精品解析：吉林毓文中学2025-2026学年度下学期高一年级第一次月考数学试题

吉林毓文中学2025-2026学年度下学期高一年级第一次月考 （数学） 一、单选题 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 【详解】根据题意，则. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 3. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 4. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底向量的性质，判断是否共线即可求解. 【详解】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D 5. 已知，，与的夹角，则（ ） A. 10 B. -10 C. 5 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积运算即可求出结果. 【详解】因为，，与的夹角， 所以， 故选：B. 6. 在中，角，，所对的边分别为，，且，，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能判定 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量平行可得出a，b，c的关系，进而可判断出三角形的形状. 【详解】，，可化简为：， 所以的形状为直角三角形. 故选：B. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，） A. 30.42 B. 42.42 C. 50.42 D. 60.42 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】由题意，而， 所以，由余弦定理得， 故， 又由正弦定理得， 整理得， 故或（舍去），得， 因为是锐角三角形， 故， 解得，故， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 三、填空题 12. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 13. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦定理，正弦定理、两角和的正弦及诱导公式即可求解. 【详解】由， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 因为， 即， 即， 因为，则， 因为，故. 故答案为： 14. 已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】确定是内心，如图所示，得到，，得到，化简得到答案. 【详解】，即，表示在的角平分线上，故是内心. 如图所示：；，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形内心，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力. 四、解答题 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据正余弦定理进行边角互化即可求解； （2）利用余弦定理建立等式，求解边长即可得出面积. 【详解】解：（1）依题意，， 由正弦定理得， 整理得， 所以， 因为，所以， 故所求外接圆半径； （2）因为， 所以由余弦定理， 得， 即， 解得或（舍去）， 所以. 【点睛】此题考查正余弦定理和面积关系的综合应用，关键在于熟记公式，准确计算. 17. 已知平面向量，，，. （1）若，求的值； （2）若，当时，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. （2）首先根据向量平行求出的值，然后得到向量的坐标，进而求得向量的模. （3）根据向量的夹角是钝角，列出不等式即可求得的范围. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得或者. 【小问2详解】 当时，，解得. 所以，， 所以. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 所以且， 解得且. 18. 如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N． （1）求的值； （2）若Q是的中点，求的取值范围； （3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将向量分解为，利用向量垂直和数量积的运算即可求解； （2）由O为中点可得，再由和的范围计算即可； （3）令，由向量共线的判断可得点T在BC上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可． 【详解】解：（1）由正方形可得 所以； （2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点． 所以O为中点，所以 所以． 因为Q是BC的中点， 所以， 所以， 即的取值范围为；  （3）令，由知点T在BC上， 又因为O为中点， 所以，从而， 因为， 所以， 即的最小值为 【点睛】本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量的基本运算，向量的模及向量共线的判定与证明，向量的几何运用． 19. 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）当，且时，求； （2）角，，所对的边分别为，，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】（1）； （2）证明见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，再结合正余弦定理，分别表示，联立求解即可； （2）结合正弦定理可证明； （3）结合向量关系，可求得，进而求其范围即可. 【小问1详解】 当，且时，得， 由余弦定理，得，所以， 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得， 比如， 在中，由正弦定理得，解得， 所以，解得. 【小问2详解】 由，则， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， 由正弦定理得，，得②， 由①②+，即. 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 由题意有，，则 ， 所以， 因为，解得， 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林毓文中学2025-2026学年度下学期高一年级第一次月考 （数学） 一、单选题 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 4. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，与的夹角，则（ ） A. 10 B. -10 C. 5 D. -5 6. 在中，角，，所对的边分别为，，且，，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能判定 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，） A. 30.42 B. 42.42 C. 50.42 D. 60.42 8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题 12. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 13. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则__________． 14. 已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________. 四、解答题 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积. 17. 已知平面向量，，，. （1）若，求的值； （2）若，当时，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 18. 如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N． （1）求的值； （2）若Q是的中点，求的取值范围； （3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值． 19. 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）当，且时，求； （2）角，，所对的边分别为，，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $