3.3长方体和正方体体积应用题专项讲义——5种常见题型（34道）五年级数学下册（人教版）

该小学数学长方体和正方体体积应用题讲义以“公式梳理-题型分类-技巧提炼”为主线构建知识体系，清晰呈现长方体（V=abh/Sh）、正方体（V=a³/Sh）体积公式及逆用方法，结合容积单位换算表，按5大题型分类形成从基础到综合的递进脉络。 讲义亮点在于“题型-技巧-练习”一体化设计，如熔铸问题强调“体积不变”原理（例：正方体容器倒水求长方体水深），排水法提炼“底面积×水面变化高度”公式（例：西红柿体积测量），培养空间观念与推理意识。基础题夯实公式应用，综合题提升建模能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

长方体和正方体体积应用题讲义——5种常见题型（34道） 一、基本公式 （1）长方体体积公式： 原理：物体所占空间的大小叫做体积。 因此： ✅ 长方体体积 = 长 × 宽 × 高 字母公式：V = abh 也可以写成： 长方体体积 = 底面积 × 高 字母公式：V = Sh 逆用公式： 高 = 体积 ÷ 长 ÷ 宽 高 = 体积 ÷ 底面积 长 = 体积 ÷ 宽 ÷ 高 宽= 体积 ÷ 长 ÷ 高 （2）正方体体积公式： 原理：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 因此： ✅ 正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 字母公式：V = a³（读作：a 的立方） 也可以写成：正方体体积 = 底面积 × 高 字母公式：V = Sh 逆用公式： 底面积 = 体积 ÷ 高 棱长：想三个相同的数相乘等于体积，这个数就是棱长。 （3）容积公式 容积：容器内部所能容纳物体的体积。 ✅ 容积计算方法和体积一样，用内部的长、宽、高计算。 常用单位： 1 升 = 1 立方分米 1 毫升 = 1 立方厘米 1 升 = 1000 毫升 1 立方米 = 1000 立方分米 = 1000000 立方厘米 二、5大常考题型+细分解题技巧 题型1：直接求体积/容积（基础送分题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 直接给出长、宽、高或棱长，求体积、容积、用料体积。 解题技巧： （1）先判断是长方体还是正方体； （2）代入对应公式计算： 长方体 V = 长 × 宽 × 高 正方体 V = 棱长 × 棱长 × 棱长 （3）注意单位统一（如长、宽、高单位不同，先换算成同一单位）。 练习： 1. 用一根木条围成一个长10厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体框架，这个长方体框架的体积是多少？ 2. 一根长1.5米的长方体钢材，横截面是边长为0.6米的正方形，则这根钢材的体积是多少立方米？ 3. “掌旋球”又叫健身手球，它由两个同样大的圆球组成，制作它需要先把木块截成正方体，再修整成球形。木工王师傅找来一块长10厘米、宽8厘米、高9厘米的长方体阴沉木，要做一个“掌旋球”把玩，截成的正方体的体积最大是多少？ 4. 一个正方体的棱长之和是96dm，它的体积是多少？ 5. 一个长方体的底面积是16平方厘米，高3厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 6. 用一根120厘米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，给正方体框架的6个面贴上彩纸，至少需要彩纸多少平方厘米？这个正方体的体积是多少立方厘米？ 7. 在一间房子里，铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木质地板。这间房铺设地板至少要用木材多少立方米？ 8. 给一个新修的长方体水池注水，这个长方体水池的长25米，宽18米，深6米，现在需要给水池注入5米的水深，如果每时注水150立方米，需要多少时间？ 9. 如下图，这个长方体容器的长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米。已知容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如图中所示。这个容器中水的体积是多少？ 10. 一个盛放净水的长方体玻璃缸，从里面量得长和宽都是4分米，净水深3分米，缸内有水多少升？如果把这些水灌入小瓶内，每小瓶250毫升，可以灌满多少瓶？ 11. 一个长8dm、宽6dm、高11dm的长方体纸盒，最多能放多少个棱长20cm的正方体木块？ 12. 明明家客厅里摆放着一个长方体金鱼缸，从外面量，长7.2分米，宽4.2分米，高3.9分米。玻璃厚0.1分米。 （1）这个鱼缸占地多少平方分米？ （2）如果用水装满这个鱼缸，能装多少升？ 题型2：熔铸 / 锻造 / 倒沙等问题（体积不变）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 铁块熔化铸造成正方体、沙子从一个箱子倒入另一个箱子、土堆变形。 解题技巧： （1）形状变，体积不变。 （2）原来的体积 = 后来的体积。 练习： 13. 学校运来8.2立方米的沙子，铺在一个长41分米、宽4米的沙坑里，可以铺多厚？ 14. 棱长是6分米的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长6分米，宽5分米，高8.5分米，这时倒入水箱里面的水深是多少分米？ 15. 一个长方体的水箱容积是37.5升，从里边量，底面积是15平方分米．水箱的高是多少分米？ 16. 一个0.216立方米的正方体铁块，锻造成横截面是6平方分米的铁锭，铁锭长多少米？ 17. 用一个棱长7分米的正方体铁块和一个长25分米、宽6分米、高5分米的长方体铁块熔铸成一个长方体，这个长方体的横截面是边长5分米的正方形，长方体的高是多少? 18. 有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 19. 一个长方体密闭玻璃容器，高20厘米，底面是边长为6厘米的正方形。 （1）竖着放时容器里的水的高度是15厘米，容器里的水有多少升？ （2）这个容器横着放时容器里的水又形成了一个长方体，这时水的高度是多少？（玻璃厚度忽略不计） 20. 用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽6厘米的长方体框架。 （1）它的高应该是多少厘米？ （2）在框架外面全部糊上白纸，需要多少白纸？ （3）这个糊上白纸的长方体所占空间的大小是多少？ 题型3：拼接与切割问题⭐⭐⭐ 题型特征： 把多个相同的小正方体（或小长方体）拼接成大长方体，或把大长方体 / 正方体切割成多个小长方体，给出拼接 / 切割后表面积的增减量，反求小正方体的棱长、体积，或大长方体的底面积、表面积等。 解题技巧： （1）拼接规律：每拼 1 次，减少 2 个拼接面的面积；总减少面数 = 拼接次数 × 2 （2）切割规律：每切 1 刀，增加 2 个切面的面积；总增加面数 = 切割刀数 × 2 （3）核心逻辑：先通过增减的总表面积 ÷ 增减的面数，求出单个面的面积，再反求棱长 / 体积，最后计算目标量 练习： 21. 把下面这个长15分米的长方体，如图切成三个长方体后，表面积比原来的长方体多了24平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 22. 下图由12个棱长1cm的小正方体组成。怎样添加最少的小正方体把它变成一个长方体？（画一画）新组成的小长方体的体积是多少？ 23. 用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？ 24. 一段长3米的长方体木料，将它截成4段后，表面积增加了30平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？ 题型4：不规则物体体积（排水法）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 石头、铁块、土豆等放入水中，水面上升 / 下降，求物体体积。 解题技巧： 物体体积 = 容器底面积 × 水面上升（或下降）的高度步骤： （1）先算容器底面积 （2）算出水面变化高度 （3）相乘就是物体体积 练习： 25. 平均每个西红柿的体积是多少立方厘米？ 26. 妈妈用一个长方体容器泡腊八蒜，从里面量这个容器长10厘米，宽8厘米。妈妈先向这个容器里倒了一些醋，正好出现左右两个面是正方形的情况（如图1），接着妈妈又将一些蒜瓣放入醋中，恰好又出现了前后两个面是正方形的情况（如图2）。请问这些蒜瓣的体积是多少立方厘米？ 27. 一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为2分米，向容器中倒入5升的水，再把一个铁块浸没在水中，水未溢出。这时量得容器内的水深是15厘米。这个铁块的体积是多少立方分米？ 28. 小明和小刚在家做测量不规则物体的体积实验。他们找了一个长方体容器，长30厘米，宽20厘米，高10厘米。他们向容器里倒上一些水，水深达到了6厘米。他们将一块石头完全浸没水中，结果水面上升后还溢出了100毫升水，这块石头的体积是多少立方厘米？ 29. 一个长方体无盖玻璃鱼缸，长50厘米、宽40厘米、高25厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）从安全的角度考虑，需要把鱼缸的所有棱边都贴上胶带，胶带至少需要多长？ （3）在鱼缸里注入40升水，水深大约多少厘米？ （4）再往水里放入一个假山石，测得水面高度是23.5厘米，求这一假山石的体积有多大？ 题型5：综合应用题⭐⭐⭐ 题型特征： 与正方体、长方体有关的较难题型。 解题技巧： （1）先分析题意 （2）找等量关系 （3）代入公式解答。 练习： 30. 一个长方体牛奶包装盒，长9cm，宽6cm，高19cm，这个包装盒可以装下1.5L的牛奶吗？ 31. （如图）龙一鸣家平均每天用2.5箱水。（单位：dm） （1）龙一鸣家每天用水约是多少立方米？ （2）龙一鸣所在班级有45名学生，如果每名学生家里每天用水与龙一鸣家一样多，全班学生家里一天用水的总和约是多少立方米？一年呢？（一年按365天计算） 32. 如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 33. 下图是一个长方体形状的孔明灯，它的底面为边长30厘米的正方形，高50厘米。 （1）除一个底面外，它的其他面都要糊上安全阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃棉纸？（接头忽略不计） （2）这个孔明灯的体积是多少立方厘米？ （3）制作一个这样的孔明灯框架需要的材料有：50厘米的长竹条4根、30厘米的短竹条8根和8个固定环扣。王叔叔现在有长竹条20根、短竹条30根、固定环扣60个，请问王叔叔能用这些材料制作多少个这样的孔明灯框架？ 34. 三岔河国际露营村位于黔西南州贞丰县中北部，北连纳孔布依古寨，南接闻名天下的双乳峰，东邻者相千年古镇，西望风景如画的三岔湖。停在房车露营区的房车车厢其形状近似于一个长方体，从外测量车厢长约60分米，宽约25分米，高约30分米，从内测量车厢底面周长约144分米，高约20分米。 （1）车厢占地面积多少平方分米？ （2）如果从内测量车厢的长和宽的分米数都是质数，请结合所提供的100内质数表和生活实际算一算，车厢内部空间最大是多少立方分米？约多少立方米？ 100内质数表 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 （3）如果按每5立方米8瓦的照明计算，车厢内至少要安装多少盏8瓦的灯？ 参考答案 1. 10×5×3＝150（立方厘米） 答：这个长方体框架的体积是150立方厘米。 2. 钢材体积：（立方米） 答：这根钢材的体积是0.54立方米。 3. 8×8×8＝512（立方厘米） 答：截成的正方体的体积最大是512立方厘米。 4. 96÷12＝8（dm） 8×8×8＝512（dm3） 答：正方体的体积是512dm3。 5. 16×3＝48（立方厘米） 答：这个长方体的体积是48立方厘米。 6. 120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 10×10×10＝1000（立方厘米） 答：至少需要彩纸600平方厘米，这个正方体的体积是1000立方厘米。 7. 50×10×3×1600＝2400000（立方厘米） 2400000立方厘米＝2.4立方米 答：这间房铺设地板至少要用木材2.4立方米。 8. 25×18×5÷150＝15（小时） 答：如果每时注水150立方米，需要15小时。 9. 10×3×10÷2＝150（立方厘米） 答：这个容器中水的体积是150立方厘米。 10. 4×4×3＝48（升） 48升＝48000毫升   48000÷250＝192（瓶） 11. 20cm＝2dm 8÷2＝4（块） 6÷2＝3（块） 11÷2≈5（块） 4×3×5＝60（个） 答：最多能放60个棱长20cm的正方体木块。 12. （1）7.2×4.2＝30.24（平方分米） 答：这个鱼缸占地30.24平方分米。 （2）（7.2－0.1×2）×（4.2－0.1×2）×（3.9－0.1）＝106.4（立方分米）＝106.4（升） 答：能装106.4升。 13. 41分米＝4.1米 8.2÷4.1÷4＝0.5（米） 答：可以铺0.5米厚。 14. 6×6×6÷6÷5＝7.2（分米） 答：水箱里的水深7.2分米。 15. 37.5升=37.5立方分米 37.5÷15=2.5（分米） 16. 6平方分米＝0.06平方米 0.216÷0.06＝3.6（米） 答：铁锭长3.6米。 17. （7×7×7+25×6×5）÷（5×5）  =43.72（分米） 答：长方体的高是43.72分米。 18. 30×20×6＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20）＝18（厘米） 答：里面的水深应该是18厘米。 19. （1）6×6×15＝540（立方厘米） 540立方厘米＝0.54升 答：容器里的水有0.54升。 （2）20×6＝120（平方厘米） 540÷120＝4.5（厘米） 答：这时水的高度是4.5厘米。 20. （1）8×12÷4－10－6＝8（厘米） 答：它的高应该是8厘米。 （2）（10×6＋10×8＋6×8）×2＝376（平方厘米） 答：需要376平方厘米的白纸。 （3）10×6×8＝480（立方厘米） 答：这个糊上白纸的长方体所占空间的大小是480立方厘米。 21. 24÷4＝6（平方分米） 15×6＝90（立方分米） 答：原来这个长方体的体积是90立方分米。 22. 如图，在左边第1列上面添上2个小正方体，第2列上面添上1个小正方体，一共添加3个小正方体，就可以组成一个长方体。 每个小正方体的体积：1×1×1＝1（cm3） 小正方体共有：12＋3＝15（个） 新组成的小长方体的体积：1×15＝15（cm3） 答：最少添加3个小正方体把它变成一个长方体，新组成的小长方体的体积是15 cm3。 23. 32÷8＝4（平方厘米） 因为2×2＝4（平方厘米） 所以小正方体的棱长是2厘米。 2×2×2＝8（立方厘米） （2＋2）×（2＋2）＝16（平方厘米） 答：每个小正方体的体积是8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是16平方厘米。 24. （4－1）×2＝6（个） 30÷6＝5（平方分米） 3米＝30分米 5×30＝150（立方分米） 答：这根木料的体积是150立方分米。 25. 200毫升＝200立方厘米 350毫升＝350立方厘米 350－200＝150（立方厘米） 150÷2＝75（立方厘米） 答：平均每个西红柿的体积是75立方厘米。 26. 10×8×（10－8）＝160（立方厘米） 答：这些蒜瓣的体积是160立方厘米。 27. 向容器中倒入5L的水，此时水面高度为：5升＝5立方分米，（分米）。 把一个铁块浸没在水中，水深是15厘米＝1.5分米，则铁块体积为： （立方分米） 答：这个铁块的体积是1立方分米。 28. 30×20×（10－6）＝2400（立方厘米） 100毫升＝100立方厘米 2400＋100＝2500（立方厘米） 答：这块石头的体积是2500立方厘米。 29. （1）（50×40＋50×25＋40×25）×2－50×40＝6500（平方厘米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃6500平方厘米。 （2）（50＋40＋25）×4＝460（厘米） 答：胶带至少需要460厘米。 （3）40升＝40000毫升＝40000立方厘米 40000÷（50×40）＝20（厘米） 答：水深大约20厘米。 （4）（23.5－20）×50×40＝7000（立方厘米） 答：这一假山石的体积有7000立方厘米。 30. 9×6×19＝1026（cm³） 1026cm³＝1.026dm³＝1.026L 1.026L＜1.5L 答：这个包装盒不能装下1.5L的牛奶． 31. （1）16×8×5＝640（dm3）    640dm3＝0.64m3 0.64×2.5＝1.6（m3） 答：龙一鸣家每天用水约是1.6立方米。 （2）1.6×45＝72（m3）    72×365＝26280（m3） 答：全班学生家里一天用水的总和约是72立方米，一年26280立方米。 32. ＝192（cm3） ＝56（cm3） ＝160（cm3） 答：图1剩余部分的体积是。图2剩余部分的体积是。 33. （1）30×30＋30×50×4＝6900（平方厘米） 答：制作这个孔明灯至少需要6900平方厘米的安全阻燃棉纸。 （2）30×30×50 ＝900×50 ＝45000（立方厘米） 答：这个孔明灯的体积是45000立方厘米。       （3）长竹条：20÷4＝5（个） 短竹条：30÷8＝3（个）……6（根） 固定环扣：60÷8＝7（个）……4（根） 3＜5＜7 答：能制作3个这样的孔明灯框架。 34. （1）60×25＝1500（平方分米） 答：车厢占地面积1500平方分米。 （2）144÷2＝72（分米） 72＝5＋67＝13＋59＝19＋53＝29＋43＝31＋41 即长是53分米，宽是19分米 53×19×20＝20140（立方分米） 20140立方分米＝20.14立方米。 答：车厢内部空间最大是20140立方分米，约20.14立方米。 （3）20.14÷5＝4.028≈4（盏） 答：车厢内至少要安装4盏8瓦的灯。 第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $