精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年高二下学期4月巩固练习数学试题

四川省荣县中学校2025-2026学年高二下学期4月巩固练习 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2. 已知，则的公比是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当且仅当时，是等比数列 B. 当且仅当时，是等比数列 C. 当且仅当时，是等比数列 D. 当且仅当时，是等比数列 4. 已知等差数列中，，则等于（ ） A. 100 B. 210 C. 380 D. 400 5. 已知数列是等比数列，若，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 6. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，“”是“数列递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（    ） A. 62 B. 169 C. 170 D. 190 二、多选题（每题6分，共18分） 9. （多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 对任意， C. 是递增数列 D. 的前项和 11. 已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ） A. 点P的坐标为（4，4） B. C. D. 过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为： 三、填空题（每空5分，共15分） 12. 已知数列满足，若，则___________． 13. 数列的前30项的和为______． 14. 在四面体ABCD中，，且，则该四面体ABCD外接球的体积_________． 四、解答题（共77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 18. 已知椭圆：（）的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上． 19. 已知数列满足，，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省荣县中学校2025-2026学年高二下学期4月巩固练习 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 2. 已知，则的公比是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】 由题意可知数列的公比. 3. 已知数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当且仅当时，是等比数列 B. 当且仅当时，是等比数列 C. 当且仅当时，是等比数列 D. 当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】先由前项和公式求出数列的通项公式，再利用等比数列首项必须满足通项公式的条件，解出参数的值并验证. 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 4. 已知等差数列中，，则等于（ ） A. 100 B. 210 C. 380 D. 400 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件求得等差数列的首项和公差，根据等差数列的前项和公式可求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得． ． 故选：B. 5. 已知数列是等比数列，若，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由也成等比数列进行求解. 【详解】在等比数列中，显然公比， 可得也成等比数列， 所以， 由，得， 则，由于， 解得， 得， 故选：D. 6. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，消去，得. 7. 在等比数列中，“”是“数列递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，设公比为q，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“”是“等比数列递减”的充要条件． 故选：C． 8. 已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（    ） A. 62 B. 169 C. 170 D. 190 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或或； 当时，，解得或或或； 当时，，解得或或或或或； 所以的所有可能取值为， 它们的和为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. （多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的定义可先计算两个变量的改变量，再求极限即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，解得，故B正确； 对于C：，解得，故C错误； 对于D： ，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 对任意， C. 是递增数列 D. 的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列定义判断A，特殊值法判断B，应用作差法计算得出单调性判断C，应用分组求和结合等比数列求和公式计算判断D. 【详解】数列满足，， 则，， 所以是以3为首项以3为公比的等比数列，A选项正确； 当时，，B选项错误； 因为，所以， 因为，所以， 所以是递增数列，C选项正确； 的前项和 ，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（ ） A. 点P的坐标为（4，4） B. C. D. 过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为： 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线的定义求解即可，对于B，先求出直线的方程，然后与抛物线方程联求出Q的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果，对于C，由直接求解，或求出原点O到直线的距离，然后利用求解即可，对于D，设，则利用导数的几何意义可求出两条切线方程分别为，，从而可求出直线的方程， 【详解】对于A，因为，所以由抛物线的定义得，得，所以，且点在第一象限，所以坐标为（4，4），则A正确 对于B，的直线方程为：，由与联立得，Q（），由两点距离公式得，则B正确 对于C，方法一： 方法二：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误 对于D，设，由得，，则，MA切线方程为：，即，由得，，把点代入得， 同理，即两点满足方程：， 所以的方程为：，则D正确， 故选：ABD 三、填空题（每空5分，共15分） 12. 已知数列满足，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解． 【详解】 ， 则是周期为3的周期数列， 又， . 13. 数列的前30项的和为______． 【答案】468 【解析】 【分析】先找出绝对值内表达式变号的临界点，从而将数列分为和两段，每段均为等差数列，分别求和后合并得分段的前项和公式. 【详解】由题意得，当时，，即，， 当时，，即， ， 所以，所以. 14. 在四面体ABCD中，，且，则该四面体ABCD外接球的体积_________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用等量关系求出球心坐标，进而求得外接球半径即可求体积. 【详解】由题得：，，以为原点建系如图所示， 则，，，设， 则，，其中 因为，，所以①， 由，整理得②， 联立①②得：，，所以， 设外接球球心为，半径为，则，， ，， 因为，所以，解得， 又 ，所以，解得：，则， 因为，所以，解得：， 则球心，半径， 所以该四面体ABCD外接球的体积为. 四、解答题（共77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 【解析】 【分析】由和，可以证明是递减数列，且存在正整数k，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．可以利用二次函数的性质求相应的n，的值． 【详解】解法1：由以，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，； 当时，； 当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为， 易知二次函数在时递增，在时递减， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解． 【小问1详解】 因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1） 由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）99 【解析】 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 若，即，因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为． 18. 已知椭圆：（）的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据长轴长可得，代入点可得，进而可得离心率； （2）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得，联立直线方程可得，运算求出该式的值即可． 【小问1详解】 由题意可知，即，椭圆方程为， 代入点可得，解得， 所以椭圆的离心率． 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的方程为，， 因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线：，， 联立方程，消去x可得， 则，，可得， 由题意可知，直线，直线， 联立方程消去y可得 ， 即，可得， 所以点在定直线上． 19. 已知数列满足，，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，，再利用累加法求通项即可； （2）代入化简得，再利用裂项相消法求和即可． 【小问1详解】 证明：， ，而， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 当时，， ， 累加得， 解得，而满足上式，因此. 【小问2详解】 ， ， 因为，所以， 即， 又因为函数为增函数，为减函数，则为增函数， 故数列为单调递增数列， 所以， 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $