专题6 立体几何截面问题【5大核心题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

该高中数学讲义围绕立体几何截面问题，通过梳理正方体、棱柱、棱锥等几何体的截面知识构建体系，以核心原理、作图方法与技巧、规律总结为框架呈现知识脉络，明确截面边数范围、平行关系等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分题型设计典型例题与巩固练习，如“由动点分析截面形状”培养空间观念和推理能力，提供找点法、平行推移法等技巧指导，覆盖选择、填空、解答题，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学。

专题6 立体几何截面问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】作与正方体有关的截面 基础知识 核心原理 正方体截面边数范围为3~6边数等于平面与正方体棱的交点个数 截面多边形的边必为平面与正方体面的交线截面与面的交线互相平行或相交 正方体的面与棱均平行/垂直截面可利用平行传递性确定边的走向 作图方法与技巧 1找点法：确定平面与正方体棱的交点按顺序连接交点围成截面 2平行推移法：利用正方体棱的平行性过已知点作截面边的平行线找到新交点 3延长相交法：延长截面边线使其与正方体的棱或棱的延长线相交补全顶点 4分类处理：三点共面直接连两点共面一点异面用平行线补点三点异面用延长法补全 规律总结 截面为三角形时只能是锐角三角形无直角/钝角三角形 截面为四边形时必有一组或两组平行对边不可能是凹四边形 截面边数最多为6对边互相平行可截出正六边形 截面的边数由平面与正方体相交的棱的数量决定每交一条棱新增一条边 典型例题 【例题 1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【巩固练习2】（25-26高二下·广东佛山·月考）如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 【巩固练习3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 【题型2】 与棱柱有关的截面问题 基础知识 核心原理 棱柱上下底面平行侧面为平行四边形截面与上下底面的交线平行 截面平行于底面时截面与底面全等截面平行于侧棱时截面为平行四边形 截面与棱柱的n个面相交截面边数等于相交面的数量（最多为棱柱的面数） 作图方法与技巧 1平行截面法：截面平行底面时利用棱柱的相似性直接按比例画出与底面全等的截面 2侧棱平行法：截面平行于侧棱时过已知点作侧棱的平行线与上下底面相交确定截面顶点 3延长线找点法：延长截面与侧面的交线利用侧面的平行关系找到与其他棱的交点 4棱柱转化法：直棱柱可转化为长方体模型利用长方体截面规律简化作图 规律总结 截面平行底面时截面多边形与底面多边形相似边长比等于截取高度与总高度之比 截面平行于侧棱时截面为平行四边形一组对边为侧棱的平行线 截面与棱柱的所有侧面相交时截面边数等于棱柱的侧面数 截面的边必与对应的棱柱面的边平行或相交可利用线面平行性质判断边的走向 典型例题 【例题1】（25-26高二上·上海·月考）如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点. (1)求直三棱柱的体积； (2)求与平面所成角的大小； (3)在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状（不必说明画法与理由）. 【例题2】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·福建泉州·期末）（多选）已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别为的中点，若，则（   ） A． B．三棱柱的体积为 C．与所成的角的余弦值为 D．平面截三棱柱所得的截面面积为 【巩固练习3】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【题型3】与棱锥有关的截面问题 基础知识 核心原理 棱锥的侧棱交于顶点截面与侧棱的交点连线延长后必交于顶点方向 截面平行于底面时截面与底面相似相似比等于截面到顶点的距离与棱锥高的比 截面与棱锥的n个侧面相交截面边数等于相交侧面的数量（最多为棱锥的侧面数） 作图方法与技巧 1顶点延伸法：延长截面边线使其交于棱锥的顶点方向确定截面的走向 2相似比例法：截面平行底面时利用相似比计算截面边长画出与底面相似的截面 3侧棱交点法：确定平面与各侧棱的交点依次连接交点围成截面多边形 4梯形截面技巧：截面不平行底面时上下边平行可利用底面边的平行性作平行线 规律总结 截面平行底面时截面多边形与底面多边形相似面积比等于相似比的平方 截面与棱锥的三条侧棱相交时截面为三角形与四条侧棱相交时为四边形 截面不平行底面时截面为梯形（四边形）或不规则多边形必有一组平行对边 截面的边延长后必交于棱锥的顶点可利用此性质确定截面的顶点位置 典型例题 【例题1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【例题2】（24-25高一下·山东·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点． (1)证明：平面平面． (2)求PB与平面PCD所成角的余弦值． (3)记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【巩固练习2】（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中 ，且，点为棱上的动点. (1)若，求证： 平面； (2)若 平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【巩固练习3】（24-25高一下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，，M，N分别是，的中点，，． (1)求证平面； (2)若平面，求的值； (3)当时，若，，，请在图中作出四棱锥过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长． 【题型4】由动点分析截面的形状 基础知识 核心原理 动点在棱/面上运动时截面的形状随动点位置变化而改变 截面边数的变化由动点运动时平面与棱的交点数量变化决定 截面的边的平行性由动点所在的面/棱的平行关系决定 作图方法与技巧 1特殊位置分析法：取动点在起点中点终点等特殊位置画出对应截面分析形状变化 2动态跟踪法：随着动点移动逐步确定平面与棱的交点变化观察截面边数和形状的改变 3平行关系不变性：动点运动时截面中平行于固定棱/面的边始终保持平行 4边界判定法：找到截面边数变化的临界位置（如平面过某条棱时）确定形状变化的区间 规律总结 动点在棱上运动时截面边数可能在3~n之间变化对应不同的多边形形状 截面的平行对边关系通常保持不变仅边长或角度随动点位置改变 临界位置（如平面过顶点/棱）会导致截面形状突变需重点分析 截面面积/周长的最值通常出现在特殊位置（如中点端点） 典型例题 【例题1】（2025高三上·吉林长春·专题练习）（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S的面积为 D．当时，S与的交点R满足 【例题2】（24-25高一下·贵州·月考）（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，且，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为.则下列说法正确的是（   ）    A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与的交点R满足 D．当时，为六边形 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·辽宁·二模）（多选）在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（    ） A．当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为 B．若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则 C．过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为 D．存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【巩固练习3】（23-24高二下·湖北·月考）（多选）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（    ） A．当时，截正三棱柱所得截面的面积为 B．当时，截正三棱柱所得截面的面积为 C．若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为 D．若，则截正三棱柱所得截面为四边形 【题型5】与截面有关的体积计算 基础知识 核心原理 截面将几何体分割为两部分体积计算需利用截面的位置和形状结合几何体的体积公式求解 截面平行底面时可利用相似比计算小棱锥/棱柱的体积 截面为不规则多边形时可通过分割几何体分别计算各部分体积再求和 计算方法与技巧 1相似比法：截面平行底面时棱锥的体积比等于相似比的立方棱柱的体积比等于相似比 2分割法：将几何体分割为规则的棱锥/棱柱分别计算各部分体积再求和 3补形法：将截面分割后的几何体补形为完整的规则几何体用总体积减去补形部分的体积 4坐标法：建立空间直角坐标系求出截面方程利用积分或坐标法计算体积 规律总结 截面平行底面时体积计算优先使用相似比法简化计算 截面不平行底面时常用分割法或补形法将不规则几何体转化为规则几何体 截面为三角形/四边形时常结合截面面积和高利用棱锥体积公式计算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·山东日照·期末）（多选）已知正方体的棱长为1，M，P分别为，AB的中点，点N满足，设平面截正方体所得截面为，其面积为S，设该截面将正方体分成两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是（   ） A．截面可能为五边形 B．当时， C．存在，使得 D．的最大值为 【例题2】（2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·山东聊城·一模）点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______    【巩固练习2】（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【巩固练习3】（2026·湖北孝感·一模）已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（21-22高一下·河南商丘·期中）在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为．则下列命题中正确的是______． ①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形； ③当时，与的交点满足；④当时，为六边形； ⑤当时，的面积为． 5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 6．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 7．（25-26高二上·河南南阳·月考）在棱长为的正方体中，为线段上靠近的三等分点，过点、、的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为______. 8．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 9．（25-26高二上·上海·月考）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 10．（25-26高一下·安徽六安·期中）四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 三、解答题 11．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 12．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 13．（2025高三·全国·专题练习）把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积． 14．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 15．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点. (1)求直三棱柱的体积； (2)求与平面所成角的大小； (3)在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状（不必说明画法与理由）. 16．（24-25高三·全国·二轮复习）正四棱锥的棱上各有一点，其中分别为的中点，，过三点作出正四棱锥的截面（图）. $专题6 立体几何截面问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】作与正方体有关的截面 基础知识 核心原理 正方体截面边数范围为3~6边数等于平面与正方体棱的交点个数 截面多边形的边必为平面与正方体面的交线截面与面的交线互相平行或相交 正方体的面与棱均平行/垂直截面可利用平行传递性确定边的走向 作图方法与技巧 1找点法：确定平面与正方体棱的交点按顺序连接交点围成截面 2平行推移法：利用正方体棱的平行性过已知点作截面边的平行线找到新交点 3延长相交法：延长截面边线使其与正方体的棱或棱的延长线相交补全顶点 4分类处理：三点共面直接连两点共面一点异面用平行线补点三点异面用延长法补全 规律总结 截面为三角形时只能是锐角三角形无直角/钝角三角形 截面为四边形时必有一组或两组平行对边不可能是凹四边形 截面边数最多为6对边互相平行可截出正六边形 截面的边数由平面与正方体相交的棱的数量决定每交一条棱新增一条边 典型例题 【例题 1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 【例题2】（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法推出截面的形状． 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 【点睛】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 【巩固练习2】（25-26高二下·广东佛山·月考）如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 【答案】C 【详解】如图所示， ，且点靠近点，，且点靠近点， 过点作，过点作， 则，所以， 在正方体中，平面∥平面，又因为平面， 所以∥平面， 由线面平行的性质定理可得：∥， 则平面为平行四边形，且平面过、、三点， 所以过点A、P、Q的截面为平面， 因为正方体棱长为4，所以，， 则截面四边形的周长为：. 【巩固练习3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】由平面性质，作出该平面，然后求解即可. 【详解】如图，延长至，使得， 连接交于，连接交于，连接， 取的中点，上一点，使， 连接，，， 因为且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 则. 由，， 得， 则为的中点， 则， 所以. 所以平面即为所求平面， 又，， 故，， 所以，， 则在中，； 在中，； 在中，； 在中，； 在中，， 所以过点，，的平面截正方体得到的截面图形的周长为： . 【题型2】 与棱柱有关的截面问题 基础知识 核心原理 棱柱上下底面平行侧面为平行四边形截面与上下底面的交线平行 截面平行于底面时截面与底面全等截面平行于侧棱时截面为平行四边形 截面与棱柱的n个面相交截面边数等于相交面的数量（最多为棱柱的面数） 作图方法与技巧 1平行截面法：截面平行底面时利用棱柱的相似性直接按比例画出与底面全等的截面 2侧棱平行法：截面平行于侧棱时过已知点作侧棱的平行线与上下底面相交确定截面顶点 3延长线找点法：延长截面与侧面的交线利用侧面的平行关系找到与其他棱的交点 4棱柱转化法：直棱柱可转化为长方体模型利用长方体截面规律简化作图 规律总结 截面平行底面时截面多边形与底面多边形相似边长比等于截取高度与总高度之比 截面平行于侧棱时截面为平行四边形一组对边为侧棱的平行线 截面与棱柱的所有侧面相交时截面边数等于棱柱的侧面数 截面的边必与对应的棱柱面的边平行或相交可利用线面平行性质判断边的走向 典型例题 【例题1】（25-26高二上·上海·月考）如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点. (1)求直三棱柱的体积； (2)求与平面所成角的大小； (3)在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状（不必说明画法与理由）. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）结合正三角形的面积公式，根据直棱柱的体积公式求解即可； （2）根据平面平面和直棱柱的性质得为与平面所成角，连接，在直角三角形中求角即可； （3）取中点，连接，，，根据平面基本性质即可作出截面，即可得出结果. 【详解】（1）由知，故为边长为3的正三角形， 又，且为直棱柱的高， 所以直三棱柱的体积为； （2）因为平面平面， 所以与平面所成角即为与平面所成角， 连接， 由直棱柱性质可知，平面，所以为与平面所成角， 底面，则， 因为为边长为3的正三角形，且是的中点， 所以，又， 所以中， ， 所以与平面所成角为； （3）取中点，连接，，，如图. 因为，，，分别是，，，的中点， 所以且，且. 所以且，则四点共面，且四边形为梯形. 故梯形是过三点的截面. 【例题2】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】/ 【分析】取、、分别为、、的中点，分析出四边形为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱补成正方体，计算出三棱柱的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且， 在直三棱柱中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取的中点，连接、， ，，且点为的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得， 所以，、、均为等边三角形， . 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【巩固练习2】（24-25高一下·福建泉州·期末）（多选）已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别为的中点，若，则（   ） A． B．三棱柱的体积为 C．与所成的角的余弦值为 D．平面截三棱柱所得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直可证，故可判断A；利用线面垂直作出三棱柱的高，再用三棱柱体积公式计算即可判断B；利用定义作出异面直线所成角，结合余弦定理计算出角的余弦值可判断C；作图确定截面为梯形，利用公式求其面积可判断D. 【详解】对于选项A，，， 故，故，故， 而，平面， 故平面，而平面，故，故选项正确. 对于选项B，连接， 底面是边长为2的正三角形，，则， 和都是边长为等边三角形， 为中点，， 在中，利用余弦定理可得，， 过点作于点， 由上可知，平面，平面， 又平面，则， 由，，平面，可得平面， 所以就是三棱柱的高，且, 又，所以三棱柱的体积，故选项B错误. 对于选项C， 连接，在中，，利用余弦定理可得，解得， 延长至点，使，连接，则且， 即为与所成的角（或其补角）， 在中，,利用余弦定理可得，， 则在中， ，，利用余弦定理可得，故选项C正确. 对于选项D，连接， 分别为的中点，, 四点共面，则平面截三棱柱所得的截面即为梯形， ,为等腰三角形， 底边上的高，即梯形的高为， 梯形的面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 【巩固练习3】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论； （2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可； （3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值. 【详解】（1）如图： 在上任取一点，过作交于， 在上任取一点，过作交于， 由平面平面，平面平面，平面 所以：平面， 同理有平面，从而有， 平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，平面， 从而有，即平面. 从而三棱柱是直三棱柱. （2） 当时，连接延长交直线于，所以， 又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点， 过作，交于点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又，平面，平面平面， 所以平面，所以平面， 从而截面为直角梯形，， 所以， 从而直角梯形的面积为. （3） 延长交于点，过作于， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角， 由，，可知，， 若直线与平面所成角的正切值为，即， 从而，即，，从而易得， 即点为上靠近的一个三等分点，. 【题型3】与棱锥有关的截面问题 基础知识 核心原理 棱锥的侧棱交于顶点截面与侧棱的交点连线延长后必交于顶点方向 截面平行于底面时截面与底面相似相似比等于截面到顶点的距离与棱锥高的比 截面与棱锥的n个侧面相交截面边数等于相交侧面的数量（最多为棱锥的侧面数） 作图方法与技巧 1顶点延伸法：延长截面边线使其交于棱锥的顶点方向确定截面的走向 2相似比例法：截面平行底面时利用相似比计算截面边长画出与底面相似的截面 3侧棱交点法：确定平面与各侧棱的交点依次连接交点围成截面多边形 4梯形截面技巧：截面不平行底面时上下边平行可利用底面边的平行性作平行线 规律总结 截面平行底面时截面多边形与底面多边形相似面积比等于相似比的平方 截面与棱锥的三条侧棱相交时截面为三角形与四条侧棱相交时为四边形 截面不平行底面时截面为梯形（四边形）或不规则多边形必有一组平行对边 截面的边延长后必交于棱锥的顶点可利用此性质确定截面的顶点位置 典型例题 【例题1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    【例题2】（24-25高一下·山东·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点． (1)证明：平面平面． (2)求PB与平面PCD所成角的余弦值． (3)记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，最后结合所应用面面垂直判定定理证明； （2）先应用线面垂直判定定理得出平面，再结合线面角定义得出是PB与平面PCD所成角，求出余弦值即可； （3）应用线面平行判定定理得出平面进而得出平面平面， 进而得出截面为梯形，最后计算求值. 【详解】（1）证明：因为底面为菱形，所以． 又平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）取CD的中点O，连接BO，PO． 在菱形ABCD中，由，可得． 因为平面，平面，所以． 又平面，所以平面， 则∠BPO即为PB与平面PCD所成的角． 因为，所以，，， 则，即PB与平面PCD所成角的余弦值为． （3）分别取AB，PC的中点F，G，连接EF，FO，OG，EG． 因为E是棱PB的中点，所以，则E，F，O，G四点共面． 又，，所以平面． 同理可得平面，则平面平面， 故α截四棱锥P-ABCD所得截面为四边形EFOG． 所以，从而，则四边形EFOG为直角梯形． ，，， 则四边形的面积， 即α截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 【巩固练习2】（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中 ，且，点为棱上的动点. (1)若，求证： 平面； (2)若 平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)截面如图所示，. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）设为线段靠近点的三等分点，通过证明平面即可求解； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）设线段的中点，连接， 因为， 所以分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）设为线段靠近点的三等分点，连接，设，连接， 因为底面为梯形，所以，所以，即, 因为，所以， 因为又平面，平面， 所以平面， 要使 平面，则与重合，故； （3）设线段的中点，连接， 因为为棱的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，如图所示， 则，，，，， 在中，， 所以，则， 所以截面周长为. 【巩固练习3】（24-25高一下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，，M，N分别是，的中点，，． (1)求证平面； (2)若平面，求的值； (3)当时，若，，，请在图中作出四棱锥过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)作图见解析，周长为 【分析】（1）证明一：取的中点为Q，连接，，由面面平行的判定定理证明即可； 证明二：取的中点为R，过C作交于G，取中点H，连接，由（2）几何关系证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； 连接交于点O，连接，由面面平行的性质定理结合几何关系可求； （3）设为上靠近点C的三等分点，连接，，，，则四边形为所求截面，结合余弦定理计算可得. 【详解】（1）证明一：取的中点为Q，连接，， ∵，N、Q分别为、的中点；∴， ∵平面，∴平面， 又∵为的中点，∴， ∵平面，∴平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面. 证明二：取的中点为R，过C作交于G，取中点H，连接，，，则，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）连接交于点O，连接． ∵平面，平面平面，∴，∴． 又，∴，∴． （3）设为上靠近点C的三等分点，连接，，，，则四边形为所求截面． 证明过程如下：∵，∴，∴．又∵，． ∴四边形是平行四边形，∴，∴．故V、E、F、B共面， 故四边形为所求截面． ∵，，，，， 在中，∵1，∴ 故∴， 故， 所以截面周长为． 【题型4】由动点分析截面的形状 基础知识 核心原理 动点在棱/面上运动时截面的形状随动点位置变化而改变 截面边数的变化由动点运动时平面与棱的交点数量变化决定 截面的边的平行性由动点所在的面/棱的平行关系决定 作图方法与技巧 1特殊位置分析法：取动点在起点中点终点等特殊位置画出对应截面分析形状变化 2动态跟踪法：随着动点移动逐步确定平面与棱的交点变化观察截面边数和形状的改变 3平行关系不变性：动点运动时截面中平行于固定棱/面的边始终保持平行 4边界判定法：找到截面边数变化的临界位置（如平面过某条棱时）确定形状变化的区间 规律总结 动点在棱上运动时截面边数可能在3~n之间变化对应不同的多边形形状 截面的平行对边关系通常保持不变仅边长或角度随动点位置改变 临界位置（如平面过顶点/棱）会导致截面形状突变需重点分析 截面面积/周长的最值通常出现在特殊位置（如中点端点） 典型例题 【例题1】（2025高三上·吉林长春·专题练习）（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S的面积为 D．当时，S与的交点R满足 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件作出对应的截面图形，再经判断即可得解. 【详解】对于A选项：过点A，P，Q的平面与平面交于直线AH，AH交于H，如图： 平面平面，则，由等角定理知，， ，因，则，点H必在线段上(不含点D，)，截面S为四边形，A正确； 对于B选项：连，，，，如图： 因，且，得，，， 则，，是梯形，而，截面S为等腰梯形，B正确； 对于C选项：点Q与重合，取中点E，连PE，，如图： 正方体中，P为BC中点，则，且，得，有，且， 取中点F，连AF，，由，得，有，且，从而是平行四边形， ，是菱形，对角线，，S的面积为，C错误； 对于D选项：同C选项有，PQ延长线交延长线于点M，如图： 过M作交于N，交于R，连AN，则，四边形APMN为截面S， ，而，，则，D正确. 故选：ABD. 【例题2】（24-25高一下·贵州·月考）（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，且，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为.则下列说法正确的是（   ）    A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与的交点R满足 D．当时，为六边形 【答案】ABC 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误. 【详解】对A，当时，如图，分别延长AP，DC交于点S， 连接SQ并延长交于R，截面APQR为四边形，故A正确；    对B，当时，如图，截面为等腰梯形，故B正确；    对C，当时，与的交点为R，因为， 所以，则，故，故C正确；    对D，当时，由下图知，不可能为六边形，故D错误.    故选：ABC 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·辽宁·二模）（多选）在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（    ） A．当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为 B．若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则 C．过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为 D．存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形 【答案】ABC 【分析】对于A在正方体中，取的中点，连接，，，如图所示，找与平面平行的截面即可判断，对于B延长，，使，再连接，使，延长，，使，连接，使，连接，，则五边形为平面截正方体所得截面图形，利用相似三角形即可求解，对于C过点作于点，过点作交于点，即证平面，过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形为矩形，当点与点重合时，矩形的面积最大，求矩形的面积即可，对于D分别作出当点与点重合时，当点与点重合时，当在棱（除端点外）上时的截面即可判断. 【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接，，， 因为，分别为，的中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面，，故平面平面，所以即为过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形， 因为正方体 的棱长为4，所以， 所以的面积为，故A正确； 对于B，如图，延长，，使，再连接，使，延长，， 使，连接，使，连接，， 则五边形为平面截正方体所得截面图形，又， 所以，所以，故B正确； 对于C，如图，过点作于点，过点作交于点． 易得得平面，又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形为矩形， 当点与点重合时，矩形的面积最大，此时点为的中点， 所以，，矩形的面积最大为，故C正确； 对于D，由题可知，，分别是，的中点，则． 当点与点重合时，过点，，的平面截该正方体所得截面图形为矩形； 当点与点重合时，截面图形为四边形（菱形）；当在棱（除端点外）上时， 如图，作 交于点，连接并延长交延长线于点， 连接并延长交延长线于点，连接交于点，交于点， 多边形为过，，三点的截面图形，由正方体的对称性可知梯形与梯形全等， 则截面图形为六边形．综上，过，，三点的平面截该正方体所得截面图形不可能是五边形，故D错误． 故选：ABC． 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 【巩固练习3】（23-24高二下·湖北·月考）（多选）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（    ） A．当时，截正三棱柱所得截面的面积为 B．当时，截正三棱柱所得截面的面积为 C．若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为 D．若，则截正三棱柱所得截面为四边形 【答案】ABD 【分析】利用平面的基本性质画出不同对应的截面图形，结合已知判断图形形状或求它们的面积判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，为中点，取中点，连接，如图1. 因为，所以， ，所以. 正三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面，，，则平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 则为所求截面，，故A正确； 对于B，当时，与重合， 取的中点，的中点，连接，如图2， 由A选项知平面，平面，， 因为四边形为正方形，，所以， 平面，，则有平面， 则为所求截面，其面积为，故B正确； 对于C，取的中点，连接，当时，与重合，如图3， 由，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 平面，，所以平面平面， 故平面截正三棱柱所得截面为，故C错误； 对于D，若为中点，当在上（不含端点）时，即， 作出平面截正三棱柱所得截面如图4所示， 从下到上的过程中，截面为四边形，故D正确. 故选：ABD. 【题型5】与截面有关的体积计算 基础知识 核心原理 截面将几何体分割为两部分体积计算需利用截面的位置和形状结合几何体的体积公式求解 截面平行底面时可利用相似比计算小棱锥/棱柱的体积 截面为不规则多边形时可通过分割几何体分别计算各部分体积再求和 计算方法与技巧 1相似比法：截面平行底面时棱锥的体积比等于相似比的立方棱柱的体积比等于相似比 2分割法：将几何体分割为规则的棱锥/棱柱分别计算各部分体积再求和 3补形法：将截面分割后的几何体补形为完整的规则几何体用总体积减去补形部分的体积 4坐标法：建立空间直角坐标系求出截面方程利用积分或坐标法计算体积 规律总结 截面平行底面时体积计算优先使用相似比法简化计算 截面不平行底面时常用分割法或补形法将不规则几何体转化为规则几何体 截面为三角形/四边形时常结合截面面积和高利用棱锥体积公式计算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·山东日照·期末）（多选）已知正方体的棱长为1，M，P分别为，AB的中点，点N满足，设平面截正方体所得截面为，其面积为S，设该截面将正方体分成两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是（   ） A．截面可能为五边形 B．当时， C．存在，使得 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】作图说明判断A；由时截面形状并求出面积判断B；由时截面形状，结合对称性判断C；由从0变化到1的截面变化情况，得到的变化情况，求出和的两部分体积判断D. 【详解】对于A，当，即点与重合时，直线与的延长线分别交于点， 连接分别交于点，连接，得截面，截面为五边形，A正确； 对于B，当时，点是的中点，此时截面为正六边形， 其边长为，则截面的面积，B错误； 对于C，当时，由对称性知，截面分成的两部分是全等的，则体积相等，C正确； 对于D，当，即点与重合时，连接并延长交延长线于，连接， 显然是的中点，则≌，，点共线， 连接，此时截面为梯形，当从0变化到1时，截面从四边形变成五边形， 由选项C知，截面将正方体分成的两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大， 因此取最大值时对应的或，当时，记为几何体的体积， 则，，， 当时，记为几何体的体积，在选项A中，， 则，即，， ，，所以的最大值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：求解体积差的绝对值，利用特殊到一般的思想，先考虑点为的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再考虑点分别与点，点重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可. 【例题2】（2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________． 【答案】3 【分析】利用平行线作出截面图，再利用四棱锥体积转换成三棱锥体积的2倍，然后进行换顶点和底面求体积，即可求解. 【详解】 如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点）， 所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面， 所以过三点的截面为平行四边形 则， 又因为，所以 故答案为：3． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·山东聊城·一模）点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______    【答案】 / 【分析】延长交的延长线于点，可知截面为四边形；可证得为中点，得到；结合知，由此可求得；设四边形的面积为，可得，由可推导得到. 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．     ，为的中点， ≌，为的中点， 的面积. ，， 的面积为， . 设四边形的面积为， 的面积为， 五棱锥的体积为， 连接，则三棱锥的体积为， 故，， . 故答案为：；. 【巩固练习2】（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，7∶17 【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得； （2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比. 【详解】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 【巩固练习3】（2026·湖北孝感·一模）已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点Q，连接，利用基本事实4及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. （3）取中点R，根据平面性质确定较小部分几何体为三棱台，然后利用棱台体积公式求解即可. 【详解】（1）取中点Q，连接，，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 由， ， 又平面的一个法向量为 ， 平面与平面夹角为， 则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为 ； （3）取中点R，由（1）知，所以B，M，N，R四点共面， 所以四边形为梯形， 设，则平面，平面， 所以平面平面， 所以直线，所以直线，直线，直线共点S， 所以为三棱台，显然为体积较小部分， 因为，，高， 所以其体积为： . 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理可作出该截面，结合线面平行的性质定理可得截面是平行四边形，再利用线面垂直的判定以及性质可判断①；继而求得截面面积判断②；根据线面平行的性质定理可判断③. 【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作， 分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，，则， 故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形， 设M为的中点，连接， 则，，平面， 故平面，又平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为，即截面的面积为，②正确； 由于截面与侧面的交线为，且， 平面，平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，③正确. 故选：D. 3．（21-22高一下·河南商丘·期中）在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 二、填空题 4．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为．则下列命题中正确的是______． ①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形； ③当时，与的交点满足；④当时，为六边形； ⑤当时，的面积为． 【答案】①②③⑤ 【分析】设截面与交于点，则且即可判断①，当时，，与重合，截面为四边形，得即可判断②，当时，延长至，使得,连接交于，连接交于，连接，则，由即可判断③，当时，点向上移动，截面仍是如图所示的五边形，即可判断④，当时，点与点重合，截面与线段相交于的中点，求菱形的对角线长即可判断⑤. 【详解】设截面与交于点，则，且，所以． 当时，则，所以截面为四边形，且为梯形，故①为真． 当时，，与重合，截面为四边形， 所以，即截面为等腰梯形，故②为真． 当时，如图，延长至，使得, 连接交于，连接交于，连接，则， 由，可得得，故③为真． 当时，点向上移动，截面仍是如图所示的五边形，不是六边形，故④为假． 当时，点与点重合，截面与线段相交于的中点， 所以菱形的对角线长分别为和， 所以的面积为，故⑤为真． 故答案为：①②③⑤ 5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 【答案】6 【分析】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交，即为点E，首先证明是的中点，推出，即可利用三角形相似推出，得解. 【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E， 因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面， 因为M是的中点，且，所以，， 所以是△的中位线，则是的中点， 又因为N为的中点，所以， 易知，则，所以. 故答案为：6 6．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】先通过作辅助线确定截面的形状，再利用正方体棱长及勾股定理分别求出截面四边形各边的长度，最后相加即可. 【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示， 则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 棱的中点,且，在中，为中位线，， 又由题意得，且，，又，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所得截面图形的周长为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·河南南阳·月考）在棱长为的正方体中，为线段上靠近的三等分点，过点、、的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为______. 【答案】 【分析】设截面交棱于点，连接、，由面面平行的性质可知，可知截面为等腰梯形，求出该梯形的高以及上、下底的长，结合梯形的面积公式求解即可. 【详解】设截面交棱于点，连接、，如图所示， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为，由等角定理结合图形可得， 又因为，故为等腰直角三角形，且，， 易知，且，同理可得， 故四边形为等腰梯形，如下图所示： 在平面内分别作，，垂足分别为点、， 因为，，，故四边形为矩形，所以， 在和中，，，， 所以， 所以， 由勾股定理可得， 故截面面积为. 故答案为：. 8．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【分析】取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·月考）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 【答案】 【分析】连接,设，找出平面与平面的交线，通过证明可知G、H为平面EFG截正方体所得的点，设平面，通过证明可知也为平面EFG截正方体所得的点，最终得到截面，通过简单的几何关系即可求解截面周长． 【详解】    如图，连接,设， 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以，所以平面， 因为平面平面，连接GH，所以， 设平面，连接SO，则CG、OS、AH三者平行且相等， 在平面中，，，，， 所以，从而三点共线，即也在平面EFG内，连接，则截面多边形为， 易计算得，，，又根据对称性，截面多边形的周长为． 故答案为：． 10．（25-26高一下·安徽六安·期中）四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 【答案】 【分析】对棱长为3的正四面体，由分点比例得各分段边长，延长连线确定截面顶点、、、；作平行线构造等边三角形与全等、相似三角形，推导线段长度与比例，求出边长，再用面积比例作差，求得截面面积. 【详解】因为四面体ABCD的所有棱长都是3，，，. 所以. 延长交于，交于点，连接QM过作交于. 因为为边长为的等边三角形，为的中点， 所以≌，所以. 所以，过作交于点. 所以为边长为1的等边三角形. 所以，，因为，所以. 由余弦定理有 ，则 . ，即 ，即 所以. 所以 设三角形三边：    所以. 所以截面的面积. 三、解答题 11．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【详解】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 12．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）延长交于点F，连接即得到面和面的交线，接着证明为的中点即可证明，从而由线面平行判定定理即可求证平面； （2）取中点，连接，求证四点共面即可得到四边形即为所求截面，再利用题设条件求出该四边形四边长即可求解. 【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，则面，且面， 连接，则面，且面，即是面和面的交线， 取中点，因为，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点，又点为棱的中点， 所以，因为平面，在平面外， 所以平面，即平面； （2）因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则， 取中点，连接，则即，所以， 所以四点共面，则四边形即为所求截面， 因为，， 所以， 又， 所以， 所以在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长为. 13．（2025高三·全国·专题练习）把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积． 【答案】作图见解析， 【分析】取AB的中点N，通过证明平面B1NC平面AMC1可得到平面B1NC即是该截面，计算相关边长可求面积. 【详解】如图，取AB的中点N，连接B1N，NC，CB1，则截面B1NC即为所求，理由如下： ∵ANB1M，且，∴四边形ANB1M为平行四边形，∴AMB1N. 又B1N⊄平面AMC1，AM⊂平面AMC1， ∴B1N∥平面AMC1，同理，CN平面AMC1，又B1N∩CN＝N，B1N，CN⊂平面B1NC， ∴平面B1NC平面AMC1. ∵B1C＝， B1N＝， NC＝，∴B1C2＝B1N2＋NC2，∴B1N⊥NC， ∴S△B1NC＝. 14．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， 【分析】（1）利用空间垂直关系的转化可得平面，故可证； （2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长. 【详解】（1） 因为，故， 又，，由直角梯形可得必定相交， 且平面，所以平面， 而平面，故. 由结合可得， 而平面，故平面， 而平面，故. （2）取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段中点，所以， 所以，则梯形为四棱锥过点的截面， 则，，， 在中，，， 所以，则， 所以截面周长为. 15．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点. (1)求直三棱柱的体积； (2)求与平面所成角的大小； (3)在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状（不必说明画法与理由）. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）结合正三角形的面积公式，根据直棱柱的体积公式求解即可； （2）根据平面平面和直棱柱的性质得为与平面所成角，连接，在直角三角形中求角即可； （3）取中点，连接，，，根据平面基本性质即可作出截面，即可得出结果. 【详解】（1）由知，故为边长为3的正三角形， 又，且为直棱柱的高， 所以直三棱柱的体积为； （2）因为平面平面， 所以与平面所成角即为与平面所成角， 连接， 由直棱柱性质可知，平面，所以为与平面所成角， 底面，则， 因为为边长为3的正三角形，且是的中点， 所以，又， 所以中， ， 所以与平面所成角为； （3）取中点，连接，，，如图. 因为，，，分别是，，，的中点， 所以且，且. 所以且，则四点共面，且四边形为梯形. 故梯形是过三点的截面. 16．（24-25高三·全国·二轮复习）正四棱锥的棱上各有一点，其中分别为的中点，，过三点作出正四棱锥的截面（图）. 【答案】作图见解析 【分析】延长至点，使得，延长交于点，，证明与交于点，则四边形即是过三点的正四棱锥的截面. 【详解】延长至点，使得， 因为是的中点，， 所以， ， 所以，即三点共线，即与交于点， 同理，延长交于点，， 因为，所以点为的中点， 即与交于点，连接， 则四边形即是过三点的正四棱锥的截面，如图所示． $