第11讲 简单几何体的表面积与体积（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦简单几何体的表面积与体积核心知识点，系统梳理多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的侧面积、表面积及体积公式，延伸至球的截面性质与切接问题，构建从基础公式到综合应用的知识支架。 该资料以题型为载体，融入须弥座、折扇等传统文化与生活实例，引导学生用数学眼光观察现实，通过公式推导与变式训练培养数学思维，表格化知识体系助力数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后练习题与变式题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第11讲 简单几何体的表面积与体积 【人教A版】 模块一 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 ①求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. ②求组合体的体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 【例1】（24-25高二下·陕西榆林·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【解题思路】根据侧面积之和为底面积的2倍得到斜高和底面边长的关系，由勾股定理得到方程，求出斜高，进而求出底面积和侧面积，相加得到表面积. 【解答过程】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以， 所以， 底面积，侧面积为， 表面积． 故选：D． 【变式1.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用台体侧面积求斜高，再由斜高求台体的高，最后利用台体体积公式求体积即可. 【解答过程】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【解题思路】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【解答过程】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据棱锥与棱柱的体积公式，结合图形，可得答案. 【解答过程】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2】（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【解答过程】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·河南郑州·期中）折扇在我国有着悠久的历史．“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲)．图乙是扇形的一部分，两个圆弧所在圆的半径分别是15和36，且．若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆台的侧面展开图分别求出上下底面圆的半径，再由圆台的侧面积公式计算即可. 【解答过程】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 因为两个圆弧所在圆的半径分别是15和36，且， 所以，，圆台的母线长为， 解得， 所以圆台的侧面积为， 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【解答过程】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一下·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【解答过程】依题意，圆台侧面展开图，如图，     设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理， 于是圆台的母线cm，高cm， 表面积， 体积，ABC正确，D错误. 故选：D. 【题型3 球的表面积与体积】 【例3】（24-25高一下·河北衡水·月考）一球体的表面积为，该球体的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出球体的半径，结合球体体积公式可得结果. 【解答过程】设球体半径为，则该球的表面积为，可得， 因此，该球的体积为. 故选：B. 【变式3.1】（2026高二上·云南·学业考试）某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据球的体积公式计算即可求解. 【解答过程】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高三上·河北·月考）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设截面圆的半径为，球的半径为，根据截面圆的面积求得，利用球的截面性质求，再利用球的表面积公式求结论. 【解答过程】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一下·贵州·月考）球面上有A，B，C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则球O的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取AC的中点，连接，根据球的性质可得面ABC，利用勾股定理得球的半径，从而求得球O的体积. 【解答过程】取AC的中点，连接， 因为，，所以， 又点为AC的中点，则是直角三角形ABC外接圆的圆心， 所以面ABC， 所以球半径， 故球的体积. 故选：C. 【题型4 组合体的表面积与体积】 【例4】（2025·山东聊城·模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设数据结合圆台和圆柱的体积公式依次计算求解花口盏和盏托的体积即可得解. 【解答过程】花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 【变式4.1】（24-25高一下·北京丰台·期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可知，银杯盛酒部分的容积为半球的体积加圆柱的体积，将已知条件代入体积公式求解即可. 【解答过程】半球的体积为，圆柱的体积为， 因此银杯盛酒部分的容积为. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【解答过程】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 【变式4.3】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 【答案】(1)平方厘米． (2)立方厘米． 【解题思路】（1）根据棱柱、棱台的侧面积特征计算即可； （2）根据棱柱、棱台的体积公式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米， 则该正四棱台的侧面积平方厘米， 灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米， 故该灯柱的侧面积平方厘米． （2）由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米， 则该正四棱台的体积立方厘米． 灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米． 故该灯柱的体积立方厘米． 模块二 球的截面与球的切、接问题 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型5 球的截面问题】 【例5】（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【解答过程】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，求得的外接圆半径为，再由，求得球的半径，即可求解球的表面积． 【解答过程】因为，， 所以的外接圆半径为． 设球半径为，则， 所以， ． 故选：D． 【变式5.2】（24-25高一下·辽宁·期末）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，得到为外接球的球心，且，设，求得三棱锥的体积为，得到取得最大值，在中，利用余弦定理，求得的值，结合球的截面圆的性质，得到截面圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【解答过程】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得 ， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’  Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，结合截面圆的周长，可得，进而得到，再利用表面积公式即可求解． 【解答过程】设截面圆半径为，球的半径为， 则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为2， 根据截面圆的周长可得，得， 故， 得，所以球的表面积， 如图，，且， 则球冠的， 得所截的一个球冠表面积， 且截面圆面积为， 所以工艺品的表面积． 故选：A． 【题型6 几何体的外接球问题】 【例6】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【解答过程】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【解答过程】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【解答过程】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高一下·福建三明·期中）已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体体公式可求得结果. 【解答过程】如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则，， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，即，故该正三棱台的外接球体积为. 故选：C. 【题型7 几何体的内切球问题】 【例7】（24-25高一下·山东临沂·期中）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据多面体的体积与内切球的半径之间的关系，求内切球半径，进而利用球的体积公式求球的体积. 【解答过程】因为三棱锥的体积：，其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径. 所以 . 所以这个三棱锥内切球的体积为：（）. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·湖南·开学考试）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积. 【解答过程】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积为. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用球的体积公式求出球半径，再结合几何体的结构特征求出正方体棱长，利用等积法求出内切球半径即可得解. 【解答过程】令球的半径为，由球的体积为，得，解得， 记对角线交点为，由对称性得位于一条直线上，设正方体棱长为， 在中，，， 在中，，则，解得， 在中，，解得， 四棱锥是一个底面边长为6，高为9，侧棱长为的正四棱锥，斜高， 四棱锥的表面积， 设四棱锥的内切球半径为，则， 即，解得，则， 所以四棱锥的内切球的表面积为. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高一下·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】做出对角面，设两球半径分别为，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合体积公式即可求解. 【解答过程】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A. 【题型8 实际问题中表面积与体积的计算】 【例8】（24-25高一下·山东日照·期末）降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（    ） A．29.6mm B．46.3mm C．63.5mm D．82.2mm 【答案】A 【解题思路】作出辅助线，求出桶的深度，得到雨水的高度，进而求出雨水的体积，圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为 ，从而得到本次降雨的日降水量. 【解答过程】如图所示，cm，cm，， 过点作⊥于点，则，cm， cm， 桶的深度为cm， 故雨水的高度为cm，由三角形相似知，cm， 故cm， 雨水的体积 ， 圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为 ， 故本次降雨的日降水量是cm，故为29.6mm. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一下·福建泉州·期末）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【答案】A 【解题思路】根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数. 【解答过程】由题意可知，设香料收纳盘的高为，则收纳盘的容积为． 收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为， 所以剩余的香料粉的容积为， 因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天. 故选：A． 【变式8.2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥．已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． (1)计算该模型的体积． (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【答案】(1) (2)（元） 【解题思路】（1）首先求圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）首先求组合体的表面积，再求总费用. 【解答过程】（1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为． ， 故总费用为（元）． 【变式8.3】（24-25高一下·浙江温州·期中）在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. (1)求灯笼总体积. (2)灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据棱台与棱柱的体积公式计算即可； （2）利用等腰梯形的性质可求得正六棱台的侧棱长，进而求得侧面的斜高，进而可求得表面积. 【解答过程】（1） ， ， . （2）作出正六棱台的示意图所示： 由题意可得正方棱台的截面也是等腰梯形，过作于， 由题意可得， 所以，所以， 由侧面是等腰梯形，且上底为，下底为，腰为， 所以梯形的高为， ， ， . 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【解答过程】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·期中）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解题思路】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【解答过程】设棱台的高为，，则， ， ， 又 ， ， ，故C正确． 故选：C． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据圆锥体积和球的体积公式可得半径和高的关系，再由圆锥侧面积公式以及球的表面积公式计算可得结果. 【解答过程】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，球的半径为， 则由题意得，解得， 圆锥侧面积，球的表面积 故圆锥侧面积与球的表面积之比为． 故选：C. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据题意，结合图形，利用侧棱长和底面边长求出正四棱锥的高和斜高；再根据锥体的体积公式和等体积法求出内切球的半径；最后根据球的体积公式即可求解. 【解答过程】    如图所示：记底面的中心为，点为边的中点. 由正四棱锥的性质可知：侧面，，，为全等的等腰三角形；底面为正方形；底面，. 根据题意可知：在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为， 则， ， . 所以正四棱锥的每个侧面面积为，底面面积为. 设该四棱锥内切球的半径为.    . 根据等体积可得：， 即，即得：. 所以该四棱锥的内切球的体积为. 故选：A. 6．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【解答过程】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则 . 由图知，, 设正四棱台的斜高 . 所以正四棱台的侧面积为： . 故选：D. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【解答过程】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 8．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【解答过程】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（   ） A．共有18个顶 B．共有36条棱 C．表面积为 D．与正八面体的体积之比为8:9 【答案】BD 【解题思路】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【解答过程】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为，故C错误； 正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3， 过作平面于，连接，如下图： 因为平面，且平面，所以， 正方形中，由边长为3，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积与正八面体的体积之比为，故D正确． 故选：BD. 10．（24-25高一下·四川成都·期末）陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 【答案】BCD 【解题思路】结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A，B；对于C，根据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D，利用等体积列方程求解即得. 【解答过程】对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为： ，故A错误； 对于B，由题意，剩下几何体的体积为： ，故B正确； 对于C，如图，设的中点为，由圆柱的对称性可知，圆柱的外接球的球心即点， 设外接球的半径为，由图知，， 则圆柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，设该实心球的半径为，依题意，， 即得，则，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解题思路】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【解答过程】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积___________． 【答案】 【解题思路】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解. 【解答过程】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【解题思路】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【解答过程】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为_______. 【答案】 【解题思路】根据正四面体的体积公式和球的体积公式进行求解即可. 【解答过程】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则， 所以，大球的体积为. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 所以，所以一个小球的体积为， 故其中一个小球与大球的体积比为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【解答过程】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【解题思路】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【解答过程】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 17．（24-25高一下·辽宁·月考）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）先求出圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）先求出组合体的表面积，再求总费用. 【解答过程】（1） 如图所示，由题可知，，. 所以在中，， 所有该圆柱的体积为， 截去的圆锥的体积为， 故该模型的体积为. （2）由题可知该圆柱的侧面积为， 圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为， 故该模型的表面积为， 所以油漆的总费用为元. 18．（24-25高一下·浙江·月考）如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【解题思路】（1）根据求解即可； （2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解. 【解答过程】（1）在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． （2）长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 19．（24-25高一下·广西玉林·月考）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 【答案】(1)（） (2) 【解题思路】（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果； （2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比． 【解答过程】（1）在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则 分别取的中点，连接，过作于， 因为在正四棱台中，，， 所以， 在中，， 所以正四棱台的表面积为 （）； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 所以圆台的体积为（）， 因为正四棱台的体积为（）， 所以削去部分的体积为（）， 所以削去部分与圆台的体积之比. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 简单几何体的表面积与体积 【人教A版】 模块一 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 ①求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. ②求组合体的体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 【例1】（24-25高二下·陕西榆林·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【变式1.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【变式1.3】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2】（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·河南郑州·期中）折扇在我国有着悠久的历史．“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲)．图乙是扇形的一部分，两个圆弧所在圆的半径分别是15和36，且．若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【题型3 球的表面积与体积】 【例3】（24-25高一下·河北衡水·月考）一球体的表面积为，该球体的体积为（  ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2026高二上·云南·学业考试）某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高三上·河北·月考）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一下·贵州·月考）球面上有A，B，C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则球O的体积是（   ） A． B． C． D． 【题型4 组合体的表面积与体积】 【例4】（2025·山东聊城·模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·北京丰台·期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【变式4.3】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 模块二 球的截面与球的切、接问题 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型5 球的截面问题】 【例5】（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·辽宁·期末）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’  Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型6 几何体的外接球问题】 【例6】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一下·福建三明·期中）已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型7 几何体的内切球问题】 【例7】（24-25高一下·山东临沂·期中）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·湖南·开学考试）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一下·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 实际问题中表面积与体积的计算】 【例8】（24-25高一下·山东日照·期末）降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（    ） A．29.6mm B．46.3mm C．63.5mm D．82.2mm 【变式8.1】（24-25高一下·福建泉州·期末）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【变式8.2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥．已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． (1)计算该模型的体积． (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【变式8.3】（24-25高一下·浙江温州·期中）在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. (1)求灯笼总体积. (2)灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·期中）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（   ） A．共有18个顶 B．共有36条棱 C．表面积为 D．与正八面体的体积之比为8:9 10．（24-25高一下·四川成都·期末）陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积___________． 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 14．（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为_______. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 17．（24-25高一下·辽宁·月考）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 18．（24-25高一下·浙江·月考）如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 19．（24-25高一下·广西玉林·月考）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $