4.1最大公因数与最小公倍数应用题讲义——3种常见题型（34道）五年级数学下册（人教版）

最大公因数与最小公倍数应用题讲义——3种常见题型（34道） 一、基本知识点 （1）最大公因数： 含义：几个数公有的因数中，最大的那个因数。 适用场景：平均分、分组、截成同样长、无剩余、铺满、裁最大正方形等问题。 ✅ 解题：求题目中相关数量的最大公因数。 （2）最小公倍数 含义：几个数公有的倍数中，最小的那个倍数。 适用场景：再次相遇、同时发车、再次重合、至少多少个、铺满大正方形等问题。 ✅ 解题：求题目中相关数量的最小公倍数。 （3）分数相关应用 约分：分子分母同时除以最大公因数，化成最简分数。 通分：把异分母分数化成同分母，公分母用最小公倍数。 二、3大常考题型+细分解题技巧 题型1：最大公因数应用题（基础题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 题目一般出现：正好分完、无剩余、同样长、同样大、最多、每组最多、最大正方形、最长等关键词。 解题技巧： （1）找出需要分组 / 分割的几个数量； （2）求这些数的最大公因数； （3）用总数 ÷ 最大公因数，得到份数 / 个数。 练习： 1. 学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。辅导员一共拿来了48件上衣和72条长裤，如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，最多可以有多少名学生同时参赛？ 2. 一张长方形纸，长是32cm，宽12cm，要把它剪成面积最大的正方形纸片，且没有剩余，剪成的正方形纸片的边长是多少厘米？一共可以剪成多少块？ 3. 红花有72朵，白花有48朵，用这两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎成多少束？ 4. 五（1）班同学参加研学旅行活动，刘老师把领来的30瓶酸奶和48瓶矿泉水平均分给了各小组，正好分完。这些酸奶和矿泉水最多可以分给几个小组？每个小组各分得多少瓶酸奶和矿泉水？ 5. 阳光小学五（1）班部分同学利用周末在福利院做小志愿者，男生有18人，女生有12人，把他们平均分成若干个劳动小组，如果每组男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成几组？这时每组男生、女生分别有几人？ 6. 王老师把28支钢笔和31本笔记本平均奖给四、五年级的优秀学生，结果钢笔多出1支，笔记本差5本，优秀学生最多有几人？ 7. 六一儿童节到了，五（3）班同学买了65个苹果，98颗奶糖，平均分给班里的全体同学，结果苹果还剩1个，奶糖还剩2颗。这个班最多有多少名同学？ 8. 有两根木棒，一根长36dm，另一根长42dm，要把它们截成同样长的小段，而不能有剩余，每根小棒最长有多少dm？一共可以截成多少段？ 9. 54名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种不同的排法，请分别写出来。（至少写出5种） 10. 有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为36厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数）， 而且没有剩余。 （1）有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ （2）按正方形纸片可能的最大边长将长方形裁剪，能剪几个正方形？ 11. 田径队有男队员48人，女队员32人，若把这些队员分成若干小组使每个小组的人数都相等，有几种分法？每组人数最多时能分成几个组？ 题型2：最小公倍数应用题（基础题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 题目一般出现：同时、再次、下次、至少、每隔、至少多少个、铺满、再次相遇、同时到达等关键词。 解题技巧： （1）找出重复出现 / 循环的几个数量； （2）求这些数的最小公倍数； （3）最小公倍数就是所求的 “至少数量” 或 “再次重合时间 / 长度”。 练习： 12. 23路公共汽车每6分钟发车一次，9路公共汽车每8分钟发车一次，这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车再第二次同时发车？ 13. 甲、乙、丙三人去游泳，甲2天去一次，乙3天去一次，丙4天去一次，至少经过多少天，他们能在游泳馆相遇？ 14. 现有一种长45厘米，宽30厘米的长方形纸若干张。 （1）将这些纸拼成一个正方形，正方形的边长最短是多少厘米？至少要用多少张这样的长方形纸？ （2）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少张正方形纸片？ 15. 新源超市新进一批不同包装的牛奶，每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数。如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵多少元？ 16. 小明的爸爸每工作3天后休息一天，妈妈每工作5天后休息一天。7月10日这天正好爸爸妈妈都休息，他们一家可以一起出去玩。请问在这个月里，他们下一次可以在哪天一起出去玩？ 17. 天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 自古农历就是借用天干地支来表示年份，例如：2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年……那么下一个辛丑年是哪一年？ 18. 中国高铁已成一张响亮的名片。它不仅出行方便，还给人以幸福的体验。以郑州为例，郑州到武汉方向的列车大概平均每12分钟发一趟车，郑州到北京方向大概每隔9分钟发车一趟。如果8：40有同时发往武汉和北京的列车，那么下一次同时发车是在什么时间？ 19. 同一个工厂，A工人每工作3天休一天，B工人每工作5天休一天，4月2日这天两人同休。那么接下来在这个月内两人还能同休几次？分别是哪一天？ 20. 李叔叔和王叔叔都有绕广场晨跑的习惯。李叔叔绕广场跑一圈需要6分钟，王叔叔绕广场跑一圈需要8分钟。如果两人同时从同一地点沿同一方向出发，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？此时，李叔叔比王叔叔多跑几圈？ 题型3：综合应用题⭐⭐⭐ 题型特征： 较复杂的题型，最大公因数、最小公倍数与其他知识的结合。 解题技巧： （1）先拆分问题：先判断题目提及最大公因数还是最小公倍数； （2）求出公因数或公倍数； （3）结合题意列式计算，注意单位和问题问法。 练习： 21. 小芳和妈妈今年各多少岁？ 22. 公路的一侧有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离都是30米，现在要把相邻两根电线杆之间的距离都改为45米，如果第一根电线杆不移动，那么下一根不必移动的电线杆是第几根？（提示：画图来考虑） 23. 一条道路AC的中间有石凳B，已知AB长630m，BC长560m。要求在A到C中间等距离地安装落地灯，且B处也要安装。则这条道路上至少有多少盏落地灯？ 24. 小川家最近在装修新房，小川很想为装修尽点力，爸爸便让他解决几个装修时遇到的问题。 （1）小川家的厨房地面是一个长30分米，宽24分米的长方形，如果用边长是整分米的正方形地砖把厨房地面铺满（使用的地砖必须都是整块），地砖的最大边长是多少分米？ （2）小川家的卧室长5米，宽4米、高3米，门窗总面积是7平方米，现在要把卧室的四壁和顶面粉刷环保漆，粉刷环保漆的面积是多少平方米？ 参考答案 1. 48＝2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 48和72的最大公因数是2×2×2×3＝24。 答：最多可以有24名学生同时参赛。 2. 共同的质因数相乘： 所以，32和12的最大公因数是4，即正方形纸片的边长是4厘米。 总块数： 答：正方形纸片的边长是4厘米。一共可以剪成24块。 3. ，2×2×2×3＝24（束） 答：最多能扎成24束。 4. 30和48的最大公因数是：（个） （瓶） （瓶） 答：这些酸奶和矿泉水最多可以分给6个小组，每个小组各分得5瓶酸奶和8瓶矿泉水。 5. 18＝2×3×3 12＝2×2×3 2×3＝6，因此18和12的最大公因数是6。 18÷6＝3（人） 12÷6＝2（人） 答：最多可以分成6组；这时每组男生有3人，女生有2人。 6. 28－1＝27（支） 31＋5＝36（本） （27，36）＝9（人） 答：优秀学生最多有9人。 7. （个）    （颗） 64的因数有1，2，4，8，16，32，64。 96的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96。 64和96的最大公因数是32。 答：这个班最多有32名同学。 8. 36＝2×2×3×3； 42＝2×3×7； 36和42的最大公因数是2×3＝6； 36÷6＋42÷6＝13（段）； 答：每根小棒最长有6dm，一共可以截成13段。 9. 如果每行1人，可以排54行； 如果每行2人，可以排27行； 如果每行3人，可以排18行； 如果每行6人，可以排9行； 如果每行9人，可以排6行。 10. （1）60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 60和36的公因数有1、2、3、4、6、12。 因为正方形边长是大于1厘米的整数，则正方形的边长可能是2厘米、3厘米、4厘米、6厘米、12厘米。 答：有5种不同的剪法。正方形的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米、6厘米、12厘米。 （2）60和36的最大公因数是12，则正方形的边长最大是12厘米。 （60÷12）×（36÷12）＝15（个） 答：能剪15个正方形。 11. 48的因数：1；2；3；4；6；8；12；16；24；48； 32的因数：1；2；4；8；16；32； 根据实际，每组人数应该大于1人；所以可以分成每组2人、4人、8人、16人，共4种分法。 48和32的最大公因数是16，即每组人数最多为16人，此时男队员有：48÷16＝3（组） 女队员有：32÷16＝2（组） 一共：3＋2＝5（组） 答：把这些队员分成若干小组使每个小组的人数都相等，有4种分法；每组人数最多时能分成5个组。 12. 6＝2×3， 8＝2×2×2， 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24； 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车再第二次同时发车。 13. 3×4＝12（天） 答：至少经过12天，他们能在游泳馆相遇。 14. （1）45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最小公倍数为2×3×3×5＝90 （90÷45）×（90÷30）＝6（张） 答：正方形的边长最短是90厘米，至少要用6张这样的长方形纸。 （2）45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最大公因数为3×5＝15 （45÷15）×（30÷15）＝6（张） 答：最少可以裁6张正方形纸片。 15. 2、3、5的最小公倍数是：2×3×5＝30 30×3＝90（元） 90＜100 答：最贵90元。 16. （天） （天） 4和6的最小公倍数是： 7月10日这天正好爸爸妈妈都休息，再经过12天也就是7月22日一起休息。 答：7月22日他们可以一起出去玩。 17. 10和12的最小公倍数是60。 2021＋60＝2081（年） 答：那么下一个辛丑年是2081年。 18. 12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 8：40＋36分钟＝9：16 答：下一次同时发车是在9：16。 19. A：3＋1＝4（天） B：5＋1＝6（天） 四月份一共30天。 30－2＝28（天） 28以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28； 28以内6的倍数有：6、12、18、24； 4和6的公倍数有12，24。 2＋12＝14（日） 2＋24＝26（日） 答：接下来在这个月内两人还能同休2天，分别是4月14日和4月26日。 20. 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即每24分钟两人再次在起点相遇。 24÷6－24÷8＝1（圈） 答：至少24分钟后两人再次在起点相遇。此时，李叔叔比王叔叔多跑1圈。 21. 2和7是互质数，所以2和7的最小公倍数是2×7＝14； 42是14的倍数，同时也是42的因数； 答：小芳今年是14岁，妈妈今年是42岁。 22. 30和45的最小公倍数是90。 90÷30＝3（个） 3＋1＝4（根） 答：下一根不必移动的电线杆是第4根。 23. 630和560的最大公因数是70。   630÷70＝9（盏） 560÷70－1＝7（盏） 9＋7＝16（盏） 答：这条道路上至少有16盏落地灯。 24. （1）30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 则30和24的最大公因数是2×3＝6 答：地砖的最大边长是6分米。 （2）（5×3＋4×3）×2＋5×4－7＝67（平方米） 答：粉刷环保漆的面积是67平方米。 第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $