3.2长方体和正方体表面积应用题讲义——4种常见题型（34道）五年级数学下册（人教版）

长方体和正方体表面积应用题讲义——4种常见题型（34道） 一、基本公式 （1）长方体表面积公式： 原理：长方体有 6 个面，相对的 2 个面完全相等，分为 3 组 （前面 / 后面、左面 / 右面、上面 / 下面）， 因此： ✅ 长方体表面积 = (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高) × 2 也可以写成：长方体表面积 = 长 × 宽 ×2 + 长 × 高 ×2 + 宽 × 高 ×2 逆用公式（求单条棱长 / 未知面）：由总和公式变形可得： 已知表面积、长、宽，求高：高 = (表面积 ÷ 2 - 长 × 宽) ÷ (长 + 宽) 已知表面积、长、高，求宽：宽 = (表面积 ÷ 2 - 长 × 高) ÷ (长 + 高) 已知表面积、宽、高，求长：长 = (表面积 ÷ 2 - 宽 × 高) ÷ (宽 + 高) （2）正方体表面积公式： 原理：正方体 6 个面都是完全相等的正方形， 因此： ✅ 正方体表面积 = 棱长 × 棱长 × 6 也可以写成：正方体表面积 = 一个面的面积 × 6 逆用公式（求棱长 / 一个面）： 由总和公式变形可得： 先算一个面的面积：一个面的面积 = 表面积 ÷ 6 再求棱长：棱长 = 两个相同的数相乘等于一个面的面积，这个数就是棱长 二、4大常考题型+细分解题技巧 题型1：直接求表面积（基础送分题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 直接给出长方体的长、宽、高，或正方体的棱长，要求计算其 6 个面的总表面积。 解题技巧： （1）先判断是长方体还是正方体； （2）代入对应公式计算： 长方体:S=(长×宽+长×高+宽×高)×2 正方体:S=棱长×棱长×6 （3）注意单位统一（如长、宽、高单位不同，先换算成同一单位）。 练习： 1. 做一个长54厘米、宽50厘米、高95厘米的洗衣机包装箱，至少需要多大面积的硬纸板？ 2. 淘气要把一个如下图所示的空包装箱的各面都贴上彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？（单位：厘米） 3. 为了加强青少年近视防控工作，宣传爱眼护眼知识，保护青少年视力，南宁市红十字会在“5.8”公益网络募捐活动中设立了“爱在邕城，守护光明”公益项目。五（1）班同学纷纷响应，动手制作了一个长方体募捐箱（开口处忽略不计），募捐箱展开图如下所示，这个募捐箱至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 4. 一个长方体包装盒，它的前面、左面和上面的面积分别是90cm2、48cm2和120cm2，这个包装盒的表面积是多少cm2？ 5. 一个正方体礼盒的棱长为20分米，这个礼盒的表面积是多少平方米？ 6. 一个长40分米，宽30分米，高20分米的长方体，它占地面积最大是多少平方米？表面积是多少平方米？ 7. 一个正方体，它的棱长总和是120厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 8. 加工一个长5分米，宽2分米，高3分米的长方体铁皮油箱，至少要用多少平方米铁皮？ 9. 一个长方体铁皮油桶，长8分米，宽6分米，高3分米。做50个这样的油桶，至少需要多少平方分米铁皮？ 10. 一个长方体的棱长和是72cm，它的长是9cm，宽是6cm，它的表面积是多少平方厘米？ 题型2：生活实际类（缺面 / 少面问题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 结合生活场景，不需要算 6 个面，通常会少 1 个面或 2 个面（如：无盖鱼缸、粉刷墙壁、贴瓷砖、通风管）。 解题技巧： （1）识场景： 无盖 / 无底（鱼缸、水池、抽屉）：少 1 个底面，算 5 个面。 通风管 / 烟囱 / 柱子：少 2 个底面（上下底面），只算侧面积。 粉刷墙壁：算 4 面墙壁 + 天花板（或 4 面墙壁，扣除门窗面积）。 （2）列算式：用总表面积公式减去缺少的面，或直接计算剩余面的和。 （3）看细节：贴瓷砖 / 刷漆通常要扣除门窗、洞口的面积。 练习： 11. 王亮爱好航模，他为航模飞机制作了展示盒（如图）。除了底面，其它各面都用了亚克力材料。制作这个展示盒，至少需要多少平方分米的亚克力板（亚克力板的厚度忽略不计）？（单位：分米） 12. 学校礼堂长25米，宽12米，高4米，要粉刷四周墙壁和天花板，扣除门窗面积60平方米，需粉刷多少平方米？ 13. 要给一张办公桌定制一个抽屉，规格为：长50厘米、宽30厘米、高10厘米，做这个抽屉至少需要木板多少平方厘米？ 14. 做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 15. 五（1）班同学要粉刷教室的屋顶和四壁。已知教室的长是，宽是，高是，门窗和黑板的面积一共是。如果每平方米涂料需要7.5元，粉刷这间教室至少需要花费多少钱？ 16. 小红用如图所示的一张硬纸折成一个无盖长方体纸盒。你能根据图中给出的数据，求出这张纸的面积是多少平方分米吗？先写出你的想法，再解答。 17. 一种通风管，每段的形状如下图。如果制作这样的100段，那么一共需要多少平方米的铁皮？ 18. 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒。这个铁盒的表面积是多少？ 题型3：拼接与切割问题（表面积变化问题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 把长方体 / 正方体进行切割（分成多个小长方体 / 正方体），或把多个小长方体 / 正方体拼接成大长方体，求变化后的表面积、表面积增加 / 减少了多少。 解题技巧： （1）切割规律：每切 1 刀，就会增加 2 个切面的面积（切面大小和切割方向有关，切的方向不同，增加的面积不同）； （2）拼接规律：每拼 1 次，就会减少 2 个拼接面的面积（拼接面越大，减少的面积越多，拼成的大长方体表面积就越小）； （3）通用计算：变化后的表面积 = 原来所有物体的表面积之和 - 减少的面积（拼接） / + 增加的面积（切割）。 练习： 19. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体．表面积增加了多少？ 20. 将一个正方体木块切割成两个长方体木块后，表面积比原来增加了32平方厘米，原来这个正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 21. 将8个棱长为2厘米的小正方体礼盒包装成一个大礼盒，包装纸至少要多少平方厘米？（先想一想，画出草图，再解答。） 22. 把5个边长相等的正方体拼成一个长方体，表面积减少了198平方厘米，一个正方体的表面积是多少平方厘米？ 23. 如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 24. 一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 25. 将一个长方体的高减少6厘米，正好变成一个正方体，同时表面积减少了48平方厘米，这个长方体的表面积是多少？ 26. 如图,将一个长12 cm、宽5 cm、高3 cm的长方体锯成三个相同的小长方体,这三个小长方体的表面积总和是多少平方厘米? 27. 一个用铁皮制作的长方体通风管，长为5分米，宽为6分米，高为5米。现在要将这个通风管的高加1米，需多用多少平方分米的铁皮？ 题型4：结合实际场景的综合题（易错压轴题）⭐⭐⭐⭐ 题型特征： 和正方体和长方体表面积有关的较综合的题型，如涂色面积等。 解题技巧： 先分析场景：哪些面需要计算，哪些不需要； 再代入公式计算。 练习： 28. 2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 29. 如图，是由27个棱长为1cm的小正方体摆成的大正方体．将它放在墙角． （1）露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果拿掉涂色的小正方体，露出的面的面积会发生变化吗？变化了多少？ 30. 一种组合连体高低柜是由一个长、宽、高的长方体和一个长、宽、高的长方体组合成的（如图）。油漆工要给这个高低柜刷油漆，前面和后面刷浅黄色，其他露出的部分都刷油绿色。刷浅黄色和油绿色的面积各是多少平方米？（把手处忽略不计） 31. 夏叔叔买了台新冰箱，包装盒上有这样一组信息： 外形尺寸（宽*深*高） 900×700×1800（毫米） 包装尺寸（宽*深*高） 960×750×2000（毫米） （1）这台冰箱的占地面积是多少平方分米？ （2）这台冰箱的包装盒至少需要多少平方分米的纸板？（接头处不计） 32. 红红送给妈妈一个生日礼物，用正方体纸盒包装。（如下图） （1）用丝带包扎这个礼品盒，接头处长35厘米。包扎这个礼品盒一共需要彩带多少厘米？ （2）做这个正方体包装盒，至少需要多少平方厘米纸板？ （3）红红送给妈妈的礼物是一个生日蛋糕，蛋糕规格如下图。你认为红红买的是哪种规格蛋糕？请说明理由。 33. 李叔叔想要制作一个长方体的玻璃容器，下图是这个玻璃容器的展开图。 (1)制作这个玻璃容器需要多少平方分米玻璃？（玻璃厚度忽略不计） (2)制作完成后往容器里注水，将B面作为底面放在水平桌面上，水面高是1.2分米，如果将A面作为底面放在水平桌面上，水面高多少分米？ 34. 为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 刘聪同学有一套《上下五千年》丛书，分上、中、下三册，这三册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽、高如下图所示。他想做一个封套，把这套书都装进去。做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） 参考答案 1. （平方厘米） 答：至少需要25160平方厘米的硬纸板。 2. （40×25＋40×40＋40×25）×2＝7200（平方厘米） 答：至少需要7200平方厘米的彩纸。 3. （40×30＋40×14＋30×14）×2＝4360（平方厘米） 答：这个募捐箱至少需要4360平方厘米的硬纸板。 4. （90＋48＋120）×2＝516（cm2） 答：这个包装盒的表面积是516cm2。 5. 20分米＝2米 2×2×6＝24（平方米） 答：这个礼盒的表面积是24平方米。 6. 选择长和宽，占地面积最大， 40分米＝4米，30分米＝3米，20分米＝2米 则有4×3＝12（平方米）； 表面积：（4×3＋4×2＋3×2）×2＝52（平方米） 答：它的占地面积最大是12平方米，表面积是52平方米。 7. 120÷12=10（厘米） 10×10×6=600（平方厘米） 答：它的表面积是600平方厘米。 8. （5×2+5×3+2×3）×2=62（平方分米） 62平方分米=0.62平方米 答：至少要用0.62平方米铁皮． 9. （8×6＋8×3＋6×3）×2×50＝9000（平方分米） 答：至少需要9000平方分米铁皮。 10. 长方体的高是： 72÷4﹣（9＋6），＝3（厘米）； 表面积是： （9×6＋9×3＋6×3）×2＝198（平方厘米）； 答：它的表面积是198平方厘米。 11. （2×4.5＋2×2＋4.5×2）×2＝44（平方分米） 44－2×4.5＝35（平方分米） 答：至少需要35平方分米的亚克力板。 12. 25×12＋25×4×2＋12×4×2－60＝536（平方米） 答：需粉刷536平方米。 13. ＝（平方厘米） 答：做这个抽屉至少需要木板3100平方厘米。 14. 0.5×0.5×5＝1.25（平方米） 答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。 15. ＝121.4（平方米） （元） 答：粉刷这间教室至少需要花费910.5元。 16. 5×2＋5×8×2＋2×8×2＝122（平方厘米）＝1.22（平方分米） 答：这张纸的面积是1.22平方分米。 17. ；   ＝1.6（m²）；   答：一共需要的铁皮。 18. ＝； 答：这个铁盒的表面积是。 19.（4×10）×4=160（平方厘米） 答：表面积增加了160平方厘米。 20. 32÷2×6＝96（平方厘米） 答：原来这个正方体木块的表面积是96平方厘米。 21. 如图： 2×2＝4（厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 答：包装纸至少要96平方厘米。 22. ＝148.5（平方厘米） 答：一个正方体的表面积是148.5平方厘米。 23. ＝10（平方厘米） 答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。 24. 96÷4÷2＝12（厘米） 12×12×6＝864（平方厘米） 答：原正方体的表面积是864平方厘米。 25. 减少的面的宽（剩下正方体的棱长）48÷4÷6=2（厘米）  原长方体的高6+2=8（厘米） 长方体的表面积为： 2×2×2+8×2×4=72（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是72平方厘米． 26. (12×5+5×3+12×3)×2=222(cm2)　 5×3×4=60(cm2)　 222+60=282(cm2) 27. 1米＝10分米 6×10×2＋5×10×2＝220（平方分米） 答：需多用220平方分米的铁皮。 28. （分米） （平方分米） 答：至少需要2000平方分米的彩纸。 29. （1）3×3×3=27（平方厘米） 答：露在外面的面是27平方厘米． （2）如果拿掉涂色的小正方体，露出的面的面积会变大，增加了1×1×2=2（平方厘米） 答：如果拿掉涂色的小正方体，露出的面的面积会变大，增加了2平方厘米． 30.          刷浅黄色的面积：＝2.56（平方米） 刷油绿色的面积：＝1.62（平方米） 答：刷浅黄色的面积是，刷油绿色的面积是。 31. （1）900毫米＝9分米 700毫米＝7分米 9×7＝63（平方分米） 答：这台冰箱的占地面积是63平方分米。 （2）960毫米＝9.6分米 750毫米＝7.5分米 2000毫米＝20分米 （9.6×7.5＋9.6×20＋7.5×20）×2＝828（平方分米） 答：这台冰箱的包装盒至少需要828平方分米的纸板。 32.（1）30×8＋35＝275（厘米） 答：包扎这个礼品盒一共需要彩带275厘米。 （2）30×30×6＝5400（平方厘米） 答：至少需要5400平方厘米纸板。 （3）A：20＜30，25＜30，26＜30； B：30＝30，32＞30，5＜30； 答：红红买的是A规格蛋糕。因为蛋糕需放进盒子里，所以蛋糕的长、宽、高要比正方体纸盒的棱长小，A规格蛋糕符合要求，而B规格蛋糕中32＞30，不能放进盒子里。 33. （1）（平方分米） 答：制作这个玻璃容器需要27平方分米玻璃。 （2）（立方分米） （分米） 答：水面高1.6分米。 34. 由题目可知，三册书完全相同，叠加起来后， 大长方体的长：20厘米 大长方体的宽：14厘米 大长方体的高：2×3＝6（厘米） 大长方体的表面积： （20×14＋20×6＋14×6）×2＝968（平方厘米） 书脊所在面的面积：20×6＝120（平方厘米） 968－120＝848（平方厘米） 答：做这个封套至少需要848平方厘米的硬纸板。 第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $