，每个被 调查的学生必须选择而且只能选择其中一门，对调查结果 B D 进行统计后，绘制了如下的两个不完整的统计图. E类别 根据以上统计图的信息，解答下列问题： (1)此次调查抽取的学生人数为 名，在扇形图中，A:“音乐类”所在扇形的圆心角的度 数是 度； (2)请补全条形统计图； (3)如果该校有2000名学生，请估计全校选择C:“体育类”的学生大约有多少人. 20.(8分)张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀.若将进货价为8元/千克的张掖 红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克.已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日 销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售.回答下列问题： (1)涨价后，每千克张掖红梨的利润为 元，每天可销售 千克（用 含x的代数式表示)： (2)若每天要盈利320元，则该张掖红梨应涨价多少元？ (3)若需获得最大利润，应涨价多少元，最大利润是多少元？ 21.(8分)如图，己知⊙O的直径为AB,AC平分∠BAD,交⊙O于点C,过点C作CD⊥AD, D 垂足为D: (1)判断CD与⊙O的位置关系，并给出证明. (2)若AD=4,AC=6,求⊙0的半径. 22.（10分)如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度i=1:V3, 45 山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC=10V3 米，与亭子距离CE=8米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°. :5D (1)求点E到水平地面的距离EF的高度； E (2)求楼房AB的高 F 水平地面 九年级数学 23.(12分)某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究： 在矩形ABCD中，点E在CD上，AD=EC=3,AB=4 【观察与猜想】 (1)如图1，连接AE,过点E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF,求证：△ADE≌△ECF; ⊙ 【类比探究】 (2)如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合)，连接PE,过点E作EF⊥PE, 终 交BC于点F,连接PF.求证：△PDE一△ECF; ⊙ 【拓展延伸】 (3)如图3，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合)，连接PE,过点E作EF⊥PE, 交AB于点F,连接PF,且△PEF的面积是4.5，直接写出PD长， 热功线内不股务度 图1 图2 图3 24.(12分)在坐标系x0y中，正方形ABCD的顶点A,B在x轴上，C(2,-3),D(-1,-3) 抛物线y=ax2-2ax+c(a>0)与x轴交于点E(-2,0)和点F (1)如图①，若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F的坐标； (2)如图②，在(1)的条件下，连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C的对应点P落在直 线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； (3)若抛物线y=ax2-2ax+c(a>0)与正方形ABCD恰有两个交点，直接写出a的取值范围. ⊙ ⊙ 图① 图② 第2页，共2页九年级数学答案 、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 题号 2 3 5 6 7 答案 D C ⊙ c B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 2 11. 12.3 13.6 14. X1- 15. 1.2 16.③ 三、解答题 17.-V3-2sim60°+（π-2025）° 5-2×9+1 …3分 -5-5+1 =1 …6分 18原式=+22高-克 …2分 =装-贵 …4分 =驶 …6分 将x=3代入，求得原式= …8分 19.(1)100,36 …2分 个人数/名 40 40 35 30 5 20 20 (2) A B C D E类别 …5分 (3)解：2000×品=800（人）， …8分 所以估计全校选择C:“体育类”的学生大约有800人. 九年级数学答案第1页，共2页 9 10 A D B =1或x2=-1 20.(1)(x+2),(100-10x) …2分 (2)(x+2)(100-10x)=320 整理得：x2-8x十12=0 解得：X1=2或x2=6 所以该张掖红梨应涨价2元或6元 …5分 (3)设最大利润为W, 则W=(x+2)(100-10x) =-10x2+80x+200 所以对称轴为x=一会=4 顶点坐标为(4,360) 所以该张掖红梨应涨价4元，最大利润为360元 21.(1)证明：连接OC 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC=∠CAO 又因为OA=OC 所以∠CAO=∠0CA 所以∠0CA=∠DAC 所以AD//OC …2分 又因为CD⊥AD 所以∠CDA+∠OCD=90 所以∠0CD=90 因为OC为半径 所以直线CD是⊙O的切线 …4分 (2) 因为AB为⊙O的直径 所以∠ACD=90 所以∠ACD=∠CDA=90 又因为∠DAC=∠CAO 所以△DAC∽△CAB 6分 九年级数学答案第1页， …8分 D C A 0 夕 共2页 所以器=器 因为AD=4,AC=6 所以AB=9 即⊙0的半径为4.5 …8分 22（1).解：过点E作EH⊥AB于点H, 在Rt△CEF中， EF 1 i=C℉ = =tan∠ECF, .∠ECF=30°， 1 ∴F=2CE=4 …4分 (2)在Rt△CEF中， 由勾股定理得：C℉=4V3 …5分 ∴BH=EF=4米，HE=BF=BC+CF=14V3, 6分 在Rt△AHE中，，∠HAE=45°， ∴AH=E=14W3, …8分 AB=AH+HB=(4+14W3)米. 所以楼房AB的高为(4+14V3)米.…10分 23.【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， .∠D=∠C=90°， .∠DAE十∠DEA=90°， :EF⊥AE, .∠AEF=90°， ∠DEA十∠FEC=90°， 九年级数学答案第1页， 745 0 i1:3 H B F 水平地面 共2页 ∠DAE=∠FEC, …2分 AD=EC=3 在△ADE和△ECF中， I∠DAE=∠CEF AD=EC ∠D=∠C .△ADE≌△ECF(ASA), …4分 (2)证明：：四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠C=90°， ∴∠DPE十∠DEP=90o, :EF⊥PE, ∠PEF=90°， ∴∠DEP十∠FEC=90o, .∠DPE=∠CEF, …6分 又∠D=∠C, .△PDE∽△ECF. …8分 (3)解：如图，过F作FG⊥DC于G, :四边形ABCD为矩形， ∠B=∠C=90°， :FG⊥DC, ∴∠FGC=90°， .四边形BCGF为矩形， .FG=BC=3, :PE⊥EF, .S△PER=PE.EF=4.5, .PE.EF=9, …9分 同(2)可证：△PDE△EGF, 器=器， 九年级数学答案第1页， 共2页 :器=， 器=青， :EF=3PE, 3PE2=9, PE=±N5, …11分 PE>0, .PE=V3. 在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=VPE2-DE=V2 …12分 24.(1)解：把E(-2,0),C(2,-3)代入y=ax2-2ax+c得： ∫0=4a+4a+c 1-3=4a-4a+c a=昌 解得：1c=-3 …1分 y=x2-x-3 …2分 令y=0 0=x2-x-3 .x2-2x-8=0 解得：81=-2,82=4， …3分 F(4,0) …4分 (2)解：如图所示： y个 设直线CE的表达式为y=kx+b过点E(-2,0),C(2,-3), 周63+8 ∫k=- 解得：b=- 九年级数学答案第1页，共2页 y=-x- …6分 设点P(a,-a-),则点Q(a+2,-a+) 把点Q(a+2,-a+昌)代入y=x2-x-3 :-a+号=(a+2)2-(a+2)-3 整理得：a2+4a-12=0 解得：a1=2,a2=-6 .Q(-4,6): …8分 (3)解：：四边形ABCD是正方形，C(2,-3), :BC=AB=3,0B=2, .0A=AB-0B=1, ·.点A和点D的横坐标为-1，点B和点C的横坐标为2， 将E(-2,0)代入y=ax2-2ax+c(a>0),得c=-8a, y=ax2-2ax+c=a(x-1)2-9a .顶点坐标为(1，-9a), …9分 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， .-3<-9a<0 :0<a<青 …10分 ②如图，当抛物线与直线BC交点在点c下方，且与直线AD交点在点上D a×22-2a×2-8a<-3 a×(-1)2-2a×(-1)-8a>-3 <a< 九年级数学答案第1页，共2页 方时，与正方形有两个交点， 综上所述，a的取值范围为0<a<寺或<a<. 九年级数学答案第1 …12分 页，共2页