第09讲 基本立体图形（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第09讲 基本立体图形 【人教A版】 模块一 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【解题思路】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断. 【解答过程】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确； 对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误； 对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误； 对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误. 故选：A. 【变式1.1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解题思路】利用柱体的定义求解即可. 【解答过程】根据棱柱的定义知，这4个几何体都是柱体． 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【答案】C 【解题思路】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解. 【解答过程】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误， 即A错误，反例如图： 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误， 即B错误，反例如图： 对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确； 对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的， 故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合多面体与旋转体的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，例如：正四棱柱中，相对的两个侧面互相平行，所以A不正确； 对于B中，根据棱台的定义，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以B不正确； 对于C中，根据棱锥的定义，三棱锥是由一个底面和3个侧面组成，所以一个多面体有5个面，一定不是三棱锥，所以C错误； 对于D中，根据圆锥的定义，可得以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，所以D正确. 故选：D. 【题型2 旋转体的结构特征】 【例2】（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【解题思路】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【解答过程】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【解题思路】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【解答过程】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D. 【变式2.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【答案】A 【解题思路】结合基本立体几何图形的性质即可判断． 【解答过程】对于A，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积，故A正确； 对于B，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故B错误； 对于C，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体，故C错误； 对于D，圆台的上、下底面一定平行，故D错误． 故选：A． 【变式2.3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【解题思路】根据圆锥、圆台、圆锥的结构特征逐一判断即可. 【解答过程】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D. 【题型3 空间几何体的有关计算】 【例3】（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据正六棱锥的结构特征，借助于易求得其高线长. 【解答过程】 如图，因为正六棱锥的底面边长为1， 由正六边形的结构特征可得，， 因为正六棱锥的侧棱长是2，所以， 在中，. 所以正六棱锥的高为. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长. 【解答过程】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，所以，得， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得, 故选：D. 【变式3.2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及的公式为正四棱台体积公式（其中为体积，为高，为下底面积，为上底面积）. 【解答过程】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积. 已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得. 即正四棱台的高为. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【解答过程】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D. 模块二 简单组合体 1．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 2．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型4 组合体的结构特征】 【例4】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【解题思路】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解. 【解答过程】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案. 【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①             ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【解题思路】由组合体结合简单几何体判断． 【解答过程】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成； ②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 【变式4.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据组合体特征确定是由基本空间几何体拼接，还是挖去得到的几何体. 【解答过程】图（1）是由两个圆台拼接而成的组合体； 图（2）是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体； 图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体． 【题型5 平面图形旋转形成的几何体】 【例5】（25-26高一上·北京·开学考试）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     【答案】B 【解题思路】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体即可解答． 【解答过程】四边形是矩形，， ，是长边， 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是选项中较高的圆柱体． 故选：B． 【变式5.1】（24-25高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【解题思路】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【解答过程】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【解题思路】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【解答过程】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    【变式5.3】（24-25高一·全国·随堂练习）如图所示，直角梯形分别以，，，所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．    【答案】答案见解析 【解题思路】根据旋转体的定义，以及旋转体的几何结构特征，即可求解. 【解答过程】如图（1）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱和一个同底的圆锥； 如图（2）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台挖去同上底的圆锥和一个与圆台同下底的圆锥； 如图（3）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱挖去一个同底的圆锥； 如图（2）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台.            【题型6 空间几何体的最短距离问题】 【例6】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【解答过程】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C. 【变式6.1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【解题思路】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【解答过程】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【解答过程】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一下·河北雄安·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【解答过程】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 【题型7 空间几何体的截面问题】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由球与三棱锥的各面均相切的特征，结合截面三角形的形状，对照选项进行判断. 【解答过程】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线， 且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C． 故选：C. 【变式7.1】（24-25高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【解答过程】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【解题思路】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【解答过程】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D. 【变式7.3】（24-25高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【解答过程】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 【题型8 多面体与球体内切外接问题】 【例8】（2025·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出圆锥的轴截面，设内切球的半径为R，利用三角形面积关系建立关于R的方程，解之即可求解. 【解答过程】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R， 则，所以， 又， 即， 解得，即内切球的半径为. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·四川南充·月考）已知正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，球O为其外接球，若点是正四棱锥的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】求出外接球的半径，则的最大值为. 【解答过程】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，则球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 又为球表面上的一点，点是正四棱锥的表面上的一点，， 所以的最大值为. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解. 【解答过程】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 故答案为：. 【变式8.3】（24-25高二下·湖南湘西·期末）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________．    【答案】 【解题思路】设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，设正四面体外接球的半径为是高，根据正四面体的性质，求得的长，在直角中，列出方程求得，进而求得勒洛四面体的内切球半径. 【解答过程】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：.      一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【答案】D 【解题思路】根据棱台的定义判断. 【解答过程】棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件： 一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点； 选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备，只有D正确． 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（   ） A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 【答案】C 【解题思路】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果． 【解答过程】图①不是由棱锥截得的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 故选：C． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 【答案】D 【解题思路】根据旋转体的概念，结合空间想象能力，可得问题的答案. 【解答过程】绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥. 故选：D. 4．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【解答过程】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 5．（24-25高一下·天津河西·期末）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ）    A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【解题思路】根据多面体性质即可得出结论. 【解答过程】易知三棱台截去三棱锥， 剩余部分为以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B. 6．（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将平面、平面延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线时，取最小值，结合勾股定理可求得结果. 【解答过程】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为. 故选：D. 7．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【解答过程】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B. 8．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【解题思路】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【解答过程】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【答案】ACD 【解题思路】根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确； 对于B选项，如图，平面平面， 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误； 对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确； 对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确． 故选：ACD. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】由组合体结构特征，用一个平面截几何体，根据平面不同截法判断截面轮廓，即可得答案. 【解答过程】一个圆柱被挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的截面轮廓是矩形去掉上侧一条边， 而圆锥截面的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，且三角形顶点必在矩形下侧底边中点上、抛物线顶点不可能在矩形下侧底边上，排除B,C. 故选：AD. 11．（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解. 【解答过程】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为___________. 【答案】 【解题思路】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【解答过程】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， . 故答案为：． 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是_________. 【答案】 【解题思路】首先确定截面的位置和特征，然后根据已知条件中的线段和角的关系求截面的周长即可. 【解答过程】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故答案为：. 14．（24-25高一下·四川遂宁·期末）世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为__________． 【答案】 【解题思路】先利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径. 【解答过程】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图： 正外接圆半径， 正四面体的高，令正四面体的外接球半径为， 在中，，解得， 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径， 因为点均在以点B为球心的球面上，所以， 设勒洛四面体内切球半径为， 则由图得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【答案】组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台 【解题思路】根据旋转体的定义判断即可. 【解答过程】因为平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成， 若将它绕直线l旋转形成一个组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在透明塑料制成的长方体容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图（1）（2）（3）三种形状．（阴影部分）请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据棱柱的定义和结构特征分析即可. 【解答过程】（1）是四棱柱，底面是四边形和四边形，底面也可以是四边形和四边形，底面还可以是四边形和四边形， （2）是四棱柱，底面是四边形和四边形； （3）是三棱柱，底面是和． 17．（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【解题思路】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数， （2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积. 【解答过程】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【解题思路】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【解答过程】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    19．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【解答过程】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 基本立体图形 【人教A版】 模块一 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【变式1.1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.2】（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【变式1.3】（24-25高一下·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【题型2 旋转体的结构特征】 【例2】（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【变式2.1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【变式2.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【变式2.3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【题型3 空间几何体的有关计算】 【例3】（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3.2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3.3】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 模块二 简单组合体 1．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 2．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型4 组合体的结构特征】 【例4】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【变式4.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①             ② 【变式4.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【题型5 平面图形旋转形成的几何体】 【例5】（25-26高一上·北京·开学考试）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ）    A．   B．   C．   D．     【变式5.1】（24-25高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【变式5.3】（24-25高一·全国·随堂练习）如图所示，直角梯形分别以，，，所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．    【题型6 空间几何体的最短距离问题】 【例6】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【变式6.2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一下·河北雄安·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型7 空间几何体的截面问题】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【变式7.3】（24-25高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【题型8 多面体与球体内切外接问题】 【例8】（2025·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一下·四川南充·月考）已知正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，球O为其外接球，若点是正四棱锥的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式8.2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 【变式8.3】（24-25高二下·湖南湘西·期末）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________．    一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（   ） A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 4．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津河西·期末）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ）    A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 6．（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 三、填空题 12．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为___________. 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是_________. 14．（24-25高一下·四川遂宁·期末）世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为__________． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在透明塑料制成的长方体容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图（1）（2）（3）三种形状．（阴影部分）请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面． 17．（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 19．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $