专题01 计数原理全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

专题01 计数原理全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 分类加法、分步乘法计数原理 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（   ） A．243 B．252 C．261 D．648 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 4．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为__________． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 题型2 涂色问题 6．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 8．（24-25高二下·天津·月考）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．96种 9．（2026高二下·福建厦门·专题练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_________种． 10．（24-25高二下·安徽·月考）给如图所示的五个区域涂色，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同. (1)最少需要几种颜色才可以完成涂色任务? (2)现有四种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法. 题型3 排列数、组合数的计算 11．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 12．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·全国·课后作业）__________． 15．（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 题型4 元素（位置）有限制的排列问题 16．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 17．（25-26高二下·全国·课后作业）用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 18．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 19．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为__________． 20．（25-26高二下·山西忻州·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 题型5 相邻、不相邻排列问题 21．（24-25高二下·江苏连云港·月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 22．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 23．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 24．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种． 25．（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 题型6 组合计数问题 26．（24-25高二下·江苏南京·期中）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．144 B．168 C．156 D．192 27．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 28．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 29．（24-25高二下·广东深圳·期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有__________．（用数字作答） 30．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 题型7 分组分配问题 31．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 32．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 33．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 34．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有__________种. 35．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 题型8 排列与组合的综合应用 36．（24-25高二下·四川成都·月考）2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志愿者不同的安排方法有（    ） A．150种 B．250种 C．300种 D．540种 37．（24-25高二下·山东临沂·月考）名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 39．（24-25高二下·江苏徐州·期中）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有_________种． 40．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）从、、等人中选出人排成一排. (1)必须在内，有多少种排法？ (2)、、都在内，且在前，在后，有多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 题型9 求二项展开式的特定项（系数） 41．（24-25高二下·安徽·月考）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 42．（24-25高二下·天津西青·期中）在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 43．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 44．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为____________． 45．（25-26高二下·湖南邵阳·月考）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求展开式中含项的系数； (2)求展开式的第六项． 题型10 求展开式中系数最大（小）项 46．（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 47．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 48．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 49．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是___________. 50．（25-26高二下·山西忻州·月考）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 题型11 多项式积、三项展开式问题 51．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 52．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 53．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 54．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为__________. 55．（24-25高二下·广东深圳·期中）的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 题型12 用赋值法求系数和问题 56．（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 57．（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 59．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数__________． 60．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 计数原理全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 分类加法、分步乘法计数原理 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【解题思路】根据分步乘法计数原理将问题分为两步，再将每一步的方法数相乘即可求得结果. 【解答过程】完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法； 第二步，选长裤有3种不同的选法． 所以根据分步乘法计数原理共有（种）不同的搭配方法． 故选：B. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（   ） A．243 B．252 C．261 D．648 【答案】B 【解题思路】利用分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】0，1，2，…，9共能组成个三位数，其中无重复数字的三位数有个，所以有重复数字的三位数有个． 故选：B. 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【解题思路】由分类加法计数原理运算即可. 【解答过程】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为__________． 【答案】6 【解题思路】利用分步乘法计数原理可求解. 【解答过程】从处到处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路； 第二步，后一个并联电路接通有3条线路． 由分步乘法计数原理知电路从处到处接通时，可构成线路的条数为（条）． 故答案为：6. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【答案】(1)216 (2)120 (3)90 【解题思路】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数． （2）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）． （3）解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同， 且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）． 题型2 涂色问题 6．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解题思路】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【解答过程】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 7．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【解题思路】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果. 【解答过程】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择， 当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择； 所以不同的着色方法的种数为. 故选：C. 8．（24-25高二下·天津·月考）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．96种 【答案】A 【解题思路】利用分步计数原理，按照顺序去考虑涂色，注意区域1和区域3同色和不同色的问题即可. 【解答过程】先涂区域1和区域2，有种涂色方法， 再涂区域3，这时有两类： 若区域1和区域3同色，则涂区域4和区域5有种涂色方法， 若区域1和区域3不同色，则涂区域3，区域4和区域5有种涂色方法， 所以不同的涂色种数有种涂色方法. 故选：A. 9．（2026高二下·福建厦门·专题练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_________种． 【答案】72 【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【解答过程】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 故答案为：72. 10．（24-25高二下·安徽·月考）给如图所示的五个区域涂色，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同. (1)最少需要几种颜色才可以完成涂色任务? (2)现有四种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法. 【答案】(1)3种 (2)72 【解题思路】根据排列组合涂色问题解题方法，先分类再分步完成涂色即可. 【解答过程】（1）由题意得A，B，E三个区域的颜色互不相同，则需要三种颜色，D可以与B的颜色相同，C可以与A的颜色相同，所以最少需要3种颜色才可以完成涂色任务. （2）分两种情况: 情况一：A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有种涂法; 情况二：A，C同色，先涂A，C有4种，E有3种，B，D各有2种，有种涂法. 所以共有24+48=72种不同的涂色方法. 题型3 排列数、组合数的计算 11．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解答过程】， ，, 因此. 故选：B. 12．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【解答过程】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D. 13．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据组合数的性质列方程，解方程即可得，再根据排列数与组合数的公式直接可得解. 【解答过程】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或， 故. 故选：C. 14．（25-26高二下·全国·课后作业）__________． 【答案】 【解题思路】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【解答过程】因为． 故答案为：. 15．（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解题思路】（1）直接利用排列数公式计算即可； （2）根据组合数的性质可得出关于的方程，解出的值，再结合题意检验即可； （3）根据排列数公式可得出关于的不等式，结合题意得出且，即可得出的取值. 【解答过程】（1）原式； （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以. 题型4 元素（位置）有限制的排列问题 16．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【解题思路】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步乘法计算原理即可得出. 【解答过程】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 17．（25-26高二下·全国·课后作业）用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【答案】B 【解题思路】根据分步计数原理，先排个位，有种，然后排十位和百位，有种，即可得解. 【解答过程】先排个位，有种，然后排十位和百位，有种， 故共有（个）没有重复数字的三位偶数． 故选：B. 18．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解答过程】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 19．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解 【解答过程】根据题意，可分为三类： ①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有（种）； ②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有（种） ③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有（种）． 由分类计数原理得，不同的安排方案种数为． 故答案为：. 20．（25-26高二下·山西忻州·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】(1)156 (2)216 (3)270 【解题思路】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数； （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和； （3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和． 【解答过程】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个; （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个； 个位数上的数字是5的五位数有个, 故满足条件的五位数的个数共有个； （3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个． 题型5 相邻、不相邻排列问题 21．（24-25高二下·江苏连云港·月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情况讨论：相邻且与相邻、相邻且不与相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步乘法计数原理计算可得答案. 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 故选：B. 22．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 23．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 【答案】D 【解题思路】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【解答过程】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 丙、丁共有排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 24．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种． 【答案】144 【解题思路】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【解答过程】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 25．（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）利用“元素相邻捆绑法”求排法种数. （2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数. （3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数；方法二：利用“间接法”求排法种数. 【解答过程】（1）若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． （2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． （3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 题型6 组合计数问题 26．（24-25高二下·江苏南京·期中）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．144 B．168 C．156 D．192 【答案】C 【解题思路】分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果. 【解答过程】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 故可以组成60＋96＝156个符合条件的数． 故选：C． 27．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】C 【解题思路】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【解答过程】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 28．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【解题思路】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【解答过程】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 29．（24-25高二下·广东深圳·期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有__________．（用数字作答） 【答案】9 【解题思路】根据给定条件，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算. 【解答过程】依题意，排数字0有种方法；排数字2有种方法；排数字6有1种方法， 所以组成的不同四位数的个数是. 故答案为：9. 30．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【解答过程】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 题型7 分组分配问题 31．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【解题思路】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【解答过程】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D. 32．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D. 33．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【解题思路】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【解答过程】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B. 34．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有__________种. 【答案】114 【解题思路】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【解答过程】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 35．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】(1)2520 (2)576 (3)216 【解题思路】（1）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （2）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （3）第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【解答过程】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 题型8 排列与组合的综合应用 36．（24-25高二下·四川成都·月考）2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志愿者不同的安排方法有（    ） A．150种 B．250种 C．300种 D．540种 【答案】A 【解题思路】先将5名志愿者分成3组，一是1，1，3，二是1，2，2，再分配到3家参展商即可． 【解答过程】先将5名志愿者分成3组，再分配到3家参展商， 故不同的安排方式共有种． 故选：A． 37．（24-25高二下·山东临沂·月考）名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】第一步可先从后排人中选人共有种，第二步可认为前排放个座位，选出个座位让后排的人坐，由于其他人的顺序不变，求出共有种坐法，最后利用分步乘法原理即可. 【解答过程】解：第一步可先从后排人中选人共有种； 第二步可认为前排放个座位，选出个座位让后排的人坐， 由于其他人的顺序不变，所以有种坐法； 综上知不同调整方法的种数为. 故选：D. 38．（24-25高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 【答案】A 【解题思路】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解. 【解答过程】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选：A. 39．（24-25高二下·江苏徐州·期中）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有_________种． 【答案】260 【解题思路】根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可． 【解答过程】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类： 若A和C相同，B和D相同时，有种方法； 若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种； 若种四种花，则有种， 则不同的种植方法有种． 故答案为：. 40．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）从、、等人中选出人排成一排. (1)必须在内，有多少种排法？ (2)、、都在内，且在前，在后，有多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先在剩余人中选出，再将这人与进行全排列； （2）先在剩余人中选出，再根据部分定序问题排列方式进行排列； （3）根据特殊元素与特殊位置分情况讨论. 【解答过程】（1）先从余下的人中选人共有种不同结果， 再将这人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法； （2）因，，都在内，所以只需从余下人中选人有种不同结果， ，，相对顺序确定，共有种不同排法； （3）分四类：第一类：所选的人无、，共有种排法； 第二类：所选的人有、无，共有种排法； 第三类：所选的人无、有，共有种排法； 第四类：所选的人有、，若排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 题型9 求二项展开式的特定项（系数） 41．（24-25高二下·安徽·月考）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 【答案】B 【解题思路】由通项公式即可求解. 【解答过程】通项公式 令，得， 所以在的展开式中，常数项为. 故选：B． 42．（24-25高二下·天津西青·期中）在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 【答案】D 【解题思路】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【解答过程】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D. 43．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【解答过程】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 44．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为____________． 【答案】 【解题思路】由二项式展开式通项可得答案. 【解答过程】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 45．（25-26高二下·湖南邵阳·月考）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求展开式中含项的系数； (2)求展开式的第六项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由二项式性质得二项式系数之和是，即可得答案. （2）令，即可得解. 【解答过程】（1）由二项式性质得二项式系数之和是，根据题目可得二项式系数之和是128， 可得，解得，则变为， 由二项式定理得的通项公式为， 令，解得，代入可得含项的系数为. （2）令，解得， 代入通项公式可得. 题型10 求展开式中系数最大（小）项 46．（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解题思路】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 47．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【解题思路】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【解答过程】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 48．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【解答过程】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 49．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是___________. 【答案】 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【解答过程】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为：. 50．（25-26高二下·山西忻州·月考）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】(1)第5项， (2)有，分别是 (3)系数的绝对值最大的项是第项和第7项；系数最大的项是 【解题思路】（1）根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，由此可确定二项式系数最大的项. （2）先写出展开式的通项公式，再根据通项公式判断是否存在的负整数次幂. （3）设出系数的绝对值最大的项，根据系数绝对值最大的条件列出不等式组，求解不等式组得到的值，进而确定系数绝对值最大的项，再根据系数的正负性确定系数最大的项. 【解答过程】（1）的展开式的通项为： ，，， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. （2），，， 令且，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项. 题型11 多项式积、三项展开式问题 51．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【解题思路】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【解答过程】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 52．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】A 【解题思路】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【解答过程】易得展开式通项公式为， 令可得的系数为，令可得的系数为， 故原展开式中的系数为. 故选：A. 53．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【解题思路】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【解答过程】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D. 54．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解题思路】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【解答过程】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为：. 55．（24-25高二下·广东深圳·期中）的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 【答案】 【解题思路】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得或， 因此，展开式中的系数为. 故答案为：. 题型12 用赋值法求系数和问题 56．（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【答案】A 【解题思路】由求出的值，由求出的值，两式相加即可求出的值. 【解答过程】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以. 故选：A. 57．（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，.然后去绝对值，令，即可得出所求代数式的值. 【解答过程】的展开式通项为， 所以， 故当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 58．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】C 【解题思路】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【解答过程】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C. 59．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数__________． 【答案】1或 【解题思路】由展开式的通项求得常数项，即，利用赋值法，令，得，求解可得实数的值. 【解答过程】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 60．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）令，可求得的值； （2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值； （3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解； （4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值. 【解答过程】（1）令，得①. （2）令，得②， 由①②，得， 所以. （3）因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. （4）， 两边分别求导，得， 令，得. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $