18.2 勾股定理的逆定理 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第18章 勾股定理及其逆定理 18.2 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理及其逆定理 18.2 课时1 勾股定理的逆定理 1.理解勾股定理的逆定理及证明过程； 2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 学习目标 勾股定理知识点回顾 勾股定理的内容： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c² . 几何描述： ∵△ABC是直角三角形 ∴三边之间的关系为：a²+b²=c² 新课导入 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距高的13个结,城后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,如图.这样围成的三角形中,最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗? 这就是我们今天学习的勾股定理的逆定理. 新课讲授 2.用圆规、直尺作△ABC,使AB=5,AC=4，BC=3,量一量∠C,它是 90°吗? 是 4 3 5 A B C 新课讲授 3.△ABC的三边长满足AC2+BC2=AB2,则ㄥC为多少度? 90° A B C 新课讲授 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b， 则A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 +b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A′B′2 =c2 则A′B′=c 在△ABC与△A′B′C′中 ∴△ABC≌△A′B′C′，则∠C= ∠C′=90° ∴ △ABC是直角三角形 A B C A′ B′ C′ 新课讲授 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 几何描述： ∵三角形三边之间的关系为：a²+b²=c² ∴△ABC是直角三角形 新课讲授 例1 根据下列三角形的三边长a,b,c的值,判断△ABC是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角. (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=7,b=8,c=11. 解(1)∵ 72+242=252 ∴ a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形,最大边c所对的角是直角 典例精析 例1 根据下列三角形的三边长a,b,c的值,判断△ABC是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角. (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=7,b=8,c=11. (2)最大边是c=11，c2=121 a2 +b2 =72 +82 =113 ∴ a2+b2≠c2 ∴△ABC不是直角三角形 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如：3，4，5；5，12，13. 典例精析 判断直角三角形的方法 用角判断： 1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形； 2.有一个角是90°的三角形是直角三角形； 用边判断： 如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a²+b²=c²）进行判断. 新课讲授 1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( 　) A． B．1, C．6,7,8 D．2,3,4 B 当堂检测 2．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．a＝1， b＝2， c＝3； B．a＝4 ， b＝5 ，c＝6； C．a＝9， b＝12，c＝15； D．a＝13， b＝14 ，c＝15 A 当堂检测 3．已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（   ）. A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 A 当堂检测 4．一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是______． 【详解】∵52+122=132， ∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为h cm． S=×5×12=×13×h，解得：h =． 故答案为：． 当堂检测 5.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？ （1）a=15 ，b=8 ，c=17 （2）a=13 ，b=14 ，c=15 解：（1）∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. （2）∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 当堂检测 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数.比如:3，4，5; 5,12,13 . 课堂小结 第18章 勾股定理及其逆定理 18.2 课时2 勾股定理的逆定理的实际应用 1.巩固和熟练掌握勾股定理的逆定理； 2.灵活运用勾股定理和逆定理解决实际问题. 学习目标 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? N E P Q R 1 2 新课导入 勾股定理的逆定理知识点回顾 勾股定理的逆定理的内容： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 几何描述： ∵三角形三边之间的关系为：a²+b²=c² ∴△ABC是直角三角形 新课导入 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗? N E P Q R 1 2 解：根据题意， PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30 ∵ ，即 ∴∠RPQ=90° 而根据题意∠1=45° ∴∠2=∠RPQ - 45°= 45° 新课导入 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. A D B C 3 4 13 12 分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，求四边形ABCD的面积即求两个三角形面积的和. 新课讲授 解：连接AC, 在Rt△ABC中，AC==5 在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169， 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. 所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36. A D B C 3 4 13 12 新课讲授 例2 已知:在△ABC中,三边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1). 求证:△ABC为直角三角形. 证明：∵a2+b2 =(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n2 =n4+2n2 +1 =(n2 +1)2 =c2 ∴ △ABC 为直角三角形. 典例精析 例3 如图,营地A与哨所B相距10km,东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6km到达河边C处让马饮水,再走8km到达哨所B处执勤,最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗? 典例精析 解 由题意,得AB=10km，AC=6km，BC=8km ∵ 62+82=102, ∴ AC2+BC2 =AB2 ∴ ∠ACB =90° 又∵ AD∥PQ ∴ ∠ACP=∠DAC =34°. ∴ ∠BCQ=180°- 90°- 34°= 56° 答:哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处. 典例精析 1、在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　 ） A．8 B．9 C． D．10 C 当堂检测 2．三角形的三边长a，b，c满足关系式: （a+2b﹣60）2+|b﹣18|+=0，则这个三角形是（　 　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 D 当堂检测 3.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积. A B C D 当堂检测 A B C 3 4 13 12 D 解：连接AC， ∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3， ∴AC2=AD2+CD2=42+32=25， 又∵AC＞0，∴AC=5， 又∵BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=52+122=169， 又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)． 当堂检测 4．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入多少元？ 当堂检测 解：连接BD， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52， 在△CBD中，CD2＝132 BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2， ∴∠DBC＝90°， S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝＝36． 所以需费用36×200＝7200（元）． 当堂检测 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 将实际问题转化为几何图形问题，利用勾股定理的逆定理证明是直角转化为我们熟悉的直角三角形等图形. 课堂小结 $