专题06 勾股定理、平行四边形中的10大常考几何模型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06勾股定理、平行四边形中的常考几何模型 题型归纳·内容导航 题型1折叠模型（必考） 题型6矩形中的“十字架” 模型（核心大题） 题型2最短路径模型（必考） 题型7菱形（含60°/120°)模型（核心大题） 题型3风吹树折/水深红莲（必考） 题型8正方形三垂直全等(K字型) (核心大题) 题型4中点四边形模型（核心大题） 题型9中点&中位线模型（核心大题） 题型5垂美四边形（核心大题） 题型10几何模型综合新考法（压轴大题） 题型通关·靶向提分 题型一折叠模型（共13小题） 1.(24-25八年级下，贵州黔东南期中)如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,如果将该矩形沿对 角线BD折叠，AE是() E A.4cm B.3cm C.5cm D.8cm 【答案】B 【详解】解：根据折叠得：∠CBD=LEBD, :四边形ABCD是矩形， :AD∥BC .∠EDB=∠CBD, ∠EBD=∠EDB, :BE DE, 设BE=DE=x,则AE=8-x, 在RtAABE中，AE2+AB2=BE2, 1/165 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ：(8-x2+42=x2, 解得：x=5, 即DE=5, :AE AD-DE=8-5=3cm 故选：B 2.(24-25八年级下广东广州期中)如图，在长方形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个 动点，把ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为(). B A.2 B.5 c D.3 2 【答案】B 【详解】解：如图：点F在AB的垂直平分线MN上， :AN=TAB=4: AF=AD=5, FN=√AF2-AN2=3, .FM=2, 设DE为Y,则EM=4-y,FE=y, 在EMF中，由勾股定理得：y2=（4-y)2+22, 5 y=),即DE的长为3 故选B 3.(24-25八年级下.安徽合肥期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=4,BC=6,将它的锐角A翻 折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则DE的长为() 2/165 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.3 c D. 8 【答案】D 【详解】解：：点D为BC的中点， :.CD=1BC=3, 由折叠的性质可得AE=DE, 设AE=DE=x,则CE=AC-AE=4-x, 由勾股定理得CE2+CD2=DE2, (4-x)2+32=x2, 解得：x=25 ..DE= 25 8 故选：D. 4. (24-25八年级下.四川成都期中)如图，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上.将 该纸片沿EF折叠，使点A的对应点G落在边CD上，折痕EF与AG交于点Q,点K为GH的中点，则随 着折痕EF位置的变化，△GOK周长的最小值为. E K D G 【答案】4+4V5 【详解】解：取AB的中点M,连接DO,QM,DM. y M B F H:四边形ABCD是正方形， K G 3/165 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AB=8,∠DAM=∠ADG=90°， AM BM =4, DM=V82+42=4V5, :点K为GH的中点， ..GK HK 由折叠得AB,GH关于EF对称， ∴.QM=QK, LADG=90°，AQ=QG, ∴.DQ=AQ=QG, .△QGK的周长=GK+QG+QK=4+DQ+QM. 又：DQ+QM≥DM, .DQ+QM≥45， △QGK的周长的最小值为4+4√5， 故答案为：4+45 5.(24-25八年级下.江苏南京·期中)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若 AE=2,DE=6,∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是 A----- D B 【答案】163 【详解】解：在矩形ABCD中， :AD∥BC, ∴.∠DEF=∠EFB=60°， :把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处， ∴∠EFB'=∠EFB=60°，∠B=∠A'B'F=90°，∠A=∠A'=90°， AE=A'E =2,AB A'B', 4/165 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△EFB中， :∠DEF=∠EFB=∠EB'F=60 △EFB'是等边三角形， 在Rt△A'B'E中， ∠A'B'E=90°-60°=30°， .B'E=2A'E,而AE=2, B'E=4, .AB=2V3,即AB=25, :AE=2,DE=6, .AD=AE+DE=2+6=8, :矩形ABCD的面积=ABAD=2√5×8=16V5. 故答案为：16√3. 6.(24-25八年级下广东中山期中)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿AD和 EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是 【答案】 6 【详解】解：：沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处， AP=AB=2,∠B=∠APB, :折叠纸片，使点C与点P重合， ∴CE=PE,∠C=LCPE, :∠BAC=90°， .∠B+∠C=90°， ∴.∠APB+∠CPE=90°， .∠APE=90°， 在RtAPE中，AP2+PE2=AE2, 设AE=x,则CE=PE=3-x, 5/165 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .22+(3-x)2=x2, 解得：x=13 即AE=3 故答案为： 6 7.(24-25八年级下江苏淮安期中)如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E是边CD上一点，且 DE=2,将ADE沿直线AE对折，得到△AFE.连接BF,则△ABF的面积为 E B 【答案】19.2 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， CD∥AB,BC⊥AB,BC⊥CD,∠D=90°， 如图，过点F作MN∥BC交CE于点M,交AB于点N, D. EM N B 则FM⊥EC,FN⊥AB, :四边形ADMN为矩形， .AD =MN, 由折叠的性质得：∠D=∠AFE=90°，AD=AF=6,DE=EF=2, 设AN=x,NF=y,则MF=6-y,EM=x-2, 在Rt△EMF中，由勾股定理得：EM2+MF2=EF2, 即(x-2)2+(6-y)2=2①， 在Rt△ANF中，由勾股定理得：AW2+NF2=AF2, 即x2+y2=62②， x=3.6 联立①②解得： y=4.8 (非正数值已舍去)， 6/165 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FN=4.8, S-4B-FN=x8x48=192, 1 故答案为：19.2 8.(24-25八年级下.四川雅安期中)如图，在纸片ABC中，AB=AC=12,∠B=30°，折叠纸片，使点 B落在AC的中点D处，折痕为EF,则△DEF的面积为 B 【答案】”6 【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G, G A :∠BAC=120°， .∠GAC=60°，∠GDA=309, AG-TAD-4C-3.DG-AG 4 设AE=x,则BE=I2-x=DE, 在Rt△DGE中，DE2=GE2+GD2,即(12-x)2=(x+32+3V3, 解得：x=18 5e=DG×AE=x18x3N5-275. 25 5 过D作CF的垂线，垂足为H,过A作BC的垂线，垂足为N, :∠B=30°， :AW=AB=6,BN=22-6=6W5, 2 BC=12√3， DF=y,CF=123-y.DH=CD=3.CH=CD-DH=33. 7/165 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则有DH2+FH2=DF2,即32+125-y-35=y2, 解得：y=145 3 则Sc=DHCF=×3x125-145-1w5. 2 3 .5.5.u5.5.ve caAN-s mu-5.m) 256-g5-1w5 495 故答案为： 9.(24-25八年级下福建三明期中)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AC=12,BC=10,D是BC的中 点，E是AC边上一动点.将△CDE沿DE所在直线折叠得到AC'DE·当△AEC是直角三角形时，AC'的长 为 【答案】8或√74 【详解】解：如图1，当∠EC'A=90°时， C :∠C=∠DCE=90°， B 图1 ·∠DCE+∠ECA=180°， D,C,A共线， ~GD=D8=号sc=5,4C=12. :AD=VCD2+AC2=V52+122=13, 8/165 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设CE=EC'=x,则AE=12-x, 在RIAAEC'中，则有(12-x)2=x2+13-5)2, 解得x=10 CE=EC=10 AC=AE2-EC2 如图2，当AEC'=90°时，∠CED=∠DEC'=45°， :∠C=90°， A 图2 :CDE=∠CED=45°， :CD=CE=5, :CE=EC'=5.AE=12-5=7 :AC'=VAE'+EC2=V72+52=V74 综上所述，满足条件的AC'的值为8或√74. 故答案为8或√74， 10.(24-25八年级下广东惠州期中)如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的边AB川CD,点B坐标 为9,3)，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF. A D (1)求证：aDEF为等腰三角形； (2)求折痕EF的长. 【详解】(1)证明：由折叠得∠DEF=∠BEF, :AB∥C0, 9/165 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BEF=∠DFE, ∴∠DEF=∠DFE, :△DEF为等腰三角形： (2)解：过点E作EH⊥OC于点H, E A B D :E4,3,F5,0), EH=3,FH=OF-OH=5-4=1, EF=√EH?+FH=V32+P=0. 11.(24-25八年级下湖北宜昌期中)如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处， AE是折痕.。 A E 图1 图2 (1)如图1，若AB=6,AD=10,求折痕AE的长： (2)如图2，若EC:FC=3:4,求AE:DF的值. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°，AB=CD=6,AD=BC=10, 由折叠可知，AD=AF=10,DE=EF, .BF=√AF2-AB2=8, :FC=BC-BF=10-8=2, 设EF=DE=x,则CE=6-x, .CF2+CE2=EF2, 22+(6-x)2=x2, 10/165 专题06 勾股定理、平行四边形中的常考几何模型 题型1 折叠模型（必考） 题型6 矩形中的 “十字架” 模型（核心大题） 题型2 最短路径模型（必考） 题型7 菱形（含 60°/120°）模型（核心大题） 题型3 风吹树折 / 水深红莲（必考） 题型8 正方形三垂直全等（K 字型）（核心大题） 题型4 中点四边形模型（核心大题） 题型9 中点 & 中位线模型（核心大题） 题型5 垂美四边形（核心大题） 题型10 几何模型综合新考法（压轴大题） 题型一 折叠模型（共13小题） 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是( ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在长方形中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为______． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 6．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是________． 7．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 8．（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为__________． 9．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 11．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 12．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 13．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 题型二 最短路径模型（共9小题） 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 2．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为______m． 4．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 7．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 8．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 题型三 风吹树折 / 水深红莲（共7小题） 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 7．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 题型四 中点四边形模型（共5小题） 1．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四边形，点E、F、G、H分别为边、、、的中点，于O，，． (1)求证：判定四边形为矩形． (2)求的长． 3．（24-25八年级下·湖北·期中）问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 题型五 垂美四边形（共6小题） 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______垂美四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长． 3．（24-25八年级下·全国·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 4．（24-25八年级下·江苏常州·期中）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形．如图①，已知四边形，，规定像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是________． 【性质探究】 (2)性质1：请猜想两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题解决】 (3)如图②，分别以直角的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，已知，，求． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）【定义新概念】我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 【新概念性质探究】通过探究，小艾同学探索并证明了“垂美四边形”的如下性质： 性质：垂美四边形四条边之间的数量关系如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即； 【应用新概念和性质解决问题】： (1)如图2，，分别是中、边上的中线，，垂足为，若，则________． (2)如图3，在长方形中，为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长； (3)如图4，是四边形内一点，，，，与交于点，与交于点，与交于点． ①求证：四边形是“垂美四边形”； ②若，，，求的长． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，垂美四边形两组对边与之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (3)如图③，在中，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点M，N．试猜想四边形的形状，并说明理由． (4)如图④，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长． 题型六 矩形中的 “十字架” 模型（共9小题） 1．（25-26八年级下·全国·期中）正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连． (1)如图①所示，求证：矩形是正方形． (2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图1所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点． (1)请问和有何数量关系，并说明理由； (2)如图所示，在（1）的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数． 3．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： “十字架模型”的拓展研究有这样一道习题：如图①，四边形是一个正方形花园，，是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面的问题，我是这样思考的： 四边形是正方形， ，． 又， ． ．（依据） ， ． 有趣的是，对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，这两条线段是否仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图②，在正方形中，若点，，，分别是，，，上的任意一点，且，垂足为，则仍然与相等，证明如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则容易证明四边形和四边形均为矩形， ，， ， ． 在四边形中， ， …… 任务：根据上面小论文的点拨过程，解决下列问题： (1)画横线部分的“依据”是______． (2)在小论文的点拨过程中，主要运用的数学思想有______．（从下面选项中选出两项） A．转化思想                                B．方程思想 C．由特殊到一般的思想                    D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图②剩余的证明过程； (4)如图③，将边长为4的正方形纸片折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长为______． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过E作于F，若，，求的值； (3)过A作于G，交边于点H． ①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明； ②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系． 6．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 7．（24-25八年级下·江西宜春·期中）已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． (1)①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若，，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 8．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，正方形，是上一点，交的延长线于． (1)在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； (2)如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： (3)如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级下·广东珠海·期中）综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 题型七 菱形（含 60°/120°）模型（共7小题） 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，，E是线段上一动点（不与点B，C重合），连接，F在线段上，连接，满足． (1)依题意补全图1，用等式表示、和的数量关系，并证明； (2)连接，过F作的平行线，交于点．写出一个的值，使四边形为平行四边形，并证明． 2．（24-25八年级下·吉林·期中）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． (1)若四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，，求的长； (3)过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形是平行四边形，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，点E为上一个动点，点T为上一个动点，连接、，且，，，求证：为等边三角形； (3)在（2）的条件下，当点T与点C重合时，过点E作，交延长线于点H，交于点F，交于点P，且，连接，求的面积． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，已知四边形是菱形，，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边、于点、，且． (1)求证：； (2)如图2，若，过作交于点，过作交于点，连接、．求证：四边形是矩形； (3)如图3，在(2)的条件下，当点为中点时，为延长线上一点，为延长线上一点，连接、，为中点，连接、、，若，，四边形的周长为，，求矩形的面积． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 7．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 题型八 正方形三垂直全等（K 字型）（共5小题） 1．（24-25八年级上·广东汕头·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期中）“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 5．（23-24八年级上·河北石家庄·月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 题型九 中点 & 中位线模型（共8小题） 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是边上的中线，点E是射线上一点（点E不与点A重合）．连接并延长至点F，使，连接．过点A作，交直线于点G． (1)当点E在线段上时，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，若，当为等腰三角形时，求的长． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． 【数学思考】 如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． 【深入探究】 如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长． ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是平行四边形，． (1)判断的形状并证明； (2)在（1）的条件下，若，E是的中点，F是延长线上一点，，求证：． (3)在（2）的条件下，若的延长线与交于点P，试判定四边形是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答） 4．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图，在中，点，分别是边，的中点，连接．点为延长线上一点，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：为直角三角形； (3)在（2）的条件下，若，，直接写出的长_____． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中．连接，M为的中点，连接，求证：． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的中位线，点C关于的对称点为E，以，为邻边构造矩形，交于点H，连结． (1)求证：． (2)若，在的边上取一点P，在矩形的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的平行四边形的面积． (3)在（2）的条件下，在内取一点O，使四边形是平行四边形，连结，，．在内任取一点P，则的最小值为____________（直接写出答案）． 7．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在数学学习和研究中我们经常用到类比、转化等思想方法，请看下面的案例．已知三角形中任意两边的中点或一边上的中点，我们通常会采取下面的方法进行转化． （一）直接构中位线： （二）构造中点构中位线： 【解决问题】 （1）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，点在上，且，连接，求的长． （2）如图，与均为等腰直角三角形点，，分别为边，，的中点，判断线段与之间的关系，并说明理由． 8．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）【综合实践】数学课上大家一起研究三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知；如图，在中，D，E分别是边的中点，求证：，且． 【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加辅助线的方法 甲：延长至点F，便，连接． (1)【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到上图上，并根据他的思路证明三角形的中位线定理； (2)【合作交流】通过交流，乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的添加辅助线的方法： 乙：延长到点F，使，连接． 丙：过点A作于点H，延长到点G，使，延长到点F，使连接 ． 丁：过点E作，交于点G，过点A作的平行线，交的延长线于点F． 则三位同学所作的辅助线能证明三角形的中位线定理的是 ； A． 乙、丁    B．丙、丁    C．乙、丙    D．乙、丙、丁 (3)【定理应用】如图，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点A和点D，使，连接，并分别找到和的中点M，N．若测得，求C，B两地之间的距离（写出解题过程） 题型十 几何模型综合新考法（共11小题） 1．（24-25八年级下·山东日照·期中）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_____． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______°，_____°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）【母题再现】：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 【知识探究】证明：如图1：取的中点，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， …… ∴． 【拓展思考】 (1)在图1中，连接，求的值； (2)如图2，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变，请类比知识探究中的证明方法，求证：； (3)若在（2）的条件下；连接，已接，，求的周长． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）新定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如果有，则称点为关于点的勾股点． (1)概念理解：如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在小正方形的顶点上，则_______，_______，_______，那么点是关于点______的勾股点． (2)问题探究：如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． (3)应用发现：如图4，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，则的长为_______； (4)扩展延伸：在（3）的条件下，如图5，已知点在直线左上方区域，且点是关于点的勾股点，当为等腰三角形时，请直接写出此时四边形的面积． 4．（24-25八年级下·广东佛山·期中）综合与探究： 折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点的对应点为． 【探究1】如图2，当与重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程； 证明：沿翻折至， ， 在平行四边形中，， ， ， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， = ， ； 【探究2】如题图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； 【探究3】如图4，若，当刚好落在点的中点上时，是的中点，连接，若是直角三角形，直接写出的长． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，我们称为2倍角三角形，2倍角三角形会有一些性质． 特例感知： （1）如图1，在中，于点，，，则________；（用填空） 数学思考： （2）如图2，在中，于点，，求证：； 尝试应用： （3）如图3，在中，对角线、相交于点，于点，，点为上一点，连接交于点，若，，，求的长． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【链接教材】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 则下列结论正确的是________（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为的正方形按如图3所示的方法摆放，点分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_______． ②如图4，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，则的长度为________． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校初三学年数学兴趣小组开展综合实践活动，赵老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．例如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，由此抽象出下列几何图形，并设置相关问题，请你帮助解答下面问题： 【初步感知】如图1，在等腰三角形ABC中，，过点B作，F为BC延长线上一点，连接FE并延长与CA的延长线相交于点G，．求证：四边形ABEG为平行四边形； 【观察发现】如图2，在（1）的条件下，D为AB上一点，连接GD，通过观察、猜想并填空，当时，请直接写出直线DG与BC的位置关系为：______； 【图形综合应用】如图3，在（2）的条件下，，连接BG与AE相交于点O，连接CD，当射线CD恰好经过点O时，取BC中点，连接ON，，求线段ON的长度． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，如图1所示，，则四边形是筝形；在平面直角坐标系中，筝形的顶点，在坐标轴上，点在线段上． (1)如图1，求证：筝形的一条对角线被另一条对角线垂直平分． (2)如图2，若，点在线段上运动（与点、不重合），过点作垂直，交射线于点，过点作垂直于点；在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出此时的长；如果不能，试说明理由． (3)如图3，若，在射线上裁取，使，请直接写出的最小值． 9．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P为点Q关于图形W的“双倍对称点"．已知点，，，． (1)若． ①设点O与线段上一点的距离为d，则d的最大值是________； ②在，，这三个点中，为点O关于线段的“双倍对称点”的是________； ③若点，，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，求b的取值范围． (2)已知Q点为原点，点，．若线段上存在点P，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，则k的取值范围是________． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫做强等线四边形． 【理解运用】 （1）下列四边形中，一定是等线四边形的是______（只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【拓展提升】 （2）如图，中，，分别以，为边向外作等边和等边，连接． ①求证：四边形是强等线四边形； ②在（2）的条件下，交于点，为中点，为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长． 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $