专题09 二次函数综合（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 二次函数综合 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新考法 新情境 新设问 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 二次函数解析式的三种求法 题型02 二次函数图象与性质综合 题型03 二次函数与一元二次方程综合 题型04 二次函数与不等式解集问题 题型05 二次函数实际应用 题型06 二次函数中线段长度、坐标运算 题型07 二次函数与三角形面积最值 题型08 二次函数与平行四边形存在性 题型09 二次函数图象平移、对称变换 题型10 二次函数与特殊三角形存在性 题型11 二次函数与特殊四边形存在性 题型12 二次函数与相似三角形综合 题型13 二次函数与线段和差最值 题型14 二次函数与角度问题 题型15 二次函数动点问题与面积定值 / 最值 题型16 二次函数与圆综合 题型17 二次函数含参问题 题型18 二次函数与折叠、旋转综合 题型19 二次函数分段函数与实际情境压轴 题型20 二次函数路径长、坐标最值综合 题型21 二次函数新定义题型 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新考法问题】（考查函数建模与数形结合能力，及线段最值、面积最值的运算求解） 1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或 (5) 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、圆周角定理、二次函数与几何综合等知识点，根据所求的最值构造合适的辅助线是解题的关键． （1）将和点代入抛物线求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可； （2）首先将的值最大转化为点A，D，P在同一条直线上，再求出直线的解析式即可得到点P的坐标； （3）首先将转化为为的平分线，再构造辅助线，利用直线与抛物线的交点即为点E，求解直线的解析式即可； （4）首先利用得到，此时可以得到的关系式，进而分类讨论为等腰三角形的情况，求解的值即可； （5）首先利用得到点F在圆上，再构造辅助圆求解圆心的坐标和半径，再将最小值转化为点外一点到圆上一点的最短距离，即为，再利用两点间的距离求解的长即可求解最小值． 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得， ∴解得， ∴点； （3）解：∵，，， ∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且， ∴为的平分线， ∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∴, ∴， 设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：， ∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），， ∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ①当时，此时， ∴， ∴； ②当时，∴， ∴， ∴，解得：， ∵，即， 解得：； ③当时，此时点M与点B重合， ∴不符合题意， ∴此情况不存在； ∴的长为1或． （5）解：如图：∵点F在x轴下方，， ∴点F在上，过点A，O，且始终为， 设圆心，半径为r， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴，即， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴，， ∵最小值为， ∴， ∴最小值为． 【新情境问题】（考查分类讨论与逻辑推理能力，及特殊三角形 / 四边形的判定与性质） 2．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或1 (3)2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，待定系数法求出的值和二次函数的解析式即可； （2）根据对称性，求出，根据与恰好有2个公共点，分2种情况，画出图象，数形结合进行求解即可； （3）根据与恰好有3个公共点，得到与有一个交点，与有两个交点，联立两条直线的解析式，求出，联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系求出，再根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； ∵反比例函数经过A点， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴直线经过点， ∵点关于的对称点为，直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线， ∴直线过点和， ∴，解得， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 当与恰好有2个公共点时，分2种情况： ①当经过点时，如图， 则：； ②当直线与只有一个交点时，满足题意，如图， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； （3）由（2）可知：， 当与恰好有3个公共点时，则与有一个交点，与有两个交点，如图， 令，则，即， 令，整理，得， 由题意，方程的两个根为，故， ∵， ∴，解得． 【新设问问题】（考查几何变换与函数综合能力，及角度分析、路径长 / 轨迹的深层探究） 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)3 (3)点E的坐标为或，过程见详解 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）过P作轴交于交于F，延长交于G，由题意易得，则有，，然后可得点坐标，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于，则有轴，四边形、、均是矩形，进而可得，最后问题可求解； （3）由题意可分①当E在x轴上方时，②当E在x轴下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作轴交于交于F，延长交于G， ∴轴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， 当时，取最大值， 此时， ∴， 如图，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于， ∴轴，四边形、、均是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图， 当P、K、三点共线时，的值最小，此时， ∴的最小值为3； （3）解：∵，该抛物线沿射线方向平移个单位， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度，， ∴平移后的对称轴为直线， ①当E在x轴上方时，如图，过E作轴交于N，过A作轴交于T，交于S， ∴，四边形、、是矩形， ，， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设，， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②当E在x轴下方时，如图， 同理可求：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述，E的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 二次函数解析式的三种求法 1．（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，观察数据发现规律是解决本题的关键 ． 观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，设出二次函数解析式将数值代入求解即可 ． 【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D． 【详解】解：将点，和代入二次函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， 函数图象经过点， 位于第一象限， 函数图象经过点， 位于第三象限， 由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限， 函数图象经过点， 位于第四象限， 这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线 ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D ． 题型02 二次函数图象与性质综合 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点间的距离为3 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故A、B错误，D正确； ∵，对称轴为直线，点， ∴， ∴，故C错误． 故选：D． 5．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，可得和时，y值相等，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由时，，可得关于a的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，； 当时， 根据对称性，和时，y值相等， （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，， 即， 解得： 6．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 题型03 二次函数与一元二次方程综合 7．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 8．（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与轴交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．先利用二次函数与轴只有一个交点时判别式的性质，列出关于的方程求出的可能值，再结合图象中抛物线对称轴的位置，通过对称轴公式推断出的正负，最终确定的唯一值． 【详解】解：∵二次函数的图象，与轴只有一个交点， 其中， ∴ ∴， 结合图象，抛物线的对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数对称轴公式为：， ∴， 故． 故答案为：． 9．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，整理，即可作答． （2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入， 得，，则或，再解得的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即该函数的图象与轴有公共点； （2）解： ∵该函数的图象经过的定点 即 ∴ ∴把代入， 得 ∴该函数的图象经过的定点为． （3）解：设线段的解析式为， 把点，分别代入 得 解得 ∴线段的解析式为， ∵该函数的图象与线段没有公共点， ∴ 整理得 把代入， 得， 把代入， 得， 则或 解得，即；或解得，即 综上：或 题型04 二次函数与不等式解集问题 10．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式关系，命题与定理，求出交点的坐标并准确识图是解题关键． 先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析二次函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④正确． 故选：B． 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 12．（2025·辽宁·一模）根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)①见解析；②，；③或 (2)①见解析；②，；③ (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数与不等式（组），数形结合是数学中的重要思想之一． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的开口方向以及抛物线的对称轴作出图象，根据图象写出不等式的解集； （2）参考（1）的解题过程进行计算； （3）参考（1）的解题过程进行计算，但是需要分类讨论：、、三种情况． 【详解】（1）解：①， 则该抛物线与x轴交点的坐标分别是，，且抛物线开口方向向下， 所以其大致图象如图①所示： ②由①知，方程的解为，； ③根据图示知，不等式的解集为或． 故答案为：，；或； （2）解：①构造函数，画出图象，如图②所示； ②当时，方程的解为：，； ③由图（2）知，不等式的解集是：； （3）解：当时，关于x的不等式的解集是或； 当时，关于x的不等式的解集是； 当时，关于x的不等式的解集是全体实数． 题型05 二次函数实际应用 13．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为242平方米 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，， ∴矩形的面积， 由题意可得， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为242平方米． 【点睛】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，正确地列式，会求二次函数的最值，是解题的关键． 14．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】（1）由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，即可设销售额与销售单价之间的关系式为，再代入求解即可； （2）①利用即可求解销售数量与销售单价之间的关系式，再由每件利润乘以销售数量即可求解单价为18元/个时的销售利润； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，由①得，销售数量，由建立起二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 15．（2026·河南南阳·一模）为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． (1)请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． (2)求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到，，根据二次函数的对称性可知B、C关于对称，进而求出，根据，求出，即可求出点的坐标； （2）设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （3）分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据对称性求出，求出当时y的值，即可得到灯笼最底端离地面的高度． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： ∵矩形， ∴，， ∵P是抛物线最高点， ∴B、C关于对称， ∴， 即， ∵，， ∴， 即点的坐标为； （2）解：设抛物线的函数表达式为． 由题意，得， 将代入表达式，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； （3）解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，． ， ∴ ∵点，关于对称， ． 当时，． ， 灯笼最底端离地面的高度为． 16．（2026·贵州六盘水·一模）在2026年央视春晚创意杂技《绘新春》表演中，演员们隔空相互抛接“空竹”，“空竹”光在空中绘制出美丽的光线，惊艳现场．“空竹”在空中的一次运动轨迹可以近似的看作一条抛物线．如图①，以其中一条抛物线的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，该抛物线终点A在x轴上，顶点B的坐标为，． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如图②，点，在抛物线上，点P为该抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)若关于x的方程：（t为实数），在的范围内有实数根，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）先求出点C，D的坐标，再求出点关于对称轴直线的对称点为，当P在直线与对称轴的交点时，最小．求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． （3）把转化成，可看做t关于x的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为：． （2）解：点，在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵抛物线的对称轴直线， ∴点关于对称轴直线的对称点为，当P在直线与对称轴的交点时，最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， 则， 当时，则， ∴． （3）解：由（t为实数）可得出，可看做t关于x的二次函数， ∵中，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大， 当时，则， 当时，则， ∴t的取值范围为． 题型06 二次函数中线段长度、坐标运算 17．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出． 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 18．（2026·上海杨浦·二模）抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 19．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1)D的坐标为， (2) 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或 5 ，即可求解； （2）求出直线的表达式，的表达式，得到直线的表达式，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 则抛物线顶点的坐标为， 令，则或， ，， ． （2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，过点作交的延长线于点，垂足为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，解得， ． ，， ∴， ∴， 是的中点， ． 点在直线上， ， 解得：（舍去）或， ． 题型07 二次函数与三角形面积最值 20．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，D的坐标为，面积最大值为8 (3)存在，点Q的坐标为：， 【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出； （2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值； （3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线过， ，解得， 所以抛物线表达式：； （2）解：令，得， 则可设直线的解析式：， 代入，得，解得，即， 设点，， 过D作轴交于， 则，， ， 这是开口向下的二次函数， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为8， 此时D的坐标为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为， ∴， 过作轴交于， 设，则， ， 又与面积相等， ，即， ，解得（与点P重合，舍去）或，此时， 或，解得或， 对应Q的坐标为：， 综上，点Q的坐标为，． 21．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 【答案】(1)当或时，的面积是2 (2)①；见解析；②或 【分析】（1）分三种情况，当点P在上时；当点P在上，点Q未到达点C时；当点P在上，点Q到达点C时，即可求解； （2）①结合（1）分三种情况：当时；当时；当时，结合二次函数的和一次函数的性质解答即可；②结合①中函数关系式，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：当点P在上时，此时，其中， ∵，的面积是2， ∴，即， 解得：（负值舍去）； 当点P在上，点Q未到达点C时，过点Q作于点D，过点A作于点E，此时，，，其中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是2， ∴， 即， 解得：（均不符合题意）； 当点P在上，点Q到达点C时，过点A作于点E，此时，，其中， ∵的面积是2， ∴，即， 解得：； 综上所述，当或时，的面积是2； （2）解：①由（1）得：当时，， 此时当时，S取得最大值，为； 当时，， ∵， 此时当时，S取得最大值，为； 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴此时当时，S取得最大值，为； 综上所述，S的最大值为； 对于，当时，， ∴函数的图象过点， 画出时的函数图象如下： ②当时，， 此时（负值舍去）； 当时，， 此时（不符合题意，舍去）； 当时，， 此时； 综上所述，的面积为3时，对应的的值为或． 22．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 题型08 二次函数与平行四边形存在性 23．（2026·河南新乡·一模）如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)满足条件的点一共有3个，或或． 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）点和代入，求出a和b的值即可；、 （2）求出的解析式为，则，得出的表达式，再用铅锤法得出，，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∴ ∴， ∵点是线段上的动点 ∴， ， ∵，开口向下， ∴当时，面积取最大值， 此时． （3）解：∵， ∴， 设， ①当为对角线时： ，解得：， ∴； ②当为对角线时： ，解得：， ∴； ③当为对角线时： ，解得：， ∴ 综上：满足条件的点一共有3个，或或． 24．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 25．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在符合题意的点，且的面积为 或 【分析】（1）通过已知三点坐标代入抛物线方程可解出系数； （2）利用抛物线的对称性分析区间内的增减性，确定对称轴位置关系从而求出范围； （3）结合动点在抛物线上，结合对称轴上的点，构造以为顶点的平行四边形，利用平行四边形性质列出坐标关系，排除共线情况后计算三角形面积． 【详解】（1）解：令，得， ∴点C的坐标为． 令，得， ∴点A的坐标为． ∵抛物线经过三点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． ∵当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小， ∴ 解得． （3）解：存在点Q，设 ①当为平行四边形的边时， 若四边形是平行四边形，如图1所示． ， ， ， ， ∴点Q的坐标为 又， ∴此时的面积为． 若四边形是平行四边形，如图2所示． ， ， ， ∴ ， ， ∴点Q的坐标为 又， ∴此时的面积为． ②当为平行四边形的对角线时，如图3所示． ， ， ， ， ， ， ∴点Q的坐标为， ∴此时三点共线，不符合题意． 综上所述，存在符合题意的点Q，且的面积为或． 题型09 二次函数图象平移、对称变换 26．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过两点． (1)__________，__________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①直接写出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于两点，两点的纵坐标分别为，设，直接用含的式子表示． 【答案】(1)10，6 (2) (3)①4，；② 【分析】（1）根据顶点坐标写出抛物线的顶点式，然后展开即可求解； （2）根据待定系数法求解即可； （3）①根据平移前后对应点的坐标可求出p的值，根据关于原点对称点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标，根据轴对称的性质求出抛物线解析式的二次项系数，即可求解； ②联立直线平移后解析式与抛物线解析式，化简得到，根据根与系数的关系得出，然后结合，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∴，； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为，， ∴抛物线解析式为； ②∵直线沿轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组， 化简得， ∴， 又，， ∴ ． 28．（2025·湖南长沙·三模）二次函数本身具有对称性，某些函数之间也具有对称性，比如和函数关于直线对称． (1)双曲线关于y轴对称的双曲线解析式为______；直线和关于直线______（填解析式）对称； (2)若抛物线：和关于直线对称，当时，函数的最大值为7，求a的值； (3)抛物线：和关于直线对称，顶点分别是M，N，两个函数交于点A，函数，组成的图象记为． ①若有一个角为，求a的值． ②点，点，若W与线段有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质、二次函数的最值问题、二次函数与线段交点个数问题，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键． （1）由函数对称性即可得解； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，再根据函数对称性求出的解析式，分类讨论，或，再根据增减性求出最值即可求解； （3）①根据对称性可知为等边三角形，再由A、M、N点坐标建立方程求解即可； ②分类讨论，当或，画出图象，代入临界点求解即可． 【详解】（1）由题可知双曲线关于y轴对称的双曲线解析式为， 直线和关于直线对称； 故答案为：；． （2）， 若抛物线：和关于直线对称， 则的解析式为，对称轴为， 当时，此时离对称轴越远，y值越大， 当时，y有最大值为， 解得（舍去）； 当时，此时在对称轴处取最大值， 当时，y有最大值为， 解得； 综上所述，． （3）①；； ，， 令，解得：， ， 由对称性：， 中有一个角为， 为等边三角形， ， 如图1，作于H， 则， 由勾股定理得， ， ， ． ②由前述可知：：，：， 当时，如图2： 只要满足与y轴交点在点P处或者点P上方即可， ， ； 当时，如图3： 第一种情况：当W的两个顶点在线段PQ上时，此时满足两个交点， ， 解得； 第二种情况：只要满足与y轴交点在P点上方即可， ， 解得； 综上所述：或或． 题型10 二次函数与特殊三角形存在性 29．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 30．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 31．（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解： 设抛物线的解析式为， 将点代入得 ， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）解：∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴； 如图，当是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； 综上，点G的坐标为或或或． 题型11 二次函数与特殊四边形存在性 32．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 33．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 34．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型12 二次函数与相似三角形综合 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标； (3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，，； (2) (3) 【分析】（1）在中，令得，令得，； （2）由，得直线的解析式为，设直线的解析式为，，可得，故；根据平分线段，知的中点在直线上，求得直线解析式为，有，解出t的值从而可得； （3）过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，证明，可得，求出，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立得，联立得，设，，，故，，，从而知，，，故，可得，即得，，得直线解析式为． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 设， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 令得， ∴； ∵平分线段， ∴的中点在直线上， 设直线的解析式为， 将代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，如图： ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵点D与原点O关于对称， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得：， 联立 得：， 设，，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 36．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 37．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，． (1)求抛物线的解析式． (2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标． (3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为， (3)或 【分析】本题考查二次函数与几何的综上，涉及待定系数法、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，画出相应的图形求解即可； （3）分和两种情况，分别画出图形，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，则， 将，代入中，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，如图，则， ∴轴， 设，则，， ∵A与B关于y轴对称， ∴， 过D作轴于G，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 则； 当时，如图，则，延长交延长线于H， 则，又， ∴， ∴， 设，则点H的横坐标为t，点D横坐标为，纵坐标为， ∴， 过D作轴于G，同理可证， ∴，即， 解得（负值已舍去），则， 综上，满足条件的点E坐标为，； （3）解：由题意，， 当时，，，如图， ∴点和点关于对称轴对称， ∵对于时，都有， ∴，则； 当时，，，如图， 点关于对称轴的对称点为，点和点关于对称轴对称， ∵对于时，都有， ∴且，则， 综上，t的取值范围为或． 题型13 二次函数与线段和差最值 38．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】（1）连接，交于点，由得到当点在和的交点上时，有最小值，利用勾股定理求解； （2）①点，代入求解； ②连接，与交于点，根据点在抛物线的对称轴上，得到的值最小，最小值为的长，求出点的坐标，代入解析式求解； ③过点作直线，使得，过点作，交于点，过点作于点，利用解直角三角形的知识求出和，再利用解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）解：连接，交于点，如下图 ，，分别为和的中点， 当点在和的交点上时，有最小值，最小值为的长度． ，， ， 的最小值为：． 故答案为：． （2）解：①将点，代入， 得 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ②如图1，连接，与交于点． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴，即此时的值最小，最小值为的长， 令，则， 解得或， ∴点， 则， 即的最小值为． ③． 如图2，过点作直线，使得，过点作，交于点，则点即为所求． ∵， ∴， 则． 过点作于点， 则． ∵， 则，． 在中，， 同理，可得． 在中，，， 则， ∴， 则的最小值． 【点晴】本题考查了根据矩形的性质求线段的最小值，抛物线解析式求法，勾股定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键． 39．（2025·四川德阳·二模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在最小值，最小值为 【分析】本题主要考查二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、三角形面积最大值求解以及利用几何构造求线段和的最小值． （1）通过代入已知点坐标，求出解析式及顶点坐标； （2）作轴，交于点，设设，计算的长度，利用三角形面积公式求解．当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，通过构造含角的直角三角形，利用几何性质求解的最小值．当A、Q、N三点共线时，取得最小值，计算得到最小值为． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中， 点的坐标为， 将代入，解得：， ． 抛物线的解析式为． 对称轴为直线， 将代入，得：． 顶点的坐标为； （2）解：，， 直线的解析式为：． 点在抛物线上，且位于直线下方， 设，其中，． 如图所示，作轴，交于点， ． ． ，，， ． ． 整理可得：，其中． ， 当时，取得最大值． 将代入，得：， 此时点的坐标为； （3）解：存在最小值，理由如下： 如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，， 则，． 在中，． 随着点的运动，总有． ． 要使得取得最小值， 即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值， 此时，，， ， ，． ． ． ． 存在最小值，最小值为． 40．（2025·四川南充·模拟预测）如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连接、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线沿射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）作轴，交于，根据三角函数得出，得最大时最大，设，则，得，进而可求，设直线与轴交于，与轴交于，得点可看作点先向下平移个单位，再向可平移1个单位得到的，将点作同样的平移，得点，设点关于直线的对称点为，根据轴对称性质可得，连接，交直线于，得，进而可求的最小值； （3）根据平移规律求出，作轴，进而可得，过点，作直线，交于，交抛物线于，得，设直线为，求得，由，可求得，作点关于直线的对称点，直线交直线于，同法可求． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）解：作轴，交于， ， ，， ， ， ， ， 最大时，最大， 设直线为， 代入，， 得，， ， ， 设，则， ， 时，， 此时， ， 设直线与轴交于，与轴交于， 当时，， 当时，， ，， ， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， ， ， ， ， ，， 点可看作点先向下平移个单位，再向右平移1个单位得到的， 将点作同样的平移，得点， 即， ，且， 四边形为平行四边形， 连接， ， ， 当最小时，最小， 设点关于直线的对称点为， 直线交直线于， 设直线为， 作轴于，设，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接，交直线于， ， 此时， 的最小值为； （3）解：， 将其沿直线方向平移后经过，相当于先向上平移2个单位，再向左平移3个单位， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， 作轴， ， ， 过点，作直线，交于，交抛物线于， ，， ， ， ， 设直线为， ， ， ， ， （舍），， ， ， 作点关于直线的对称点，直线交直线于， 位置如图所示： 设直线为， ， ， ， 同（2）可求， ， 令， ， ， ∵S是和的中点， ， 作射线， 交抛物线于， ， 设直线为， 代入，， ， ， ， ， ，（舍）， ， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，线段问题，角度问题，解直角三角形，勾股定理等知识，准确添加辅助线，综合应用相关知识点是解题的关键． 题型14 二次函数与角度问题 41．（2025·四川泸州·模拟预测）如图（1），抛物线交轴于，两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)是抛物线第四象限上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点，使顶点，分别在轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． （1）令为0，解方程即可得和的坐标，令，即可得的坐标； （2）作交抛物线于点，交于点，利用平行导角证明，求出的表达式，设，进而由勾股定理表达出，从而可解得点坐标，得到，由平行关系 可得，最终可求直线的表达式； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设，由于直线与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线的表达式为，从而求出点的横坐标为作轴于点，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明，得到比例式，设，即，整理可得，根据当点运动时，上式中的值与点的位置无关，从而，即，故得点的坐标． 【详解】（1）解：令中为0， 则，解得或， ，， 当时，， ； （2）解：作交抛物线于点，交于点，如图所示， ， ， ， ． ， 设直线的表达式为， 把，代入表达式，可得， 解得， 所以直线的表达式为， 设，则， 即， 解得或0， 故， 设直线解析式为 ∴， 解得：， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：平移抛物线使抛物线的顶点为， 平移后抛物线的， 所以新抛物线的表达式为， 设， 设直线的解析式为， 把代入可得， 可得， 所以直线的解析式为， 列方程，整理得， 由于直线与抛物线有且只有一个交点， ，即， 可得， 故直线的表达式为， 再令，得， 解得． 作轴于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 设， 即， 整理可得， 当点运动时，上式中的值与点的位置无关， ，即， 故点的坐标为． 42．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为3，点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 43．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型15 二次函数动点问题与面积定值 / 最值 44．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由； ②若的面积是的面积的2倍，求的值． 【答案】(1)，最小值为 (2)①的长为定值，理由见解析；②2 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由，可得顶点的坐标为，又点始终在直线上，故，即得，可知取得最小值为； （2）①由（1）知，可得，，令，解得或，求出点的坐标为，点的坐标为，故为定值； ②延长交轴于点，则点的坐标为，求出，，，，根据，且，可得，而，，故，可解得的值为． 【详解】（1）解： ， 顶点的坐标为， 点始终在直线上， ，， 当时，取得最小值，最小值为； （2）①的长为定值，理由如下： 由（1）知， 令得， ，． 令，， ，， 或， 或， 把代入，得， 点的坐标为， 轴，， 点的坐标为， ， 的长为定值； ②如图，延长交轴于点，则点的坐标为， ，，，， ，且， ， ， 而，， ，解得或（不合题意，舍去）， 的值为2． 45．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 题型16 二次函数与圆综合 46．（2025·广东·一模）如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点，的圆心在轴上，且经过两点．若． (1)求抛物线的解析式． (2)设点在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． 【答案】(1) (2)经过，理由见解析 【分析】（1）将代入解析式，令根据根与系数的关系以及，得出的值，进而得出解析式； （2）已知点坐标，可求直线的解析式，连接，设的半径为，求出的值和坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，令． ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴抛物线的解析式是． （2）解：直线经过圆心． 理由如下： 由（1）得抛物线的对称轴为直线，而两点关于抛物线的对称轴对称， ∴． 令． 解得． ∴． 设直线的解析式为， ∴，解得． ∴直线的解析式为． 连接． 设的半径为． 在中，，即．解得：． ∴． ∵点的坐标满足直线的解析式， ∴直线经过圆心． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．（2024·上海杨浦·二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 48．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，可证明是等腰直角三角形，，据此利用两点距离计算公式建立方程求解即可； （3）分点D在点A左侧和点D在点A右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接，设， ∵以为直径的圆与直线的一个交点为C， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； 如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ； 综上所述，的值为或． 题型17 二次函数含参问题 49．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的横坐标为或； (3)直线过定点． 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式； （2）先求出抛物线与 轴交点，，直线的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以、、为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可； （3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线过定点． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上， 当，则，， ，则，， 设抛物线解析式为顶点式， 代入点，可得， 解得， 故该抛物线的解析式为； （2）解：令， 可解得或， 即，， 由待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为， ， 可能存在两种情况： ①， ， ，，， ，是等腰直角三角形， 可得，， 作轴于点，如图所示， ，进而可得， 则直线的解析式为， 联立与，整理得， 解得， 又为抛物线上第二象限内点， ； ②， 此时， 则直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得（正值舍去）， 则． 综上，点的横坐标为或． （3）解：直线过定点，理由如下： ，设直线解析式为， 直线解析式为， 令直线与抛物线联立可得， 由根与系数的关系可得，即， 从而可得， 令直线与抛物线联立，同理可得，即， 从而可得， 根据待定系数法可得直线的表达式为， 过点作轴，于，于， 如图所示， 则，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理可得， 把代入中， 即， 令，即，此时， 故直线过定点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题． 50．（2025·山东·模拟预测）已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 【答案】(1)①抛物线与x轴的交点坐标为和；②图见解析，或 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的最值问题，画二次函数图象等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案；②先列表，再描点和连线画出对应的函数图象，再根据函数图象可得增减性，进而可得答案； （2）先求出c，再把解析式化为顶点式得到顶点坐标，进而可得答案； （3）根据题意可得直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方，根据对称性结合对称轴计算公式可得b的值，进而得到二次函数解析式和顶点坐标，据此可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点，且二次函数的函数图象经过， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； ②列表如下： x … 1 3 4 … y … 5 0 0 5 … 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，或； （2）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∵对于一切实数x，函数值总成立， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线顶点坐标为，直线在抛物线的下方， ∴． 51．（2025·山东泰安·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； (3)若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 【答案】(1)或4； (2)； (3)①；②． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设平移后的抛物线为，即，又图象过点，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，由，则抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，又二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于个单位长度，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，由时，抛物线为，则顶点为，开口向下． ①由抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合，则，进而计算可以得解； ②依据题意，由抛物线开口向下，且对称轴是直线，再结合时，该二次函数的最大值与最小值的和为，可以分类讨论计算得解． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为：，即， 又∵图象过点， ∴， 解得：或4； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∵二次函数（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴顶点，开口向下， ①由题意，∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又， ∴， ∴当时， ， ∴无解； 当时，， ∴，则， 当时， ∴， 综上，， 故答案为：； ②由题意，∵抛物线开口向下，且对称轴是直线， 当时，最大值在，最小值在， ， ∴． 当时，最大值在顶点，最小值在或， 若，则最小值为， ，符合题意， 若，则最小值在， ， ， 综上，． 52．（2025·天津红桥·三模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先利用解直三角形求出，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求得，，即可求得，； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可求得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，并求得，设，用表示出，进而表示出与的坐标，再利用解直角三角形表示出，进而求得，再根据折叠的性质得出，从而可得； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ， ∵点， ∴， ∵梯形中， ，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）①过点Q作于点E， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． ， ∵， ， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ， 由折叠可知：，， ， ，解得：， ， ， ， 由折叠可知：， ∵折叠后重叠部分的面积为， ， 又，解得：， ； ②当时，折叠后重叠部分为，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，折叠部分为四边形，如图所示： 根据解析①可知：此时， ∴； 当时，重叠部分为四边形，如图所示： 则， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴为等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ， ∴当时，； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合，解直角三角形的相关计算，的最值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 题型18 二次函数与折叠、旋转综合 53．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 54．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 【答案】(1) (2)①②当时，才能抵挡这次攻击 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10分钟时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反， ∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：； 故答案为：； ②当无人机到达点上方正好为10分钟时，则飞行距离为， 假设无人机从左往右飞， ∵无人机飞行高度为， 则，当过点时，， ∴， ∴当时，才能抵挡这次攻击． 55．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）    (1)直接写出C、F两点的坐标． (2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式． (3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)，重叠部分面积的最大值是 【分析】（1）根据勾股定理和坐标知识可求出，的坐标； （2）因为，以及重叠部分的面积可用四边形和三角形的面积来表示出来，从而可求出解析式； （3）分两种情况：当时和当时进行讨论，分别求出表示面积的解析式，然后根据二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴，过作轴，    ∵在中，已知，，， ∴， ， ， 则，， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴同理可得，， ∴； （2）解：如图，设与交于点，与轴交于点，    由题意得，，， ，， ， ， ， ， 点移动到的内部， ， 解得：， 与之间的关系式为； （3）解：2秒后，移动到的内部， 当时，如图，，，    由（1）知，则 轴， ， ， ， ， 当时，有最大值； 当时，如图，延长与交于点，   ，即， ， ， ， 当时，有最大值； 综上所述，与之间的关系式为，重叠部分面积的最大值是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，二次函数的性质和最值的求法，平行四边形的性质等知识点，掌握相关知识是解决问题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴难题的学生． 题型19 二次函数分段函数与实际情境压轴 56．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右作长方形，使，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求长方形与重叠部分图形的面积与之间的关系式； (4)点为的中点，连结，当所在的直线垂直的一边时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】（1）过点作于点，由三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推得，，分两种情况讨论：当时，当时，结合等腰三角形的判定与性质分别表示出即可得解； （2）过点作于点，结合等腰直角三角形性质得、、，结合矩形性质可证是等腰直角三角形，则，即，求解即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别表示出与之间的关系式即可； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， ，， 当时，， ，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 综上所述，； （2）解：如图，过点作于点， 由题意得：， 由（1）得：，， 当时，， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：； （3）解：当时，长方形与重叠部分图形为长方形，如图， ； 当时，如图， ，，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 综上所述，与之间的关系式为； （4）解：当时，如图，延长交于点，连接， 则， 点为的中点，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， 、、三点共线，即点与点重合， ，，， ， 解得：； 当时，如图，设交于，交于，交于， ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、列代数式、矩形性质、一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，解题关键是运用分类讨论的思想解决问题． 57．（2025·河南驻马店·二模）综合与实践 数学兴趣小组对无人机飞行轨迹进行数学建模探究． 如图所示，现有一架无人机在边长为6米的正方形空域内飞行．无人机从边上的点起飞（不与，重合）．飞行轨迹形成折线，将正方形沿翻折，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接，． (1)操作判断  与的关系是______，飞行路径与折线的位置关系是______，飞行路径与折线的数量关系是______． (2)性质探究  当起飞点在边上移动时：求证：的周长恒定为12米． (3)拓展应用  设米，无人机信号反射区域的面积为，求出与的函数关系式．为保证信号强度，反射区域面积需最小化，求的最小值及对应的起飞位置． 【答案】(1)相等；垂直；相等 (2)见解析 (3)（），当时，存在最小值． 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出，进而利用平行线的性质得出即可得出；如图所示，过点F作于点I，然后由折叠得到垂直，证明出，得到； （2）过点B作，首先证明，得到，，进而得出，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）过点F作，设，表示出，然后利用勾股定理表示出，然后证明出，得到，，然后得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由折叠得， ∴ 又∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； 由折叠得，垂直 如图所示，过点F作于点I ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴与的关系是相等，飞行路径与折线的位置关系是垂直，飞行路径与折线的数量关系是相等； （2）过点B作 由（1）知 ， ， ， ， ∴的周长； （3）过点F作 设 在中 ∴当时，S存在最小值． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键． 题型20 二次函数路径长、坐标最值综合 58．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（）①把，代入函数解析式得，即得点坐标，再把代入函数解析式求出可得点的坐标；②过点作轴，垂足为，交于点，可得，即得，得到，即得，进而得，又由是等腰直角三角形得，即可得，解方程即可求解； （）由点的坐标为得，即得，又由得，即得，过点作，垂足为， 则，由可得，过点作，使，连接，可证，可得，即得，可知当点共线时，有最小值，最小值为，即，即得到，进而由得，即，解方程求出即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 59．（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为 (4)存在．点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可； （3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）知：， ∵点是直线上一点，且点在抛物线上， ∴当，， ∴； （3）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 题型21 二次函数新定义题型 60．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 61．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数 二阶·素养进阶练 1．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． (1)求扑救点时抛物线的函数表达式； (2)成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； (3)在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法把点，的坐标代入的解析式中求出、的值，即可得到结果； （2）设平移后抛物线的函数表达式为，把点、的坐标代入函数表达式，求出的最大值和最小值，即可得到的取值范围； （3）设抛物线的解析式为，把点、的坐标代入解析式求出、的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得，， 抛物线经过点，， ， 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴于点， 山坡的坡度为， ， 设，， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ，， ， ， 同理可得， 喷射角度需维持不变， 平移后抛物线的形状不变． 设平移后抛物线的函数表达式为， 把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 的取值范围为； （3）解：如下图所示，过点作轴， ， 设，， 米， ， 解得：（负值舍去）， ，， ， ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 即． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线． (1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点． ①求此抛物线的解析式； ②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。 (2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①联立抛物线与直线的解析式，结合两者只有一个公共点的条件，利用一元二次方程有两个相等实根的判别式求出的值，再根据二次函数向右平移1个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入已知点求出的值，进而确定原抛物线的解析式； ②先将原抛物线配方为顶点式，再利用中点坐标公式求出原抛物线上任一点关于点的对称点坐标，代入原解析式推导出对称抛物线的解析式，联立两条抛物线解析式得到一元二次方程，结合有公共点的条件，利用一元二次方程有实数根的判别式求出的取值范围； （2）先根据二次函数向上平移个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入、的条件求出关于、的表达式，结合确定抛物线开口向上，再根据时且时的条件得出该区间内函数单调递减，进而得到对称轴满足的不等关系，将的表达式代入后化简推导，结合的条件比较出与1的大小． 【详解】（1）①解：联立抛物线与直线， 得：，整理为． ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实根， 判别式，解得， 解析式为：， 抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：． ∵平移后的抛物线过点， ∴，即，解得． ∴原抛物线的解析式为． ②解：， ∴原抛物线的顶点为，开口向下． 设原抛物线上任意一点关于点的对称点为， 根据中点坐标公式，得，，解得，． 将，代入原抛物线解析式， 得，整理得， 即对称后的抛物线解析式为． 联立，得， 整理得． ∵该一元二次方程有实数根， ∴判别式，解得； （2）解：，理由如下： 将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为． ∵当时，， ∴将，代入得，整理得． ∵， ∴是开口向上的二次函数． ∵当时，；当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴，即， ∴，整理得． ∵， ∴． 3．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或；②存在，理由见解析；③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②解：存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． 4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）图，在平面直角坐标系中，直线交抛物线 （、为常数）于点和， 交轴于点． (1)求、的值及点的坐标； (2)如图，将抛物线向右平移个单位长度，向上平移单位长度后得到新抛物线． ①新抛物线的表达式为 ； ②以新抛物线上任意一点为圆心，为半径画，试说明始终与轴相切； (3) 如图， 在 的条件下， 为直线 上任意一点，将直线 绕着点 顺时针旋转 得到直线 ，交新抛物线．于点，点为平面直角坐标系内任意一点，当四边形为菱形时，点 的横坐标为 ． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2)①；②证明见解析 (3)或 【分析】（1）将点和点坐标代入抛物线解析式即可得到、的值；设直线的解析式为，再将点和点坐标代入求出直线解析式，即可得到直线解析式与轴的交点点的坐标； （2）①先将抛物线解析式转化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减即可得到结果；②设，表示出半径 后比较点到轴的距离及后即可证明始终与轴相切； （3）分两种情况：①当点在轴右侧时，连接并延长交轴于点，根据菱形性质得出，进而得出，从而得出，再得出直线解析式，将其跟新抛物线解析式联立求解后即可得到点的横坐标；②当点在轴左侧时，根据同样的方法即可求解． 【详解】（1）解：把和代入可得： ， 解得， 抛物线解析式为， 设直线的解析式为， 将和代入可得： ， 解得， 直线解析式为， 又直线交轴于点， ， ，，点的坐标是． （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， 根据抛物线平移规律可得经过平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． ②由圆心在新抛物线上，设， ， 的半径， 点到轴的距离等于的半径， 始终与轴相切． （3）解：①当点在轴右侧时，连接并延长交轴于点，如图， 将直线绕着点顺时针旋转得到直线，交新抛物线于点， ， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为, 将和代入得到， 解得， 则直线的解析式是， 点是直线和新抛物线的交点， ， 解得或（舍去）， 点的横坐标为； ②当点在轴左侧时 ，连接并延长轴于点，如图， 同理可得，， 直线解析式为， 点是直线和新抛物线的交点， ， 解得或（舍去）， 点的横坐标为， 综上所述，点的横坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的平移、证明某直线是圆的切线、利用菱形的性质求角度、含度角的直角三角形、解一元二次方程、其他问题(二次函数综合)，解题关键是通过作辅助线构造含角的直角三角形． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)的取值范围为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算． （1）由待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可 （3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 点的坐标为． 将点代入，得． 直线的函数表达式为， 令，则，解得， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8， 此时点的坐标为． （3）由（2）知，点坐标为， 又∵， 直线的函数表达式为， 抛物线过点， 可设抛物线的函数表达式为， 在抛物线上， ， 抛物线的函数表达式为， ①当时， ， 抛物线开口向上。 又， ， 抛物线与线段无交点． ②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示， 此时． 抛物线与线段只有一个交点， ． ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示． 将代入，得． 抛物线与线段只有一个交点， ． ③当抛物线与线段相切时， 联立， 整理，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值范围为或． 真●题●验●证 1．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）①           ② 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 6．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数综合 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新考法 新情境 新设问 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 二次函数解析式的三种求法 题型02 二次函数图象与性质综合 题型03 二次函数与一元二次方程综合 题型04 二次函数与不等式解集问题 题型05 二次函数实际应用 题型06 二次函数中线段长度、坐标运算 题型07 二次函数与三角形面积最值 题型08 二次函数与平行四边形存在性 题型09 二次函数图象平移、对称变换 题型10 二次函数与特殊三角形存在性 题型11 二次函数与特殊四边形存在性 题型12 二次函数与相似三角形综合 题型13 二次函数与线段和差最值 题型14 二次函数与角度问题 题型15 二次函数动点问题与面积定值 / 最值 题型16 二次函数与圆综合 题型17 二次函数含参问题 题型18 二次函数与折叠、旋转综合 题型19 二次函数分段函数与实际情境压轴 题型20 二次函数路径长、坐标最值综合 题型21 二次函数新定义题型 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新考法问题】（考查函数建模与数形结合能力，及线段最值、面积最值的运算求解） 1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【新情境问题】（考查分类讨论与逻辑推理能力，及特殊三角形 / 四边形的判定与性质） 2．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 【新设问问题】（考查几何变换与函数综合能力，及角度分析、路径长 / 轨迹的深层探究） 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 二次函数解析式的三种求法 1．（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 3．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 题型02 二次函数图象与性质综合 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点间的距离为3 D．当时，的值随值的增大而增大 5．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 6．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 题型03 二次函数与一元二次方程综合 7．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 8．（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是_______． 9．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 题型04 二次函数与不等式解集问题 10．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么；②如果，那么或； ③如果，那么；④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ______． 12．（2025·辽宁·一模）根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 题型05 二次函数实际应用 13．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 14．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 15．（2026·河南南阳·一模）为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． (1)请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． (2)求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 16．（2026·贵州六盘水·一模）在2026年央视春晚创意杂技《绘新春》表演中，演员们隔空相互抛接“空竹”，“空竹”光在空中绘制出美丽的光线，惊艳现场．“空竹”在空中的一次运动轨迹可以近似的看作一条抛物线．如图①，以其中一条抛物线的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，该抛物线终点A在x轴上，顶点B的坐标为，． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如图②，点，在抛物线上，点P为该抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)若关于x的方程：（t为实数），在的范围内有实数根，请直接写出t的取值范围． 题型06 二次函数中线段长度、坐标运算 17．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 18．（2026·上海杨浦·二模）抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 19．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 题型07 二次函数与三角形面积最值 20．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 22．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 题型08 二次函数与平行四边形存在性 23．（2026·河南新乡·一模）如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 24．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 25．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 题型09 二次函数图象平移、对称变换 26．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 27．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过两点． (1)__________，__________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①直接写出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于两点，两点的纵坐标分别为，设，直接用含的式子表示． 28．（2025·湖南长沙·三模）二次函数本身具有对称性，某些函数之间也具有对称性，比如和函数关于直线对称． (1)双曲线关于y轴对称的双曲线解析式为______；直线和关于直线______（填解析式）对称； (2)若抛物线：和关于直线对称，当时，函数的最大值为7，求a的值； (3)抛物线：和关于直线对称，顶点分别是M，N，两个函数交于点A，函数，组成的图象记为． ①若有一个角为，求a的值． ②点，点，若W与线段有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范围． 题型10 二次函数与特殊三角形存在性 29．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 30．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 题型11 二次函数与特殊四边形存在性 32．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 34．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 题型12 二次函数与相似三角形综合 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标； (3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式． 36．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 37．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，． (1)求抛物线的解析式． (2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标． (3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围． 题型13 二次函数与线段和差最值 38．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. (1)如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. (2)如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 39．（2025·四川德阳·二模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 40．（2025·四川南充·模拟预测）如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连接、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线沿射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 题型14 二次函数与角度问题 41．（2025·四川泸州·模拟预测）如图（1），抛物线交轴于，两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)是抛物线第四象限上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点，使顶点，分别在轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 42．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 43．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 题型15 二次函数动点问题与面积定值 / 最值 44．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由； ②若的面积是的面积的2倍，求的值． 45．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 题型16 二次函数与圆综合 46．（2025·广东·一模）如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点，的圆心在轴上，且经过两点．若． (1)求抛物线的解析式． (2)设点在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． 47．（2024·上海杨浦·二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 48．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 题型17 二次函数含参问题 49．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 50．（2025·山东·模拟预测）已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 51．（2025·山东泰安·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； (3)若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 52．（2025·天津红桥·三模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 题型18 二次函数与折叠、旋转综合 53．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 54．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 55．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）    (1)直接写出C、F两点的坐标． (2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式． (3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值． 题型19 二次函数分段函数与实际情境压轴 56．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右作长方形，使，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求长方形与重叠部分图形的面积与之间的关系式； (4)点为的中点，连结，当所在的直线垂直的一边时，直接写出的值． 57．（2025·河南驻马店·二模）综合与实践 数学兴趣小组对无人机飞行轨迹进行数学建模探究． 如图所示，现有一架无人机在边长为6米的正方形空域内飞行．无人机从边上的点起飞（不与，重合）．飞行轨迹形成折线，将正方形沿翻折，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接，． (1)操作判断  与的关系是______，飞行路径与折线的位置关系是______，飞行路径与折线的数量关系是______． (2)性质探究  当起飞点在边上移动时：求证：的周长恒定为12米． (3)拓展应用  设米，无人机信号反射区域的面积为，求出与的函数关系式．为保证信号强度，反射区域面积需最小化，求的最小值及对应的起飞位置． 题型20 二次函数路径长、坐标最值综合 58．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 59．（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型21 二次函数新定义题型 60．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】（2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 61．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 二阶·素养进阶练 1．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． (1)求扑救点时抛物线的函数表达式； (2)成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； (3)在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线． (1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点． ①求此抛物线的解析式； ②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。 (2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 3．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）图，在平面直角坐标系中，直线交抛物线 （、为常数）于点和， 交轴于点． (1)求、的值及点的坐标； (2)如图，将抛物线向右平移个单位长度，向上平移单位长度后得到新抛物线． ①新抛物线的表达式为 ； ②以新抛物线上任意一点为圆心，为半径画，试说明始终与轴相切； (3) 如图， 在 的条件下， 为直线 上任意一点，将直线 绕着点 顺时针旋转 得到直线 ，交新抛物线．于点，点为平面直角坐标系内任意一点，当四边形为菱形时，点 的横坐标为 ． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 真●题●验●证 1．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 2．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 6．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $