专题09 二次函数综合（复习讲义，真题动向+必备知识+命题预测）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09二次函数综合 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 二次函数综合（热考)(C1并单击鼠标可跟踪链接) 题型一二次函数解析式的三种求法 题型二二次函数图象与性质综合 题型三二次函数与一元二次方程综合 题型四二次函数与不等式解集问题 真题动向 题型五二次函数实际应用 题型六二次函数中线段长度、坐标运算 题型七二次函数与三角形面积最值 题型八二次函数与平行四边形存在性 题型九二次函数图象平移、对称变换 知识1二次函数的图像与性质 知识2二次函数图像与各项系数间的关系 必备知识 知识3二次函数的平移、对称 知识4二次函数与方程、不等式 命题预测 考点二 二次函数综合 （压轴)》 (Crl并单击鼠标可跟踪链接) 题型一 二次函数与特殊三角形存在性 题型二 二次函数与特殊四边形存在性 题型三二次函数与相似三角形综合 题型四二次函数与线段和差最值 题型五二次函数与角度问题 题型六二次函数动点问题与面积定值/最值 真题动向 题型七二次函数与圆综合 题型八二次函数含参问题 题型九二次函数与折叠、旋转综合 题型十二次函数分段函数与实际情境压轴 题型十一二次函数路径长、坐标最值综合 题型十二二次函数新定义题型 命题预测 1/217 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 析·考情目标 二次函数是中考数学压轴核心考点，通常以试卷最后一题(12-14分)形式出现，分层设问、梯度 明显： 命题 1)第1问（基础送分）：求抛物线解析式、顶点/交点等基础性质，是必拿分环节。 透视 2)第2问（中档区分）：核心考线段/周长/面积最值、常规存在性问题，用铅垂高法、将军 饮马、坐标法解决。 3)第3问（压轴拉分）：考复杂存在性（特殊三角形/四边形、相似）、动点轨迹、几何变换综 合，核心是数形结合+分类讨论。 考点 2025年 2024年 2023年 ①2025·天津 ①2024·山西· ①2023·河南·T23 解析式与基础性质 ·T25(1) T23(1) (1) ①2025·广东· ①2024·山东济南· ①2023·四川川成都· 线段/周长最值 T23(2) T25(2) T26(2) ①2025·江苏苏 ①2024·浙江杭州· 面积最值 ①2023·安徽·T23(2) 州·T27(2) T23(2) 热考 ①2025·湖南长 ①2024·湖北武汉· ①2023·重庆A卷· 角度 特殊三角形存在性 沙·T25(3) T24(3) T26(3) ①2025·山东青 ①2024·四川川南充· 特殊四边形存在性 ①2023·陕西·T26(3) 岛·T25(3) T25(3) ①2025·浙江温 ①2024·江苏南京· ①2023·广东深圳· 相似三角形存在性 州·T24(3) T27(3) T23(3) ①2025·四川川成 ①2024·湖南长沙· ①2023·山东济南· 动点轨迹与几何变换 都·T26(3) T25(3) T25(3) 命题 二次函数压轴题将延续分层设问、梯度明显的命题风格，第1问仍以求解析式、基础性质为送分 题第2问核心考查线段/面积最值、常规存在性问题，铅垂高法、将军饮马等经典模型仍是核 2/217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 预测 心；第3问将以特殊三角形/四边形、相似三角形的存在性为核心，结合动点轨迹、几何变换 (平移/旋转)综合考查，强化数形结合与分类讨论思想，同时会适度创新情境，突出对数学核 心素养的考查。 02 筑，专题框架 3/217 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频考点 核心关联一由的符号决定开口方向及增减性、最值 图像 >0 开口向上的抛物线 开口特征一a越大，开口越窄 b 对称轴一直线x= 2a (顶点式x=h) b 4ac-b2 -a>0 顶点坐标一（←2a,4a )（顶点式为(h,) b 对称轴左侧(e<-2a)一 随x的增大而减小 图像与性质 增减性 对称轴右侧e>-云 )一y随x的增大而增大 最值一顶点纵坐标 4ac-b2 4a (有最小值】 图像 <0 开口向下的抛物线 开口特征一a越大，开口越窄 二次函数综合 对称轴一直线x= 顺点式=川 2a a<0 顶点坐标一（ 4ac-b2 2a'4a (顶点式为(，) 对称轴左侧(e<- b 2a )一y随x的增大而增大 增减性 对称轴右侧(e>-云)一y随x的增大而减小 最值一顶点纵坐标4c-6 (有最大值)】 若点（工1，、(c2,)在抛物线上一对称轴为：2=1十2 2 与x轴的两交点到原点的距离一x1c2 学法指导一抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与y轴的交点到原点的距离一lc! 顶点到x轴距离一 4ac-b2 4a 五距 顶点到y轴距离一 2a 公式适用条件一△20 与x轴的两交点的距离 lal=-4ac al 03 攻·重难考点 4/217 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点一 二次函数综合（热考) 题 动 题型一二次函数解析式的三种求法 皮方法 1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a,b,c的三元一次方程组求解； 2)己知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于的 一元一次方程； 3)当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代 入，求出待定系数a,最后将解析式化成一般式； 4)己知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1.(2025江苏南通.中考真题)在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为 A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线y=a(x-2)+k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则 满足题意的a的值不可能为() A 4 C. 2 D. 3 B. 9 3 4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求 解，解题关键在于利用抛物线对称轴x=2,分析点的对称特征，分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代 入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可. 【详解】解：抛物线y=a(x-2)+k(a>0)的对称轴为直线x=2, 当A、D、E三点在抛物线y=a(x-2)+k(a>O)上， A(-1,5),E(5,5), ∴.A,E关于对称轴x=2对称， 5=a(-1-2)+k 将A(-1,5),D(3,-1)代入得 -1=a(3-2)2+k 3 a= 4 解得 k=- 4 当=5时，-2省，2 4 5/211 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点E布抱物线y-x-2-上。 4 故抛物线y=a(x-2)+k(a>0)同时经过A、D、E三点； 当A、C、E三点在抛物线y=a(x-2)+k(a>0)上 5=a(-1-2)+k 把A(-1,5),C(2,1)代入得 1=a(2-2)+k a=4 解得， 9 k=1 当r=5时，y= 5-2f+1-5 B(65)在抛物线y=(x-21上， 故抛物线y=a(x-2)+k(a>0)同时过A、C、E三点： 当A、B、E三点在抛物线y=a(x-2)+k(a>0)上， 5=a(-1-2)+k 把A(-1,5),B(1,2)代入得 2=a(1-2)2+k 3 a= 8 解得， 13 k= 8 把点x=5代入y--2+5-2+5-5. 3 88 8 :E(5,5)在抛物线y=3(x-2}+上， 3 8 8 .抛物线y=a(x-2)+k(a>0)同时过小、B、E三点； 综上所述，抛物线y=a(x-2)+k(a>O)能同时经过三个点有A、D、E;A、C、E;A、B、E且a的值分 别芳 ∴.a的值不可能为C, 故选：C, 2.(2025·广东中考真题)已知二次函数y=-x°+bx+c的图象经过点(C,0),但不经过原点，则该二次函 数的表达式可以是·（写出一个即可） 【答案】y=-x+x+2(答案不唯一) 6/217 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),得 到0=-c2+bc+c,再由二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点，得到c≠0，从而得确定c-b=1,若 取b=1,即可得到c=2,从而确定函数表达式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的 关键 【详解】解：，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0), ∴.0=-c2+bc+c, '二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点， .c≠0， 则c-b=1, 若取b=1,则c=2, ∴.该二次函数的表达式可以是y=一x+x+2, 故答案为：y=-x2+x+2（答案不唯一). 3,(2025·陕西·中考真题)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L,左、右门洞L,L均呈 抛物线型，水平横梁AC-16m,L的最高点B到AC的距离BO=4m,L2,L关于BO所在直线对 称.MN,MP,NO为框架，点M,N在L上，点P,Q分别在L,L上，MN∥AC,MP⊥AC, NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， B (1)求抛物线L的函数表达式： 2)已知抛物线L,的函数表达式为y=-3 Gc-4,NQ-m,求N的长 【答案】(1)y=- 4 (2)MN=12m 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性 质内容是解题的关键， (1)理解题意，先设抛物线L的函数表达式为y=a(x-0)+4,结合二次函数的对称性得 A(-8,0),C(8,0),再代入y=a(x-0)+4进行求解，即可作答. (2)理解题意，得出)=少2=2再结合抛物线乙，L的函数表达式分别为y= x2+4, 16 7/217 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 16 4,，代人y三w2整理得x-12x+36=(x-6)=0,再解方程，可 【详解】(1)解：~B0=4m, 抛物线L的顶点B坐标为(0,4)， 设抛物线L的函数表达式为y=a(x-0)+4, .'AC =16m, 结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入y=a(x-0)+4, 得0=64a+4 则as-1 6 4， ty=- (2)解：由(1)得抛物线马的函数表达式y=G+4, 4C,MP1AC,N0LAC,NO主m,且抛物线L的函数表达式为y=c- 16 整理得x2-3(x-4)=24, x2-3x2+24x-48=24, x2-12x+36=(x-6)=0, 解得x=x=6, MN=2×6=12(m). 4,(2025湖北模拟预测)水果店以一定的价格购进其种水果若干千克，通过销售统计发现：商品从开始 销售至销售的第x天的总销量y(干克)与x的关系为二次函数，销售情况记录如表 1 2 39 76 111 (1)求y与x的函数关系式： (2)这批水果多少天才能销售完： (3)水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种水果，试问再过多少天库存量为 216千克？ 8/217 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)y=-x2+40x: (2)这批水果20天才能销售完； (3)再过10天该品种水果库存量为216千克， 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是 解题的关键 (1)设出二次函数解析式为y=2+bx+c,由待定系数法即可得答案； (2)根据二次函数的性质，求出函数取最大值时x的值，即是销售完的天数； (3)由(2)知，原库存最大量为400千克，设再过m天库存量为216千克，可得 400+(m+6-40(m+6)+20m=216,即可解得答案， 【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=a2+bx+c,将(1,39)，(2,76)，(3,111)代入得： a+b+c=39 a=-1 4a+2b+c=76,解得b=40, 9a+3b+c=111 c=0 ∴y与x的函数关系式为y=-x2+40x; (2)解：由(1)得：y=-x2+40x=-(x-20)2+400, -1<0, ∴当x=20时，y最大，最大值为400， 答：这批水果20天才能销售完： (3)解：设再过m天库存量为216千克，由(2)知：原库存量为400千克， 则(m+6)天后原本库存剩余量为：400-[-(m+6)+40(m+6)], 而m天内再次购买的总量为20m, 两部分的总量为216千克， 400+(m+6)2-40(m+6)+20m=216, 整理得：m2-8m-20=0, 解得：m=10或m=-2(舍去)， 答：再过10天该品种水果库存量为216千克， ◆题型二二次函数图象与性质综合 2025江苏淮安中考真题)已知二次函数y=，x2-nc+m-1(m为常数） (1)若点(2，-1)在该函数图像上，则m=-; (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点A(m+1,)、B(m+p,y),当<，时，直接写出p的取值范围. 9/217 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)p>1或p<-1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键。 )将(2，-代入y三2-m+m-1,解关于m的方程即可 (2)通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况： (3)根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围. 【详解】(1)解：将(2，-1)代入y=x2-x+m-1,得：-1=×22-2m+m-1, 解得m=2, 故答案为：2； (2)解：△=(-m°-4×2x(m-1)=m2-2m+2=(m-1)2+1, 2 (m-1)≥0， .(m-1)+1>0, .△>0， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； -m (3)解：y=x-m+m-1的对称轴为直线x=- 2x =m 2 2 1 :二次项系数20， .二次函数图像开口向上， 乃<y3, ∴.点A(m+1,y)到对称轴的距离小于点B(m+p,y)到对称轴的距离， .m+l-m<m+p-m, 即p>1, p>1或p<-1. 6.(2025河南中考真题)在二次函数y=2+bx-2中，x与y的几组对应值如下表所示. 0 10/217 专题09 二次函数综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 二次函数综合（热考）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数解析式的三种求法 题型二 二次函数图象与性质综合 题型三 二次函数与一元二次方程综合 题型四 二次函数与不等式解集问题 题型五 二次函数实际应用 题型六 二次函数中线段长度、坐标运算 题型七 二次函数与三角形面积最值 题型八 二次函数与平行四边形存在性 题型九 二次函数图象平移、对称变换 必备知识 知识 1 二次函数的图像与性质 知识 2 二次函数图像与各项系数间的关系 知识 3 二次函数的平移、对称 知识 4 二次函数与方程、不等式 命题预测 考点二 二次函数综合（压轴）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数与特殊三角形存在性 题型二 二次函数与特殊四边形存在性 题型三 二次函数与相似三角形综合 题型四 二次函数与线段和差最值 题型五 二次函数与角度问题 题型六 二次函数动点问题与面积定值 / 最值 题型七 二次函数与圆综合 题型八 二次函数含参问题 题型九 二次函数与折叠、旋转综合 题型十 二次函数分段函数与实际情境压轴 题型十一 二次函数路径长、坐标最值综合 题型十二 二次函数新定义题型 命题预测 命题透视 二次函数是中考数学压轴核心考点，通常以试卷最后一题（12-14 分）形式出现，分层设问、梯度明显： 1）第 1 问（基础送分）：求抛物线解析式、顶点 / 交点等基础性质，是必拿分环节。 2）第 2 问（中档区分）：核心考线段 / 周长 / 面积最值、常规存在性问题，用铅垂高法、将军饮马、坐标法解决。 3）第 3 问（压轴拉分）：考复杂存在性（特殊三角形 / 四边形、相似）、动点轨迹、几何变换综合，核心是数形结合 + 分类讨论。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 解析式与基础性质 ①2025・天津・T25 (1) ①2024・山西・T23 (1) ①2023・河南・T23 (1) 线段 / 周长最值 ①2025・广东・T23 (2) ①2024・山东济南・T25 (2) ①2023・四川成都・T26 (2) 面积最值 ①2025・江苏苏州・T27 (2) ①2024・浙江杭州・T23 (2) ①2023・安徽・T23 (2) 特殊三角形存在性 ①2025・湖南长沙・T25 (3) ①2024・湖北武汉・T24 (3) ①2023・重庆 A 卷・T26 (3) 特殊四边形存在性 ①2025・山东青岛・T25 (3) ①2024・四川南充・T25 (3) ①2023・陕西・T26 (3) 相似三角形存在性 ①2025・浙江温州・T24 (3) ①2024・江苏南京・T27 (3) ①2023・广东深圳・T23 (3) 动点轨迹与几何变换 ①2025・四川成都・T26 (3) ①2024・湖南长沙・T25 (3) ①2023・山东济南・T25 (3) 命题预测 二次函数压轴题将延续分层设问、梯度明显的命题风格，第 1 问仍以求解析式、基础性质为送分题；第 2 问核心考查线段 / 面积最值、常规存在性问题，铅垂高法、将军饮马等经典模型仍是核心；第 3 问将以特殊三角形 / 四边形、相似三角形的存在性为核心，结合动点轨迹、几何变换（平移 / 旋转）综合考查，强化数形结合与分类讨论思想，同时会适度创新情境，突出对数学核心素养的考查。 考点一 二次函数综合（热考） 题型一 二次函数解析式的三种求法 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 3．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 4．（2025·湖北·模拟预测）水果店以一定的价格购进其种水果若干千克，通过销售统计发现：商品从开始销售至销售的第天的总销量千克与的关系为二次函数，销售情况记录如表． (1)求与的函数关系式； (2)这批水果多少天才能销售完； (3)水果店为了充实库存，在销售第天后决定每天又购进千克该品种水果，试问再过多少天库存量为千克？ 题型二  二次函数图象与性质综合 5．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 6．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 7．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 8．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 题型三 二次函数与一元二次方程综合 9．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 10．（2026年辽宁省鞍山市立山区中考一模数学试题）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 题型四 二次函数与不等式解集问题 依据二次函数的图像与x轴交点的横坐标直接得到x轴的取值范围. 12．（2025年湖北省武汉市中考数学一模考前模拟试卷）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：   (1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，； (2)写出不等式的解集； (3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围． 13．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 题型五 二次函数实际应用 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 14．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 15．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 16．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 17．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 题型六 二次函数中线段长度、坐标运算 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 19．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 题型七 二次函数与三角形面积最值 21．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 22．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 23．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 24．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 题型八 二次函数与平行四边形存在性 25．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 26．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 27．（2025·天津河北·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点B的坐标为_______，点G的坐标为______； (2)如图②，将矩形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到矩形，点D，E，F，G的对应点分别为点，，，，矩形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 题型九 二次函数图象平移、对称变换 28．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 29．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 30．（2025·湖南长沙·三模）二次函数本身具有对称性，某些函数之间也具有对称性，比如和函数关于直线对称． (1)双曲线关于y轴对称的双曲线解析式为______；直线和关于直线______（填解析式）对称； (2)若抛物线：和关于直线对称，当时，函数的最大值为7，求a的值； (3)抛物线：和关于直线对称，顶点分别是M，N，两个函数交于点A，函数，组成的图象记为． ①若有一个角为，求a的值． ②点，点，若W与线段有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范围． 知识1 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识2 二次函数图像与各项系数间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 知识3 二次函数的平移、对称 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识4 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1．（2026·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)过点作与轴平行的直线交抛物线于，两点（点在点的左边），且满足，求的值． (3)已知，，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 3．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 4．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； (3)如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 考点二 二次函数综合（压轴） 题型一 二次函数与特殊三角形存在性 1．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·江西吉安·一模）抛物线的顶点坐标为点，与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若抛物线经过点， ①的值为______；点的坐标为______． ②______． (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点，求的值． (3)若点，在该抛物线上． ①当时，求的值； ②在①的条件下，是否存在实数，使得为等边三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ③当时，请直接写出的取值范围． 题型二 二次函数与特殊四边形存在性 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 题型三 二次函数与相似三角形综合 8．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 题型四 二次函数与线段和差最值 10．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 11．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 12．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 13．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 14．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 题型五 二次函数与角度问题 15．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 16．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 17．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 18．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标． 题型六 二次函数动点问题与面积定值/最值 19．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 21．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 22．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数． (1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型七 二次函数与圆综合 23．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 24．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 25．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 题型八 二次函数含参问题 26．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 27．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 28．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 题型九 二次函数与折叠、旋转综合 29．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 30．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 31．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 题型十 二次函数分段函数与实际情境压轴 32．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 33．（24-25九年级上·重庆·月考）如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 34．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，过点向上作，且．，两点分别从，同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以，为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和重叠部分的图形面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 题型十一 二次函数路径长、坐标最值综合 35．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 36．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值； (3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 37．（2022九年级下·江苏·专题练习）如图1，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C． (1)直接写出h，k的值； (2)如图1，若点D的坐标为，点Q为y轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 题型十二 二次函数新定义题型 新定义问题是数学考试中必考的题型，无论在哪个阶段，都会出现此类问题，但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义，“旧酒”就是学过的知识，然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力. 38．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 39．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 40．（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 1．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 2．（2026·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线经过点．直线与两条抛物线，分别交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当点在第三象限内时，求的取值范围； (3)设点到轴的距离分别为．当点在第二象限，且时，请直接写出的值． 3．（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，已知抛物线与交于点，． (1)求a，b，c的值并直接写出直线的解析式； (2)已知函数的图象上有两点，，且，设经过P，Q两点的直线解析式为，求k的取值范围； (3)如图2，已知的图象上有两点，，且． ①求证：； ②若直线与交于点C，D（C在D的左侧），当时，直接写出t的值． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 5．（2026·湖南张家界·一模）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 6．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $