数学探究——杨辉三角的性质与应用 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年4月 杨辉三角的性质与应用 课题： 滨州实验中学 2024年10月5日 学习目标 1.通过研究的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养观察能力和归纳推理能力．（重点） 2.建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，让学生感受我国古代数学成就和数学美，激发学生的民族自豪感. 情景引入 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的 系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。 提出问题，导入新课 思考:杨辉三角蕴含许多有趣的性质，观察上表分享你的发现 杨辉三角用数字表成如下所示的形式: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 师生互动，探索新知 杨辉三角和系数关系： (a+b)1= (a+b)2= (a+b)3= (a+b)4= (a+b)5= 1a+1b 1a2+2ab+1b2 1a3+3a2b+3ab2+1b3 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 思考:各项次数都等于n，且按照a或b的降幂排列.你能试着写出第8行吗? 1 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 师生互动，探索新知 观察杨辉三角相邻两行，可以发现除腰上全是一以外，其余数字等于它两肩上的数字之和 小组合作：你能发现什么数字之间的规律吗？ 师生互动，探索新知 小组合作：探索杨辉三角与幂的关系，将每一行相加你能得到什么规律？ 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2n-1. 师生互动，探索新知 小组合作：分析杨辉三角列的联系，总结规律得出猜想 ① ② ③ 性质总结 杨辉三角基本规律 ①对称性 ②单调性与最值 ③递归性 ④二项式系数和的性质 ⑤列的性质：k阶等差数列求和 师生互动，探索新知 【应用】直接说出a b c的值 师生互动，探索新知 【应用】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…记…那么的值是_________． 1 师生互动，探索新知 (1)根据规律， 展开式的各项系数中最大的数为 . (2) 直接写出25-5×24+10×23-10×22+5×2-1= ； (3)若 1,则 的值为 ； 反思小结，观点提炼 1.本节课我们学习了哪些知识？ 2.我们是如何获得这些知识的？ 3.在学习过程中用到了哪些数学思想和方法？ 4.在学习过程中总结了哪些规律？ 5.你还有哪些疑惑？ 谢 谢 $