培优03 一次函数实际问题6大题型（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

培优03 一次函数实际问题 题型1 分配方案问题 设未知数设其中一个分配数量为 x（一般设 “甲种…x 个”），其余所有量都用含 x 的代数式表示。 列不等式（组）求 x 取值范围根据题目限制条件列不等式，比如：数量不能为负；不超过、不少于、至多、至少；总数量固定最后一定要注意：x 通常是正整数。 列总费用 / 总利润的一次函数设总费用 / 总利润为 y，列出：y=kx+b； 根据 k 的正负判断增减性：k>0：y 随 x 增大而增大；k<0：y 随 x 增大而减小。 1. 在取值范围内取最值 · 要省钱 / 最小：取使 y 最小的 x； · 要赚钱 / 最大：取使 y 最大的 x； 1. 写出完整分配方案：k>0 → x 越小，y 越小；k<0 → x 越大，y 越小。 1．（22-23八年级上·浙江·单元测试）某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 4．（2026·河南驻马店·模拟预测）花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代600余年，流传至今．洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼．某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念品．已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵10元，且购买3盒花生糕和购买5盒牡丹饼的所需费用相同． (1)求花生糕和牡丹饼每盒的单价； (2)学校决定购买花生糕和牡丹饼共20盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍．此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠．则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？ 5．（2026·河南商丘·一模）项目式：智慧通讯 【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 题型2 最大利润问题 一、核心公式 1. 单件利润 = 售价 − 进价； 2. 销售量 = 原销量 ± 变化量（涨价就减，降价就加）； 3. 总利润y= 单件利润 × 销售量； 二、通用解题步骤 1. 设自变量 一般设：涨价 / 降价为 x 元或销售数量为 x 件； 2. 表示出两个关键量 · 涨价后：每件利润 = 原利润 + x； · 涨价后：销售量 = 原销量 − 每涨 1 元减少的数量 ×x； （降价同理：利润减 x，销量加 x）； 3. 列出总利润函数 y=(单件利润)×(销售量)整理成：y=kx+b； 4. 求 x 的取值范围 必须满足：售价 ≥ 进价（不能亏本卖）；销售量 ≥ 0；x 为整数（元 / 件）。 5. 利用一次函数增减性求最值 · k>0：y 随 x 增大而增大 → x 最大时，利润最大 · k<0：y 随 x 增大而减小 → x 最小时，利润最大 6. 代入求最大利润并写答 1．（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，已知花费300元购进甲钢笔的数量和花费600元购进乙钢笔的数量相等，每支进价和利润如下表： 甲钢笔 乙钢笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的4倍，假设购进的钢笔均能全部售出，则该文具店此次进货的最大利润是（   ）元 A．734 B．733 C．732 D．731 3．（2025·天津滨海新区·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级下·重庆·开学考试）为迎接重庆南开中学建校90周年，学生会计划向商家定制A、B两款文创礼盒：A款为印有校徽的“青莲紫韵”笔记本礼盒，B款为刻有校训的“金马奋蹄”书签礼盒．这两款礼盒将在线上进行义卖，所得款项用于资助山区学童．已知购进2套A礼盒和3套B礼盒，共需进价460元；购进5套A礼盒和2套B礼盒，共需进价710元． (1)求每套A礼盒和B礼盒的进价分别是多少元？ (2)学生会决定用不超过40000元的资金购进这两款礼盒共400套．根据前期预售情况，A礼盒的数量至少要占总数量的，且不超过总数量的．销售时，A礼盒每套售价160元，B礼盒每套售价120元．在销售末期，有4套A礼盒和6套B礼盒均按售价的七五折优惠出售．若本次购进的两种礼盒全部售出，请问购进A礼盒多少套时，可使本次义卖获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 5．（21-22八年级下·吉林长春·月考）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元． (1)种植A、B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ (2)经测算，种植A种蔬菜每亩可获利1万元，种植B种蔬菜每亩可获利2万元，村里共有田100亩、全部用来种植这两种蔬菜，总获利万元．设种植A种蔬菜亩，求关于的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的3倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 6．（25-26九年级下·广东中山·月考）昆嵛山以自然风光、名胜古迹和胶东革命圣地而闻名．素有“仙山之祖”的美誉，著名作家冯德英的小说《苦菜花》、《迎春花》、《山菊花》就是以昆嵛山革命斗争为背景而创作的．“五一”小长假将至，曲老板若用1920元购进款文旅产品和用1560元购进的款文旅产品数量相同，且每件款文旅产品进价比每件款文旅产品进价多15元． (1)求，两款文旅产品每件的进价分别是多少元？ (2)已知款文旅产品的售价100元/件，款文旅产品的售价80元/件，根据市场变化，曲老板计划用不超过7400元的总费用购进这两款文旅产品共100件，请你帮助曲老板计算一下如何进货才能使售完后获得最大利润，最大利润是多少？ 题型3 行程问题 一．常考图像规律 从原点出发s=vt，过原点，斜率 = 速度； 不在原点出发（先走了一段）s=vt+b，b 是初始距离； 往回走 / 相向而行斜率为负，s=−vt+b； 水平线段路程不变 → 在休息，速度为 0； 两线交点表示两人 / 两车 相遇； 二．典型问题秒杀思路 1）求速度：取一段：速度路程差时间差也就是图像的斜率。 2）求相遇时间 & 相遇地点 设甲：y1=k1x+b1​设乙：y2​=k2x+b2； 联立：y1​=y2​解出 x = 相遇时间，y = 相遇地点离起点的距离。 3）求两人相距 d 米 列方程：∣y1​−y2​∣=d解方程即可。 4）求谁先到达终点 看谁的图像先到最大路程对应的时间，谁就先到。 5）求休息时长 找到水平那段，用结束时间 − 开始时间。 1．（25-26八年级下·重庆·开学考试）一辆快车从地匀速驶向地，一辆慢车从地匀速驶向地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．两车出发后相遇 B．行驶时，两车相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 6．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 7．（22-23八年级下·云南文山·期末）党的十八大以来，文山路网建设进展迅速.实现了县县通等级公路和州府通高速公路的目标．小明和爸爸为了体验高铁出行，假期间爸爸带小明从家驾车到普者黑火车站乘高铁前往昆明，他们离家的距离（）与出发时间（）之间的关系如图所示． (1)小明家离普者黑火车站 ； (2)从图中可以看出，小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了 ； (3)高铁平均速度为，请你计算出普者黑火车站到昆明需要多少时间？ 8．（21-22八年级下·吉林长春·月考）李明乘车从永康到某景区旅游，同时王红从该景区返回永康．线段表示李明离永康的路程与时间的函数关系；线段表示王红离永康的路程与时间的函数关系．行驶1小时，李明、王红离永康的路程分别为，王红从景区返回永康用了4.5小时．（假设两人所乘的车在同一线路上行驶） (1)分别求关于的函数表达式； (2)当为何值时，他们乘坐的两车相遇； (3)当李明到达景区时，王红离永康还有多少千米？ 题型4 梯度计价问题 一．常见分段形式 1. 0 ≤ x ≤ a（基础量内）y=b（固定起步价）； 2. x > a（超出基础量）y=b+k(x−a)整理后：y=kx+(b−ka)； 关键点：超出部分只算 “多出来的量”，不是全部量按高价算。 二．一句话口诀 梯度计价分段算，基础以内是常数，超出部分另加价，先看区间再代算。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A．B．C．D． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（25-26八年级上·安徽池州·期末）以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A．B．C． D． 4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A．B．C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 题型5 费用最少问题 · 若 k>0：y 随 x 增大而增大→ 费用最少 ⇒ 取 x 最小； · 若 k<0：y 随 x 增大而减小→ 费用最少 ⇒ 取 x 最大。 1．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共50台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的4倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 2．（2026·河南信阳·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． (1)求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 3．（2026·河南平顶山·一模）河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元． (1)求，两种幼苗的单价； (2)该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 4．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 题型6 其它实际问题 1．（25-26九年级下·广东佛山·月考）某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． (1)求，两种食材的单价． (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 2．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）某学习小组开展“光的折射现象”的项目式学习，请完成学习任务单． 学习背景 光从空气斜射入水中时，传播方向发生偏折，这种现象叫做光的折射． 学习素材1 如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角．某学习小组在实验中改变入射角的大小并记录折射角r的大小，探究入射角与折射角的关系．   下表是实验记录的入射角与折射角的数据： 入射角：（度） 折射角（度） 学习素材2 如图2，因为池底点A反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折射光线看去，就会感觉这一点升高了．   为了解释这一现象，该学习小组成员以水面所在直线为x轴，所在直线为y轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系如图3．已知眼睛C的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为．（1个单位长度表示1米） (1)根据素材1，光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？___（填“是”或“否”） (2)根据素材1，求人眼睛看到池底处的点比实际的点A处高多少？ 3．（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）项目式学习 项目主题 汽车销售公司怎么做？既可让利给顾客，又可达到预期的利润目标！ 素材1 某汽车销售公司新进一款新能源汽车，已知进价为16万元/辆，指导售价为36万元/辆． 素材2 市场调查发现，该款汽车按指导售价36万元/辆销售时，平均每周可卖出6辆；售价每降低2万元，平均每周可多售出4辆． 措施目标 该公司决定通过降价增加销量，并最大让利给顾客． (1)设该汽车售价降低万元/辆，平均每周的销量为辆，写出与的关系式． (2)若该公司销售该款汽车，一周利润为252万元，求该款汽车的实际售价． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 一次函数实际问题 题型1 分配方案问题 设未知数设其中一个分配数量为 x（一般设 “甲种…x 个”），其余所有量都用含 x 的代数式表示。 列不等式（组）求 x 取值范围根据题目限制条件列不等式，比如：数量不能为负；不超过、不少于、至多、至少；总数量固定最后一定要注意：x 通常是正整数。 列总费用 / 总利润的一次函数设总费用 / 总利润为 y，列出：y=kx+b； 根据 k 的正负判断增减性：k>0：y 随 x 增大而增大；k<0：y 随 x 增大而减小。 1. 在取值范围内取最值 · 要省钱 / 最小：取使 y 最小的 x； · 要赚钱 / 最大：取使 y 最大的 x； 1. 写出完整分配方案：k>0 → x 越小，y 越小；k<0 → x 越大，y 越小。 1．（22-23八年级上·浙江·单元测试）某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断． 【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确． B、设25小时之后A方式的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴函数关系式为， 令，解得， ∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误． C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确． D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确． 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 4．（2026·河南驻马店·模拟预测）花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代600余年，流传至今．洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼．某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念品．已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵10元，且购买3盒花生糕和购买5盒牡丹饼的所需费用相同． (1)求花生糕和牡丹饼每盒的单价； (2)学校决定购买花生糕和牡丹饼共20盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍．此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠．则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】(1)花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为元，元 (2)应购买花生糕盒，牡丹饼盒，才能使总花费最少，最少花费为元 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）先设购买花生糕盒，则购买牡丹饼盒，总花费为元，根据题意得出，再根据购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍，得出，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为元，元， 由题意得，， 解得，． 答：花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为元，元． （2）解：设购买花生糕盒，则购买牡丹饼盒，总花费为元， 由题意得，． 又购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍， ， 解得，． ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，，． 答：应购买花生糕盒，牡丹饼盒，才能使总花费最少，最少花费为元． 5．（2026·河南商丘·一模）项目式：智慧通讯 【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议． 【答案】（1）意义见解析；（2）小宇选择经济套餐更省钱；（3）建议见解析 【分析】（1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可； （2）根据题意分别计算两种套餐费用，再进行比较即可； （3）令，求出两种套餐费用相等的时长临界点，再进行分析即可． 【详解】解：（1）由题意得，经济套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元；“15”表示每月固定收取的套餐基础费； 轻享套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元； （2）由题意得，小宇每月总可视通话时长为分钟， ∴经济套餐为 （元）； 轻享套餐为（元）， ∵， ∴小宇应选择经济套餐更省钱； （3）由题意得，令， 解得， ∴当每月可视通话时长分钟时：轻享套餐总费用更低，更省钱； 当每月可视通话时长分钟时：两种套餐费用完全相同； 当每月可视通话时长分钟时：经济套餐总费用更低，更省钱． 【点睛】本题将通讯套餐计费问题抽象为一次函数模型，通过参数意义解读、代入计算、求解函数交点与分类讨论，为用户提供了清晰的消费决策依据，充分体现了数学建模思想在生活消费场景中的实用价值，是一次函数解决实际决策问题的典型范例． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 【答案】(1)，； (2)当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 【分析】（1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出函数表达式，即可解答； （2）分三种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵设李老师带领名“三好学生”去旅游， ∴由题意得：， ， 即，； （2）解：当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， ∴当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 题型2 最大利润问题 一、核心公式 1. 单件利润 = 售价 − 进价； 2. 销售量 = 原销量 ± 变化量（涨价就减，降价就加）； 3. 总利润y= 单件利润 × 销售量； 二、通用解题步骤 1. 设自变量 一般设：涨价 / 降价为 x 元或销售数量为 x 件； 2. 表示出两个关键量 · 涨价后：每件利润 = 原利润 + x； · 涨价后：销售量 = 原销量 − 每涨 1 元减少的数量 ×x； （降价同理：利润减 x，销量加 x）； 3. 列出总利润函数 y=(单件利润)×(销售量)整理成：y=kx+b； 4. 求 x 的取值范围 必须满足：售价 ≥ 进价（不能亏本卖）；销售量 ≥ 0；x 为整数（元 / 件）。 5. 利用一次函数增减性求最值 · k>0：y 随 x 增大而增大 → x 最大时，利润最大 · k<0：y 随 x 增大而减小 → x 最小时，利润最大 6. 代入求最大利润并写答 1．（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，已知花费300元购进甲钢笔的数量和花费600元购进乙钢笔的数量相等，每支进价和利润如下表： 甲钢笔 乙钢笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的4倍，假设购进的钢笔均能全部售出，则该文具店此次进货的最大利润是（   ）元 A．734 B．733 C．732 D．731 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，首先根据购进数量相等求出进价a，然后根据总金额2000元列出方程，结合约束条件甲数量不超过乙的4倍，建立利润函数，利用一次函数的性质求最大利润. 【详解】解：∵花费300元购进甲钢笔的数量与花费600元购进乙钢笔的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴甲钢笔进价为5元，乙钢笔进价为10元. 设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支， 总进价：，即， ∴ 利润：， 把代入，得， 由题意得，，即， ∴， ∴， ∵y为正整数， ∴， 又∵， ∴， 在中，P随y增大而减小， ∴当时，P最大， 此时， ， ∴最大利润为733元， 故选：B． 3．（2025·天津滨海新区·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 4．（25-26八年级下·重庆·开学考试）为迎接重庆南开中学建校90周年，学生会计划向商家定制A、B两款文创礼盒：A款为印有校徽的“青莲紫韵”笔记本礼盒，B款为刻有校训的“金马奋蹄”书签礼盒．这两款礼盒将在线上进行义卖，所得款项用于资助山区学童．已知购进2套A礼盒和3套B礼盒，共需进价460元；购进5套A礼盒和2套B礼盒，共需进价710元． (1)求每套A礼盒和B礼盒的进价分别是多少元？ (2)学生会决定用不超过40000元的资金购进这两款礼盒共400套．根据前期预售情况，A礼盒的数量至少要占总数量的，且不超过总数量的．销售时，A礼盒每套售价160元，B礼盒每套售价120元．在销售末期，有4套A礼盒和6套B礼盒均按售价的七五折优惠出售．若本次购进的两种礼盒全部售出，请问购进A礼盒多少套时，可使本次义卖获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每套A礼盒进价110元，每套B礼盒进价80元. (2)购进A礼盒266套时，总利润最大，最大利润为18320元. 【分析】（1）设每套A礼盒进价为x元，每套B礼盒进价为y元，根据题意利用两种购进的总价条件列二元一次方程组，求解即可得到两种礼盒的进价； （2）设购进A礼盒的数量，根据资金限制和A礼盒数量的范围要求确定自变量的取值范围，再根据利润计算方法列出总利润关于A礼盒数量的一次函数，结合一次函数的单调性即可求出最大利润和对应的购进数量． 【详解】（1）解：设每套A礼盒进价为x元，每套B礼盒进价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：每套A礼盒进价110元，每套B礼盒进价80元； （2）解：设购进A礼盒m套，则购进B礼盒套，总利润为W元，根据题意， A礼盒数量满足，即，且m为正整数； 又资金不超过40000元，得， 解得， ∴m的取值范围为，m为正整数； ∴总利润 ， ∵， ∴W随m的增大而增大, ∴当m取最大值266时，W取得最大值， ∴元； 答：购进A礼盒266套时，可使本次义卖获得的总利润最大，最大利润是18320元． 5．（21-22八年级下·吉林长春·月考）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元． (1)种植A、B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ (2)经测算，种植A种蔬菜每亩可获利1万元，种植B种蔬菜每亩可获利2万元，村里共有田100亩、全部用来种植这两种蔬菜，总获利万元．设种植A种蔬菜亩，求关于的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的3倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩需投入0.6万元，B种蔬菜每亩需投入0.8万元 (2) (3)当种植A种蔬菜75亩，B种蔬菜25亩时，总获利最大，最大总获利为125万元 【分析】（1）设未知数后根据题干给出的两种投入情况列二元一次方程组，求解即可得到每亩投入； （2）用m表示出B种蔬菜的种植面积，再根据总获利等于两种蔬菜获利之和，整理得到w与m的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）先根据种植面积的限制条件列出不等式求出m的取值范围，再结合一次函数的增减性求出最大总获利，得到最优种植方案． 【详解】（1）解：设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，种植B种蔬菜每亩需投入y万元. 根据题意，得， 解得， 答：种植A种蔬菜每亩需投入0.6万元，B种蔬菜每亩需投入0.8万元； （2）解：设种植A种蔬菜m亩，则种植B种蔬菜亩，其中. 根据题意，总获利， 答：关于的函数关系式为； （3）解：由题意得， 解得， 结合，得， ∵，一次项系数， ∴w随m的增大而减小， ∴当m取最小值75时，w取得最大值， 此时（亩）， （万元）； 答：当种植A种蔬菜75亩，B种蔬菜25亩时，总获利最大，最大总获利为125万元． 6．（25-26九年级下·广东中山·月考）昆嵛山以自然风光、名胜古迹和胶东革命圣地而闻名．素有“仙山之祖”的美誉，著名作家冯德英的小说《苦菜花》、《迎春花》、《山菊花》就是以昆嵛山革命斗争为背景而创作的．“五一”小长假将至，曲老板若用1920元购进款文旅产品和用1560元购进的款文旅产品数量相同，且每件款文旅产品进价比每件款文旅产品进价多15元． (1)求，两款文旅产品每件的进价分别是多少元？ (2)已知款文旅产品的售价100元/件，款文旅产品的售价80元/件，根据市场变化，曲老板计划用不超过7400元的总费用购进这两款文旅产品共100件，请你帮助曲老板计算一下如何进货才能使售完后获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)文旅产品每件的进价为元，文旅产品每件的进价为元 (2)购进文旅产品件，文旅产品件才能使售完后获得最大利润，最大利润是1800元 【分析】（1）设文旅产品每件的进价为元，则文旅产品每件的进价为元，根据数量总价单价，且1920元购进款文旅产品和用1560元购进的款文旅产品数量相同，列出方程运算即可； （2）设购进文旅产品件，则购进文旅产品件，根据购进的价格购进的价格求出的取值范围，设获得的利润为元，根据利润的利润的利润列出函数表达式，再分析求最大值即可． 【详解】（1）解：设文旅产品每件的进价为元，则文旅产品每件的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 文旅产品每件的进价为：（元）， 答：文旅产品每件的进价为元，文旅产品每件的进价为元． （2）解：设购进文旅产品件，则购进文旅产品件． 根据题意，得， 解得， 设获得的利润为元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时值最大，， （件）， 答：购进文旅产品件，B文旅产品件才能使售完后获得最大利润，最大利润是元． 题型3 行程问题 一．常考图像规律 从原点出发s=vt，过原点，斜率 = 速度； 不在原点出发（先走了一段）s=vt+b，b 是初始距离； 往回走 / 相向而行斜率为负，s=−vt+b； 水平线段路程不变 → 在休息，速度为 0； 两线交点表示两人 / 两车 相遇； 二．典型问题秒杀思路 1）求速度：取一段：速度路程差时间差也就是图像的斜率。 2）求相遇时间 & 相遇地点 设甲：y1=k1x+b1​设乙：y2​=k2x+b2； 联立：y1​=y2​解出 x = 相遇时间，y = 相遇地点离起点的距离。 3）求两人相距 d 米 列方程：∣y1​−y2​∣=d解方程即可。 4）求谁先到达终点 看谁的图像先到最大路程对应的时间，谁就先到。 5）求休息时长 找到水平那段，用结束时间 − 开始时间。 1．（25-26八年级下·重庆·开学考试）一辆快车从地匀速驶向地，一辆慢车从地匀速驶向地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．两车出发后相遇 B．行驶时，两车相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】先从图像中提取两车相遇时间与慢车全程行驶时间，结合总路程求出两车速度，再根据各选项对应的时间点进行判断． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 据图可知，当行驶时间为时，两车相遇，当行驶时间为时，慢车到达地， 可得，， 解得，， 则， 选项：当行驶时间为时，，可知两车相遇，故正确； 选项：当，两车从相遇点又分别行驶了，则两车的距离为，故正确； 选项：快车到达目的地需用时：，慢车到达目的地需用时：， 则快车比慢车早到，故错误； 选项：快车的速度为，慢车的速度为，故正确． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离，利用待定系数法可求解析式，分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：， 解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 3．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，关键是先根据图象求出两人距离随时间变化的函数表达式，再结合行程关系求出甲移动的距离． 【详解】解：设关于的函数为， 将、代入，得，解得， 函数表达式为． 当时，． 设甲自点移动的距离为，则， 解得， ∴甲自点移动． 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用；根据速度等于高度除以时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度等于速度乘以时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值和t的值；找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者的差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④正确； 故选：C． 5．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】(1)40；160；240 (2) (3)①144；②或或 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 6．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3)8 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小丽到达点A的时间为， 小明到达点A的时间为：， 小明的速度：； （2）解：点B到点C所用时间为， 则点B的时间为， 点 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得，， 则线段的函数表达式为； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ∴， 离山庄的路程为． 7．（22-23八年级下·云南文山·期末）党的十八大以来，文山路网建设进展迅速.实现了县县通等级公路和州府通高速公路的目标．小明和爸爸为了体验高铁出行，假期间爸爸带小明从家驾车到普者黑火车站乘高铁前往昆明，他们离家的距离（）与出发时间（）之间的关系如图所示． (1)小明家离普者黑火车站 ； (2)从图中可以看出，小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了 ； (3)高铁平均速度为，请你计算出普者黑火车站到昆明需要多少时间？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由图可得出结果； （2）由图可得出结果； （3）根据距离速度时间，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：当时，， 小明家离普者黑火车站； （2）解：由图可知：当时，， ， 小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了； （3）解：从家驾车到普者黑火车站路程为，离家的总路程为， 则坐高铁的路程为 普者黑火车站到昆明需要 的时间为， 答：普者黑火车站到昆明需要． 8．（21-22八年级下·吉林长春·月考）李明乘车从永康到某景区旅游，同时王红从该景区返回永康．线段表示李明离永康的路程与时间的函数关系；线段表示王红离永康的路程与时间的函数关系．行驶1小时，李明、王红离永康的路程分别为，王红从景区返回永康用了4.5小时．（假设两人所乘的车在同一线路上行驶） (1)分别求关于的函数表达式； (2)当为何值时，他们乘坐的两车相遇； (3)当李明到达景区时，王红离永康还有多少千米？ 【答案】(1)， (2) (3)72千米 【分析】（1）设，，利用待定系数法求解； （2）他们乘坐的两车相遇时，由此列方程求解； （3）先求出李明到达景区所用时间，代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 代入点得：， ； 设， 代入点，得：， 解得， ． （2）解：令，得：， 解得， 即时，他们乘坐的两车相遇； （3）解：由知从永康到景区的距离为， 李明到达景区时，， 此时， 即当李明到达景区时，王红离永康还有72千米． 题型4 梯度计价问题 一．常见分段形式 1. 0 ≤ x ≤ a（基础量内）y=b（固定起步价）； 2. x > a（超出基础量）y=b+k(x−a)整理后：y=kx+(b−ka)； 关键点：超出部分只算 “多出来的量”，不是全部量按高价算。 二．一句话口诀 梯度计价分段算，基础以内是常数，超出部分另加价，先看区间再代算。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分两种情况推导函数式：当购买质量不超过时，是正比例函数；当超过时，是斜率更小的一次函数，由此对应图象的两段不同倾斜程度． 【详解】解：①当时，糖果单价为元/， ∴，这是过原点的正比例函数，当时，，即该段图象是从原点到点的直线，倾斜程度较大． ②当时，超过的部分单价为元/， ∴， 这是一次函数，该段图象的倾斜程度比前一段更平缓． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可. 【详解】解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽池州·期末）以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像的识别，根据题意列出函数式子是解题的关键． 列出函数解析式再作图即可判断． 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，， ∴与的函数关系为：， 作出图像可得：， 故选：C． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 题型5 费用最少问题 · 若 k>0：y 随 x 增大而增大→ 费用最少 ⇒ 取 x 最小； · 若 k<0：y 随 x 增大而减小→ 费用最少 ⇒ 取 x 最大。 1．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共50台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的4倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人40台时花费最少，最少花费是13600元 【分析】（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的4倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设型机器人模型单价为元，根据题意得： 解得， 经检验，是所列分式方程的解，（元） 答：型机器人模型单价为500元，型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买型机器人台，根据题意得， 解得， ∴， 设共花费元，则， ，可知随的减小而减小， ， 当时，值最小． （台）． 答：购买型机器人10台、型机器人40台时花费最少，最少花费是13600元． 2．（2026·河南信阳·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． (1)求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1) 每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． (2) 最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个，最少费用为7000元． 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种球的单价； （2）设购买篮球的个数，得到总费用关于篮球个数的一次函数，再根据题干给出的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买方案． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得 ， 解得：， 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． （2）解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数， ∴ ，，， ∴ ，m为正整数， ∴总费用 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元． 3．（2026·河南平顶山·一模）河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元． (1)求，两种幼苗的单价； (2)该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元 (2)当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元 【分析】（1）设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设采购种幼苗株，则种幼苗株，总费用为元，得出，根据购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株， ∵购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元， ∴， 解得：， ∴种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元． （2）解：设总费用为元，采购种幼苗株，则种幼苗株， ∴， ∵购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元． 【点睛】本题是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确得出方程组及不等式，掌握一次函数的性质是解题关键． 4．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元 (2)与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个毛绒玩具价格为元，每个编程玩具价格为元， 由题意得，， 解得， 答：每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元． （2）解：由题意得编程玩具有个， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值为， 答：与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元． 题型6 其它实际问题 1．（25-26九年级下·广东佛山·月考）某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． (1)求，两种食材的单价． (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 (2)种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元 【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； （2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 2．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）某学习小组开展“光的折射现象”的项目式学习，请完成学习任务单． 学习背景 光从空气斜射入水中时，传播方向发生偏折，这种现象叫做光的折射． 学习素材1 如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角．某学习小组在实验中改变入射角的大小并记录折射角r的大小，探究入射角与折射角的关系．   下表是实验记录的入射角与折射角的数据： 入射角：（度） 折射角（度） 学习素材2 如图2，因为池底点A反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折射光线看去，就会感觉这一点升高了．   为了解释这一现象，该学习小组成员以水面所在直线为x轴，所在直线为y轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系如图3．已知眼睛C的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为．（1个单位长度表示1米） (1)根据素材1，光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？___（填“是”或“否”） (2)根据素材1，求人眼睛看到池底处的点比实际的点A处高多少？ 【答案】(1)否 (2)人眼睛看到池底处的点比实际的点处高米 【分析】（1）根据表格数据当入射角度增加相同的度数，而折射角增加的度数不相等，据此，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式，进而求得点，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴入射角和折射角不存在一次函数关系， 故答案为：否． （2）解：设直线的解析式为， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 ∵点的坐标为. ∴ 答：人眼睛看到池底处的点比实际的点处高米． 3．（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）项目式学习 项目主题 汽车销售公司怎么做？既可让利给顾客，又可达到预期的利润目标！ 素材1 某汽车销售公司新进一款新能源汽车，已知进价为16万元/辆，指导售价为36万元/辆． 素材2 市场调查发现，该款汽车按指导售价36万元/辆销售时，平均每周可卖出6辆；售价每降低2万元，平均每周可多售出4辆． 措施目标 该公司决定通过降价增加销量，并最大让利给顾客． (1)设该汽车售价降低万元/辆，平均每周的销量为辆，写出与的关系式． (2)若该公司销售该款汽车，一周利润为252万元，求该款汽车的实际售价． 【答案】(1) (2)该款汽车的实际售价为万元/辆． 【分析】（1）根据汽车按指导售价36万元/辆销售时，平均每周可卖出6辆；售价每降低2万元，平均每周可多售出4辆即可列出关系式； （2）根据一周的销售利润一周的销售量（销售价进价）列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得，即， 解得：或， 若，则售价为万元； 若，则售价为万元 该公司决定通过降价增加销量，并最大让利给顾客， ， 则（万元）， 答：该款汽车的实际售价为万元/辆． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $