专题12.4 多边形的内角和定理、多边形的外角和定理（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题12.4 多边形的内角和定理、多边形的外角和定理（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 多边形内角和的计算】 1 【题型2 多（少）算一个角问题】 2 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 2 【题型4 复杂多边形的内角和】 3 【题型5 多边形外角问题的计算】 5 【题型6 多边形外角和的实际应用】 5 【题型7 多边形的内角和外角的综合】 7 【题型8 平面镶嵌】 8 知识点1 多边形的内角和定理与外角和定理 1. 多边形内角和定理：n边形的内角和为180°(n-2),其中n≥3. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数没有关系. 【题型1 多边形内角和的计算】 【例1】（25-26八年级上·全国·月考）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，正六边形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数是 ． 【题型2 多（少）算一个角问题】 【例2】（24-25八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【变式2-1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【变式2-3】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 【例3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（      ） A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式3-2】将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【变式3-3】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【题型4 复杂多边形的内角和】 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【变式4-3】阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【题型5 多边形外角问题的计算】 【例5】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-2】一个多边形的内角的是五边形外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【变式5-3】按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【题型6 多边形外角和的实际应用】 【例6】规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【变式6-1】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【变式6-2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进2米后左转，再沿直线前进2米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【变式6-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【题型7 多边形的内角和外角的综合】 【例7】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【变式7-3】在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【题型8 平面镶嵌】 【例8】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【变式8-1】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形 【变式8-2】如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 多边形的内角和定理、多边形的外角和定理（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 多边形内角和的计算】 1 【题型2 多（少）算一个角问题】 3 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 6 【题型4 复杂多边形的内角和】 8 【题型5 多边形外角问题的计算】 13 【题型6 多边形外角和的实际应用】 15 【题型7 多边形的内角和外角的综合】 18 【题型8 平面镶嵌】 24 知识点1 多边形的内角和定理与外角和定理 1. 多边形内角和定理：n边形的内角和为180°(n-2),其中n≥3. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数没有关系. 【题型1 多边形内角和的计算】 【例1】（25-26八年级上·全国·月考）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可． 【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键． 根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵白色皮块是六边形， ∴内角和为． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，正六边形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2 多（少）算一个角问题】 【例2】（24-25八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为 ，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为 ， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 【变式2-1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【变式2-2】请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 【变式2-3】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【答案】C 【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数． 【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n． 则（n-2）×180=830+x， 即（n-2）×180=4×180+110+x， 因此x=70，n=7或x=250，n=8． 故该多边形的边数是7或8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 【例3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（      ） A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7 【答案】D 【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，分类讨论即可确定原多边形的边数． 【详解】解：如图， 剪切的三种情况： ①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=720， 解得：n=6． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 【变式3-2】将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【答案】C 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：n边形的内角和是，外角和 边数增加1，则新的多边形的内角和是：， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 所以淇淇说的对，其他的值为360°或180°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 【变式3-3】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°， ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件， ②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件， ③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件， ∴符合条件的剪法是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 【题型4 复杂多边形的内角和】 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 【变式4-1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式4-2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式4-3】阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 【题型5 多边形外角问题的计算】 【例5】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】(1)该多边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，根据多边形的外角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为6； （2）解：由（1）可得该多边形是正六边形， 每一个外角的度数． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 【变式5-2】一个多边形的内角的是五边形外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【分析】根据多边形的内角和等于，外角和等于，结合题意列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是，则这个多边形的内角和为， ∵五边形的外角和为，且这个多边形的内角和是五边形的外角和的3倍， ∴， 解得， ∴这个多边形为八边形． 故答案为：八． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式和外角和为是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写． 【变式5-3】按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】(1)14 (2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是 【分析】（1）n边形的内角和为，结合已知条件，列出关于n的一元一次方程，即可求解； （2）正n边形的内角和为，外角和为，则，解方程即可． 【详解】（1）解：n边形内角和为，四边形的内角和为360°， 由题意得，， 解得， 即n的值为14； （2）解：正n边形的内角和为，所有外角都相等且外角和为， 由题意得，， 解得， ， 即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n边形内角和为，外角和为． 【题型6 多边形外角和的实际应用】 【例6】规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进2米后左转，再沿直线前进2米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【答案】40 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角，熟知任意多边形的外角和都是．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：由题意，得每一个外角是， ， 米， 故答案为：40． 【变式6-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 【题型7 多边形的内角和外角的综合】 【例7】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由四边形内角和得到，然后结合平角的定义即可证明； （2）由角平分线得到，，由得到，然后结合四边形内角和求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）如图所示，过点C作，同（2）得到，然后结合平行线的性质等量代换得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （3）如图所示， ∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （4）如图所示，过点C作， ∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和，角平分线的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式7-3】在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键． 【题型8 平面镶嵌】 【例8】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 【变式8-1】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形 【答案】D 【分析】本题考查平面镶嵌条件，解题的关键是用“简化内角公式”速算已知正多边形内角，结合“顶点总内角”和“个数为正整数”，快速锁定另一种正多边形． 用简化公式算已知正多边形内角，确定其顶点处可能个数（因内角大，个数仅1或2）； 按“减已知内角和”算剩余内角，匹配正多边形内角（需为正多边形内角且个数为正整数）． 【详解】解：由简化公式“正边形内角”，得； 因，故正八边形顶点处仅能放1个或2个． 若放1个：剩余内角和，无正多边形内角能整除（排除）； 若放2个：剩余内角和，是正四边形内角（正四边形内角），符合条件． 故另一种正多边形是正四边形，选D． 故选：D． 【变式8-2】如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据题意可得正多边形的外角为，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， 正三角形和正n边形密铺， 拼接点的角刚好能拼成一个周角，， ， ， 正n边形的外角为：， 这个多边形的边数是， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $