21.1 四边形及多边形（思维导图+5知识点+11种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 知识点一 多边形的相关概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 2. 多边形的相关概念： 1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 4）多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 即学即练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 知识点二 多边形对角线 n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 即学即练 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 2．（25-26九年级下·北京·月考）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 【答案】18 【分析】从边形的一个顶点出发有条对角线． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴， 解得， ∴该正多边形的边数是18． 3．（25-26八年级下·上海·月考）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 知识点三 正多边形 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 如图所示， 特征：1）各个角都相等；2）各条边都相等，两者缺一不可. 性质：1）正n边形有n条对称轴． 2）正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形. 即学即练 1．（25-26七年级上·重庆·月考）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 知识点四 多边形内角和 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【解题技巧】 1）多边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 即学即练 1．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）一个六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形内角和公式（为多边形的边数），代入六边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：， 因此六边形的内角和是． 2．（2026·广东广州·一模）如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】B 【分析】利用n边形内角和公式列方程求解边数即可，n边形内角和公式为． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得方程，， 解得， ∴这个多边形是五边形． 3．（25-26八年级下·湖南·月考）一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 知识点五 多边形外角和 多边形外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.【与边数的多少没有关系】 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即. 即学即练 1．（2026·河北唐山·一模）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】牢记“任意多边形的外角和恒为”，直接利用该定理即可确定四边形的外角和度数． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，四边形是多边形， 四边形的外角和度数为， 故选：． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 【答案】288 【分析】首先根据邻补角的性质求出 的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去 的外角，即可得到 的度数． 【详解】解：∵， ∴ 的外角为， ∵ 五边形的外角和为 ， ∴． 题型01 多边形的相关概念 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 题型02 多边形截角问题 一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 3．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 题型03 多边形对角线问题 n边形有条对角线，利用这个规律可以在已知多边形边数时求对角线条数，也可以利用对角线条数求多边形的边数. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论． 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东淄博·一模）在正边形里面画一个小的正边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点，得到的三角形总数记为．例如，根据图，有，则_____． 【答案】 【分析】结合图形分析每个三角形的特征，共可分为三类，与正边形有关，与正边形相关且在外部和在正边形内部，求和即可． 【详解】解：结合图可知，以正二千零二十六边形的边为边的三角形共有个，以正方形的边为边且向外的三角形一共有个，正方形内部的三角形共有个， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 题型04 求多边形对角线分成的三角形个数 n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形 典｜例｜精｜析 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到__________个三角形． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的性质，掌握“从边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个边形分割成个三角形”是解题关键．从边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个边形分割成个三角形，由此解答即可． 【详解】详解：在八边形内任取一点，连接该点与八边形的各顶点，这些连接线段将八边形分割成若干个三角形．每个三角形由该内点及八边形的两个相邻顶点组成，且每条边对应一个三角形，因此三角形的个数等于八边形的边数．八边形有8条边，故可得到8个三角形． 故答案为：8． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，若过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了15个三角形，则_____． 【答案】17 【分析】找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：∵过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… ∴过n边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， 根据题意得， 解得． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1)三角形的个数分别是4个，5个，6个，见解析 (2)第一种分割法把边形分割成了个小三角形；第二种分割法把边形分割成了个小三角形；第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； （2）解：结合两个特殊图形，可以发现： 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 3．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 题型05 多边形内角和问题 n边形的内角和为(n－2)×180°，根据已知条件列出方程求边数； 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 变｜式｜巩｜固 1．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（    ） A．它一定是三角形 B．它可能是四边形 C．它一定是四边形 D．它不可能是三角形和四边形 【答案】A 【分析】利用多边形内角和公式，结合凸多边形每个内角小于的性质，求解多边形边数，即可判断选项． 【详解】解：设该凸多边形为n边形，题中满足条件的内角为， ∵n边形内角和为，等于其余内角的和 ∴， 整理得， 即， ∵凸多边形的内角满足， ∴， 不等式两边同除以得 ，即， ∵n是不小于3的正整数， ∴ ∴它一定是三角形． 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形内角和为，且， 设，则， ∴， 解得， ∴，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴不平行于，四边形是梯形， ∵梯形内角，符合直角梯形的特征， ∴这个四边形是直角梯形． 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接，若，则等于______． 【答案】 【分析】根据得出，根据四边形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型06 正多边形的内角问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海·月考）下列语句正确的有（   ）个．（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形） ①正多边形中，边越多，内角越大； ②正多边形中，边越多，外角越大； ③正多边形中，边越多，边长越小； ④正多边形中，边越多，周长越大． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正多边形内角、外角的计算方法，结合边长、周长的影响因素，逐个判断四个语句的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】设正多边形边数为（，且为整数）， ①对正多边形内角度数，正边形每个内角为，当增大时，减小，因此增大，①正确； ②对正多边形外角度数，任意多边形的外角和为，正边形每个外角为，当增大时，减小，②错误； ③正多边形的边长没有限定条件（如外接圆半径固定），边数更多的正多边形边长不一定更小，例如大正十边形的边长可以远大于小正三角形的边长，③错误； ④正多边形的周长等于边长乘边数，没有限定条件时，边数更多的正多边形周长不一定更大，例如小正100边形的周长可以远小于大正三角形的周长，④错误． 综上，正确的语句只有1个，故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·北京·月考）如果一个正多边形内角和为，那么这个多边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据内角和公式求出正多边形的边数，再利用多边形外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】设这个正多边形的边数为n， ∵多边形内角和公式为，该正多边形内角和为， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为，正多边形的各个外角相等， ∴该正多边形每个外角的度数为． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）蜜蜂的蜂巢美观有序，由许多正六边形构成．如图，在正六边形中，连接、交于点O，则的度数为____________°． 【答案】60 【分析】本题主要考查正多边形内角的问题和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握是解答本题的关键．根据正六边形得出，，由等边对等角得出，，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ，， ． 4．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07 多/少算一个内角问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 变｜式｜巩｜固1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川德阳·月考）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是________，这个多边形是_______边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 题型08 正多边形的外角问题 每个外角都相等，且边长相等，这样的多边形是正多边形，利用正多边形的外角和始终等于360°这一性质.用360“除以一个外角的度数，就得到了多边形的边数，这一方法经常用于正多边形的计算中. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，正n边形纸片被撕掉一部分后，发现其中两边的夹角，则n的值为（     ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正多边形，等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的相关知识是解题的关键．连接，延长交于点，由正多边形的外角相等可得到，正多边形的边长相等得到，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质，结合三角形内角和为，得到关于的方程，求出正多边形的一个外角，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， ∵该多边形为正边形， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得， ， ． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，正八边形的每个顶点均在正方形的边上，若正八边形的边长为，则正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形和正方形的性质推出为等腰直角三角形，进而可得，同理可得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵正八边形， ∴，由正八边形外角可得， ∵正八边形的边长为，即， ∴， 同理可得，， ∴， 即正方形的边长为． 3．（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的顶点在轴的正半轴上，顶点，在轴的正半轴上，顶点，，在第一象限内，若，将正六边形沿轴向右平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 由正六边形的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）观察每个正多边形中的变化情况，寻找规律并解答下列问题．提示：等腰三角形具有等边对等角的性质． (1)将下面的表格补充完整： 正多边形边数 正多边形一个外角的度数 ______ ______ 的度数 ______ ______ ______ (2)根据上面的规律，若正边形中，，直接写出的值______． 【答案】(1)，，，， (2)18 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，三角形的内角和，熟练掌握正多边形的外角性质，结合题干中的提示是解题的关键． （1）分别计算正多边形的每个外角度数，即可得每个内角度数，再利用题干提示等边对等角结合三角形内角和即可求出的度数； （2）代入计算求值即可． 【详解】（1）解：当时，每个内角度数为， ∴； 当时，每个外角度数为，每个内角度数为， ∴； 则对于正多边形，每个外角度数为，每个内角度数为， ∴； 故答案为：，，，，从左到右，从上往下； （2）解：由题得， 解得：． 故答案为：． 题型09 多边形外角和的实际应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形外角和为是解题的关键． 先根据总路程与每段路程的长度求出正多边形的边数，再利用正多边形外角和为的性质求出每次右转的角度． 【详解】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数 ，这是一个正六边形． 角度是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为 ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·河南安阳·月考）机器人从点A出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第2次行走；再在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第3次行走；……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点A时所走过的路线构成一个多边形，其内角和为_______． 【答案】/1800度 【分析】理解题意，确定每次旋转的角度为所求多边形的外角，先求出多边形边数，再计算内角和即可． 【详解】解：由题意可知，该机器人每次逆时针旋转的角度为所走路线构成的多边形的外角，且每个外角都等于. 任意多边形的外角和为，因此该多边形的边数为： ， 可得该十二边形的内角和为： ． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】/240度 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型10 多边形内角和与外角和问题 熟记n边形内角和与外角和定理以及正多边形边、角的关系，直接运用公式计算. 典｜例｜精｜析 1．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）10 （2）27 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线． 变｜式｜巩｜固 1（25-26六年级下·全国·单元测试）已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得． 正x边形的周长为； 故答案为：． （2）解：正x边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 故答案为：5． 2．（2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【答案】（1）8；（2）14；（3）或或 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的综合应用，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式，多边形的外角和为． （1）根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可； （2）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和公式和外角和列出方程，解方程即可； （3）多边形截去一个角后，新的多边形的边数有3种情况：增加一条边；边数与原多边形相同；减少一条边，求出结果即可． 【详解】解：（1）由多边形的内角和公式可得： ， 解得：． （2）设这个多边形的边数是，由题意得： ， 解得， 这个多边形对角线的条数是． （3）由题意可得：， 解得：， 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是： ， ， ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)理由见详解 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理． （1）利用多边形的外角和定理进行判断即可； （2）利用多边形的内角和定理进行证明即可． 【详解】（1）解：该说法错误，理由如下： 根据多边形的外角和定理，任何多边形的外角都等于， 所以，该说法错误； （2）解：假设的边数为，则的边数为， ∴的内角和为， 则的内角和为， ∴， 解方程得， 所以，无论取何值，的值始终不变，为2． 题型11 平面镶嵌 解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】平面镶嵌的条件是围绕同一点拼在一起的多边形内角和恰好等于，判断一种图形能否单独镶嵌，只需验证该图形的单个内角度数能否整除，能整除即可镶嵌，反之不能． 【详解】解：①长方形每个内角为，，结果是整数，长方形可以单独镶嵌； ②正三角形每个内角为，，结果是整数，正三角形可以单独镶嵌； ③正五边形每个内角为，不是整数，正五边形不能单独镶嵌； ④正六边形每个内角为，，结果是整数，正六边形可以单独镶嵌； 因此可供选择的地砖为①②④． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 【答案】12 【分析】正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可． 【详解】解：， 设选用的这块正多边形地砖的边数为，则， 解得， ∴选用的这块正多边形地砖的边数为12． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键．先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出以及． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 知识点一 多边形的相关概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 2. 多边形的相关概念： 1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 4）多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 即学即练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 知识点二 多边形对角线 n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 即学即练 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 2．（25-26九年级下·北京·月考）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 3．（25-26八年级下·上海·月考）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 知识点三 正多边形 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 如图所示， 特征：1）各个角都相等；2）各条边都相等，两者缺一不可. 性质：1）正n边形有n条对称轴． 2）正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形. 即学即练 1．（25-26七年级上·重庆·月考）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 知识点四 多边形内角和 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【解题技巧】 1）多边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 即学即练 1．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）一个六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·一模）如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 3．（25-26八年级下·湖南·月考）一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 知识点五 多边形外角和 多边形外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.【与边数的多少没有关系】 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即. 即学即练 1．（2026·河北唐山·一模）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 题型01 多边形的相关概念 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 3．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型02 多边形截角问题 一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 题型03 多边形对角线问题 n边形有条对角线，利用这个规律可以在已知多边形边数时求对角线条数，也可以利用对角线条数求多边形的边数. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东淄博·一模）在正边形里面画一个小的正边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点，得到的三角形总数记为．例如，根据图，有，则_____． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 题型04 求多边形对角线分成的三角形个数 n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形 典｜例｜精｜析 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到__________个三角形． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，若过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了15个三角形，则_____． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 3．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 题型05 多边形内角和问题 n边形的内角和为(n－2)×180°，根据已知条件列出方程求边数； 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（    ） A．它一定是三角形 B．它可能是四边形 C．它一定是四边形 D．它不可能是三角形和四边形 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接，若，则等于______． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 题型06 正多边形的内角问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海·月考）下列语句正确的有（   ）个．（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形）①正多边形中，边越多，内角越大；②正多边形中，边越多，外角越大；③正多边形中，边越多，边长越小；④正多边形中，边越多，周长越大． A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·北京·月考）如果一个正多边形内角和为，那么这个多边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）蜜蜂的蜂巢美观有序，由许多正六边形构成．如图，在正六边形中，连接、交于点O，则的度数为____________°． 4．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 题型07 多/少算一个内角问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 变｜式｜巩｜固1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 3．（24-25八年级上·四川德阳·月考）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是________，这个多边形是_______边形． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 题型08 正多边形的外角问题 每个外角都相等，且边长相等，这样的多边形是正多边形，利用正多边形的外角和始终等于360°这一性质.用360“除以一个外角的度数，就得到了多边形的边数，这一方法经常用于正多边形的计算中. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，正n边形纸片被撕掉一部分后，发现其中两边的夹角，则n的值为（     ） A．12 B．10 C．9 D．8 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，正八边形的每个顶点均在正方形的边上，若正八边形的边长为，则正方形的边长为___________． 3．（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的顶点在轴的正半轴上，顶点，在轴的正半轴上，顶点，，在第一象限内，若，将正六边形沿轴向右平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为_________． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）观察每个正多边形中的变化情况，寻找规律并解答下列问题．提示：等腰三角形具有等边对等角的性质． (1)将下面的表格补充完整： 正多边形边数 正多边形一个外角的度数 ______ ______ 的度数 ______ ______ ______ (2)根据上面的规律，若正边形中，，直接写出的值______． 题型09 多边形外角和的实际应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南安阳·月考）机器人从点A出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第2次行走；再在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第3次行走；……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点A时所走过的路线构成一个多边形，其内角和为_______． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 4．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型10 多边形内角和与外角和问题 熟记n边形内角和与外角和定理以及正多边形边、角的关系，直接运用公式计算. 典｜例｜精｜析 1．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 变｜式｜巩｜固 1（25-26六年级下·全国·单元测试）已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 2．（2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 题型11 平面镶嵌 解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是___________． 4．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $