专题04四边形及多边形寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04四边形及多边形寒假预习闯关必备讲义 预习目标 1.理解四边形、多边形的定义及相关概念（边、顶点、内角、外角、对角线》 能区分凸四边形与非凸四边形。 2.掌握四边形内角和、外角和定理，能运用定理进行简单角度计算。 3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用。 4.初步掌握多边形内角和与外角和的推导思路，为后续学习奠定基础。 预习内容概览 预习必备 1.四边形及其相关概念 2.四边形的内角和与外角和 知识点梳理 3.四边形的不稳定性 4.多边形及其相关概念 5.易错点警示 1.四边形的不稳定性 2.多边形的概念与分类 常考题型 3.多边形周长的计算方法 4.多边形对角线的条数规律 精讲精炼 5.多边形对角线分割的三角形个数 6.多边形内角和的推导与计算 7.正多边形的内角度数求解 8.多边形截角后的内角和问题 9.正多边形的外角度数与性质 10.多边形外角和的实际应用 11.多边形内角和与外角和综合 12.多边形的平面镶嵌原理与实例 强化巩固 (16题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.四边形及其相关概念】 1.四边形的定义： 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形。 组成四边形的线段叫作边，相邻两边的公共端点叫作顶点。 2.表示方法： 试卷第1页，共3页 用顶点字母按顺时针或逆时针顺序表示，如四边形ABCD。 3.关键概念： 对角线：连接四边形不相邻两个顶点的线段，如四边形ABCD的对角线AC、BD, 一条对角线可将四边形分成两个三角形。 内角与外角：相邻两边组成的角是内角（如∠DAB、∠ABC);内角的一边与另一 边延长线组成的角是外角（如∠1、∠2)，一个内角与其相邻外角互为邻补角。 凸四边形：画出四边形任意一边所在直线，整个四边形都在这条直线同一侧的四 边形（无特殊说明，课本讨论的均为凸四边形）。 【知识点02.四边形的内角和与外角和】 1.内角和定理：四边形内角和等于360°。 推导思路：连接一条对角线，将四边形转化为两个三角形，利用三角形内角和 180°，可得两个三角形内角和之和为360°（转化思想的应用）。 2.外角和定理：四边形外角和等于360°。 推导思路：四边形每个内角与其相邻外角之和为180°，四个内角与四个外角总 和为4×180°=720°，减去内角和360°，得外角和为360°。 【知识点O3.四边形的不稳定性】 1.特性：四边形四条边确定后，四个角的大小可变化，形状不固定，此为四边 形的不稳定性。 2.生活应用：利用不稳定性制作活动挂架、伸缩门；克服不稳定性的方法的是 连接对角线（将四边形转化为稳定的三角形），如门框钉对角线防变形。 【知识点04.多边形及其相关概念】 1.多边形的定义：平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接组成 的图形，有几条边就叫几边形（三角形是最简单的多边形）。 2.正多边形： 各边相等、各内角相等的多边形，如正方形、正五边形（注意： 各边相等或各角相等的多边形不一定是正多边形，需同时满足两个条件)。 3.多边形的对角线：连接不相邻顶点的线段，n边形从一个顶点出发可作(n-3) 条对角线，将n边形分成(-2)个三角形（推导内角和的关键）。 【知识点05.易错点警示】 试卷第1页，共3页 1.混淆凸凹四边形：课本默认研究凸四边形，无需考虑凹四边形。 2.混用内外角和：二者均为360°，求内角用内角和，求外角用外角和。 3.误判正多边形：需同时满足“各边相等、各内角相等”，缺一不可。 4.错算对角线：n边形一个顶点可作(n3)条对角线，勿多算或少算。 5.误解稳定性：仅三角形稳定，四边形未连对角线则不稳定。 4 常考题型精讲精练 【题型1.四边形的不稳定性】 【典例】2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任 务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了() A,三角形的稳定性 B,四边形的不稳定性 C.三角形任意两边之和大于第三边 D.两点之间线段最短 【跟踪专练1】生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自 由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形ABCD)设计成平行四边形，其中应用的数 学原理是 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是() A. 屋顶支撑架 B.自行车脚架 C.伸缩门 D.旧门钉木条 试卷第1页，共3页 【题型2.多边形的概念与分类】 【典例】在四边形ABCD中，边AB的对边是 【跟踪专练1】有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数 是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为n)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点 与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形.其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【跟踪专练2】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有 一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到ABC,若每个正六边形的面积均为6，则 ABC的面积为 【题型3.多边形周长的计算方法】 【典例】一个边长6cm的正方形，把4个角各剪去边长1cm的小正方形.那么它的周长() A.增加8cm B.减少8cm C.增加16cm D.保持不变 【跟踪专练1】如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF,则该六边 形的周长一定比原五边形的周长 ,（填“大”或“小”) A 【跟踪专练2】如图，将ABC沿着BC方向平移得到aDEF,使得点E为BC中点.若 ABC的周长是12，BC=4,则四边形ABFD的周长为() 试卷第1页，共3页 E C A.13 B.14 C.15 D.16 【题型4.多边形对角线的条数规律】 【典例】若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 边 形 【跟踪专练1】连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个 顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是() A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形 【跟踪专练2】已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形共有条对角线. 【题型5.多边形对角线分割的三角形个数】 【典例】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形 是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【跟踪专练1】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”.如图，凸四 边形ABCD,有两种剖分方式（如图示）；20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公 1=4n-6 式：D (m表示凸n边形的三角剖分数)请你用上面的公式计算D。=一· n C 【跟踪专练2】过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么 这个多边形的所有对角线条数为()· A.4 B.6 C.14 D.20 【题型6.多边形内角和的推导与计算】 【典例】如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形的边数是」 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时， 测量得∠1=70°，∠2=132°，则∠A为() A.20° B.22° C.30° D.52 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，CD=3,AC=BC=8,点E在 边AB上，若∠BCE=2LCAD,且AC平分∠DCE,则AE的长为 【题型7.正多边形的内角度数求解】 【典例】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前 景.它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形.一个正六边形的内角和为() A.3609 B.540° C.720° D.900° 【跟踪专练1】如图，直线、马分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B,且l∥I,,若 ∠1=95°，则∠2= 【跟踪专练2】如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为() 试卷第1页，共3页 A.30° B.36 C.40° D.45 【题型8.多边形截角后的内角和问题】 【典例】如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF,则内角和增加 度 B 【跟踪专练1】琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD,则下列判断错误 的是() A.变成四边形后对角线增加了两条 B.变成四边形后内角和增加了360° C.外角和没有发生变化 D.若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240 【跟踪专练2】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900 °，那么原多边形的边数为一· 【题型9.正多边形的外角度数与性质】 【典例】如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是() A.正七边形 B.正八边形 C.正九边形 D.正十边形 【跟踪专练1】将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边 试卷第1页，共3页 长为2且各有一个顶点在直线1上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视 图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线1平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个 顶点.则图2中∠a= ⊙⊙⊙ 图1 图2 【跟踪专练2】如图所示，一束平行光线照射在垂直放置于地面的正六边形上，已知正六边 形的每个角均为120°，若∠1=1910'45”，则∠2的度数为() A.40°4915" B.41°4925 C.42°49'15" D.39°48'75” 【题型10.多边形外角和的实际应用】 【典例】小钟读到一篇名为《东方窗棂之美》的文章，文中配了这样一张图片（见图1）.图 里满是形态各异、大小不一的多边形，看似毫无规律，却奇妙地交织出一种独特的自然和谐 之美，尽显东方窗棂独有的韵味.如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若 ∠2=80°，则∠1+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 6 图1 图2 【跟踪专练1】下列条件不能确定ABC是直角三角形的是() A.在ABC中，∠A,∠B都是锐角 B.ABC的三个内角的度数之比是1：2：3 C.在ABC中，LA-LB=LC D.ABC的三个外角的度数之比是3：4：5 【跟踪专练2】如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图， 则n=」 试卷第1页，共3页 正n边形 【题型11.多边形内角和与外角和综合】 【典例】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为() A.4 B.5 C.6 D.7 【跟踪专练1】一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是」 【跟踪专练2】若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是() A.3 B.4 C.5 D.6 【题型12.多边形的平面镶嵌的原理与实例】 【典例】如图，用边长相等的1个正方形和4个正五边形拼成如图所示的美丽图案，点P为 正方形和相邻两个正五边形的公共顶点，M、N分别是这两个正五边形的顶点，则∠MPN 的度数为 【跟踪专练1】聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要 再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形 可以选择的是() A.正三角形B.正方形 C.正六边形 D.正八边形 【跟踪专练2】某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠 地拼接)而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图， AB=EF,CD=GH,BC=FG,BC∥FG,AB∥CD∥GH∥EF,部分尺寸如图所示（单位： dm).结合图l,图2的信息，可求得BC的长度是」 dm 试卷第1页，共3页 G 10 图1 图2 5 强化巩固通关 1.下列说法中，正确的是() A.校门口的自动伸缩栅栏门的原理是三角形稳定性 B.“若a>b,则d>b"的逆命题是真命题 C.3.999保留两位小数，它的近似数为4.00 D.在5，-1，品写中，无理数有1个 2.如图，四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形不可能是()边形. A.三边形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.若边形的每一个外角都是40°，则此边形的对角线总共有() A.6条 B.9条 C.27条 D.54条 4.某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时， 开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行 的总路程是米 向左转30° 开始 无人机停在 空中的点P处 业向前飞行5米 是 回到点P处？ 结束 5.如图，小明从点A出发沿直线前进5米到达点B,向左转x°后又沿直线前进5米到达点 试卷第1页，共3页 专题04四边形及多边形寒假预习闯关必备讲义 1.理解四边形、多边形的定义及相关概念（边、顶点、内角、外角、对角线），能区分凸四边形与非凸四边形。 2.掌握四边形内角和、外角和定理，能运用定理进行简单角度计算。 3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用。 4.初步掌握多边形内角和与外角和的推导思路，为后续学习奠定基础。 预习必备 知识点梳理 1.四边形及其相关概念 2.四边形的内角和与外角和 3.四边形的不稳定性 4.多边形及其相关概念 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.四边形的不稳定性 2.多边形的概念与分类 3.多边形周长的计算方法 4.多边形对角线的条数规律 5.多边形对角线分割的三角形个数 6.多边形内角和的推导与计算 7.正多边形的内角度数求解 8.多边形截角后的内角和问题 9.正多边形的外角度数与性质 10.多边形外角和的实际应用 11.多边形内角和与外角和综合 12.多边形的平面镶嵌原理与实例 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.四边形及其相关概念】 1.四边形的定义： 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形。组成四边形的线段叫作边，相邻两边的公共端点叫作顶点。 2.表示方法： 用顶点字母按顺时针或逆时针顺序表示，如四边形ABCD。 3.关键概念： 对角线：连接四边形不相邻两个顶点的线段，如四边形ABCD的对角线AC、BD，一条对角线可将四边形分成两个三角形。 内角与外角：相邻两边组成的角是内角（如∠DAB、∠ABC）；内角的一边与另一边延长线组成的角是外角（如∠1、∠2），一个内角与其相邻外角互为邻补角。 凸四边形：画出四边形任意一边所在直线，整个四边形都在这条直线同一侧的四边形（无特殊说明，课本讨论的均为凸四边形）。 【知识点02.四边形的内角和与外角和】 1. 内角和定理：四边形内角和等于360°。 推导思路：连接一条对角线，将四边形转化为两个三角形，利用三角形内角和180°，可得两个三角形内角和之和为360°（转化思想的应用）。 2. 外角和定理：四边形外角和等于360°。 推导思路：四边形每个内角与其相邻外角之和为180°，四个内角与四个外角总和为4×180°=720°，减去内角和360°，得外角和为360°。 【知识点03.四边形的不稳定性】 1. 特性：四边形四条边确定后，四个角的大小可变化，形状不固定，此为四边形的不稳定性。 2. 生活应用：利用不稳定性制作活动挂架、伸缩门；克服不稳定性的方法的是连接对角线（将四边形转化为稳定的三角形），如门框钉对角线防变形。 【知识点04.多边形及其相关概念】 1. 多边形的定义：平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形，有几条边就叫几边形（三角形是最简单的多边形）。 2. 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形，如正方形、正五边形（注意：各边相等或各角相等的多边形不一定是正多边形，需同时满足两个条件）。 3. 多边形的对角线：连接不相邻顶点的线段，n边形从一个顶点出发可作（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形（推导内角和的关键）。 【知识点05.易错点警示】 1. 混淆凸凹四边形：课本默认研究凸四边形，无需考虑凹四边形。 2. 混用内外角和：二者均为360°，求内角用内角和，求外角用外角和。 3. 误判正多边形：需同时满足“各边相等、各内角相等”，缺一不可。 4. 错算对角线：n边形一个顶点可作（n-3）条对角线，勿多算或少算。 5. 误解稳定性：仅三角形稳定，四边形未连对角线则不稳定。 【题型1.四边形的不稳定性】 【典例】2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 【跟踪专练1】生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【题型2.多边形的概念与分类】 【典例】在四边形中，边的对边是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的定义，属于基础题，比较简单． 根据多边形的定义判断即可． 【详解】解：在四边形中，边的对边是， 故答案为：． 【跟踪专练1】有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 【跟踪专练2】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六变形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型3.多边形周长的计算方法】 【典例】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 【跟踪专练1】如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 ．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 【跟踪专练2】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 【题型4.多边形对角线的条数规律】 【典例】若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】九 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．据此求解即可； 【详解】解：一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形的边数为， 故答案为：九． 【跟踪专练1】连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据多边形从一个顶点引出的对角线数量为即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出八条对角线， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有 条对角线． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和问题和多边形对角线的条数问题，设这个多边形的边数为，则，求出边数即可求解； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则，解得； ∴这个多边形共有条对角线． 故答案为： 【题型5.多边形对角线分割的三角形个数】 【典例】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个多边形是六边形． 故选D． 【跟踪专练1】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．如图，凸四边形，有两种剖分方式（如图示）；20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（n表示凸n边形的三角剖分数）请你用上面的公式计算 ． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 【跟踪专练2】过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 【题型6.多边形内角和的推导与计算】 【典例】如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和，设这个多边形的边数为，根据多边形内角和建立方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：． 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为 ． 【答案】7 【分析】过点作，交延长线于点，过点作于点，先求出，，再根据直角三角形的性质和勾股定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， 在四边形中，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的内角和、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【题型7.正多边形的内角度数求解】 【典例】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正六边形．一个正六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和问题．熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正多边形的内角和公式，其中n为边数，即可求解． 【详解】解：， 即一个正六边形的内角和为． 故选：C 【跟踪专练1】如图，直线、分别经过正六边形的顶点、，且，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如下图， 正六边形的内角和为： ， ∴正六边形的每个内角，即， ， ， ∵， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选B． 【题型8.多边形截角后的内角和问题】 【典例】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 【跟踪专练1】琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是 【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意； B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意； C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意； D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解． 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 【题型9.正多边形的外角度数与性质】 【典例】如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（   ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．利用多边形的外角和，除以外角的度数，即可求得边数． 【详解】解：， 所以这个多边形是正十边形， 故选：D． 【跟踪专练1】将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查正六边形的知识．延长交直线于点，延长交于点，根据垂线的性质，则，根据平行线的性质，则，再根据正六边形的性质，即可． 【详解】解：延长交直线于点，延长交于点， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图形为正六边形， ∴外角， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，一束平行光线照射在垂直放置于地面的正六边形上，已知正六边形的每个角均为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，根据正六边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴其每个外角都相等， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【题型10.多边形外角和的实际应用】 【典例】小钟读到一篇名为《东方窗棂之美》的文章，文中配了这样一张图片（见图1）．图里满是形态各异、大小不一的多边形，看似毫无规律，却奇妙地交织出一种独特的自然和谐之美，尽显东方窗棂独有的韵味．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ． 【答案】/280度 【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列条件不能确定是直角三角形的是（   ） A．在中，都是锐角 B．的三个内角的度数之比是 C．在中， D．的三个外角的度数之比是 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理，三角形外角和定理．判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数． 【详解】解：A、不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； B、最大的内角为，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，此时，又，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、三个外角的度数分别为，则三个内角的度数分别为，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据题意可得正多边形的外角为，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， 正三角形和正n边形密铺， 拼接点的角刚好能拼成一个周角，， ， ， 正n边形的外角为：， 这个多边形的边数是， 故答案为：． 【题型11.多边形内角和与外角和综合】 【典例】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 【跟踪专练1】一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：， ． 即这个多边形的内角和是， 故答案为：． 【跟踪专练2】若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了边形的内角和与外角和定理，先求出边形的内角和，外角和是，再根据边形的内角和与它的外角和相等得，由此解出即可．解决问题的关键是熟练掌握边形的内角和，外角和是． 【详解】解：边形的内角和，外角和是， ， 解得： 故选：B． 【题型12.多边形的平面镶嵌的原理与实例】 【典例】如图，用边长相等的1个正方形和4个正五边形拼成如图所示的美丽图案，点为正方形和相邻两个正五边形的公共顶点，、分别是这两个正五边形的顶点，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形、正方形内角的计算方法是正确解答的关键． 先求出正五边形、正方形的内角的度数，再根据周角的定义进行计算． 【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为， ∵正方形的每一个内角为，而点P为正方形和相邻两个正五边形的公共顶点， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角为：， A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正方形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． D、正八边形的内角为，不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设，，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：作，设，， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 1．下列说法中，正确的是（） A．校门口的自动伸缩栅栏门的原理是三角形稳定性 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．保留两位小数，它的近似数为 D．在，，，中，无理数有1个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假，近似数计算，无理数的识别，几何图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A错误，因自动伸缩栅栏门使用四边形原理；选项B错误，逆命题反例存在；选项C正确，保留两位小数过程符合四舍五入规则；选项D错误，实际有两个无理数． 【详解】解：A、自动伸缩栅栏门利用四边形的不稳定性，而非三角形稳定性，∴A错误； B、逆命题“若，则”为假，如取，满足但，∴B错误； C、保留两位小数，千分位数字，向百分位进1，百分位，再向十分位进1，十分位，再向个位进1，个位，故结果为，∴C正确； D、和均为无理数，共2个，与选项所述1个不符，∴D错误． 故选：C． 2.如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 3．若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉边形对角线的条数的规律． 【详解】解：由题意得：， ∴对角线总条数为（条）， 故选：． 4．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案． 【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 5．如图，小明从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了米，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和多边形外角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第一次回到出发点时围成的图形是一个正多边形，则它的边数为，再用除以即可解答． 【详解】解：由题意可得第一次回到出发点时围成的图形是一个正多边形， 则它的边数为， 那么， 故答案为：． 6．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 7．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 8．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 【答案】 122 【分析】本题主要考查多边形的性质、图形的规律等知识，发现从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为成为解题的关键． （1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答； （2）根据（1）得到的规律求得n的值即可． 【详解】解：（1）由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， ， 边形被分为个三角形． 故本题答案为：． （2）当时，． 故答案为：122． 9．用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据多边形内角和公式表示出各正多边形的内角，再根据三个内角相加等于解答即可求解，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：由题意知，这种多边形的3个内角之和为， 已知正多边形的边数为， 那么这三个多边形的内角和可表示为， 两边都除以得，， 两边都除以得，． 故答案为：． 10．如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 11．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是 边形． 【答案】十三 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于 设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则， ∴， 解得， 又∵， ， ，即 又∵为正整数， ， 故答案为：十三． 12．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 13．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和多边形外角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键． （1）n边形的内角和为，据此列式求解即可； （2）n边形的内角和为，n边形的外角和为360度，据此根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴这个多边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 14．在平面直角坐标系中，点，． (1)画出线段； (2)平移线段，得到线段，若点的对应点为点，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，图见解析 【分析】题目主要考查画线段，画平移后的图形，利用网格求面积等，立即题意，作出相应图形是解题关键． （1）根据题意，描点，连线即可； （2）作出平移后的图形，利用网格求面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； （2）如图所示，线段即为所求， 四边形的面积为：． 15．某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 16．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $