专题1.3 直角三角形（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理性质及判定、HL全等判定、勾股定理及其逆定理，以及命题与逆命题等内容，构建从基础性质到逻辑推理的递进式学习支架。 资料以知识荟萃为基础，通过6个题型讲练（含典例与变式）、中考真题及分层训练，培养学生推理能力与应用意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺，提升数学思维与解题能力。

专题1.3 直角三角形 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：直角三角形的性质及判定 1 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理 2 知识点梳理04：勾股定理的逆定理 2 题型讲练 3 题型1：直角三角形的两个锐角互余 3 题型2：锐角互余的三角形是直角三角形 7 题型3：写出命题的逆命题 11 题型4：判断是否为互逆命题 12 题型5：定理与证明 13 题型6：互逆定理 15 中考真题 16 分层训练 20 基础夯实 20 培优拔高 24 知识点梳理01：直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点梳理04：勾股定理的逆定理 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 题型1：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或， 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长（   ） A．13 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质．熟练掌握含的直角三角形是解题的关键．由，得到，从而求得，则，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等结合直角三角形的两锐角互余即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ， ，， ． （2）解： 理由： ， ， ， 又A、B、C在一条直线上，， ， ∴， ∴， ∴． 题型2：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在中，，，，D是上一点，，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等腰直角三角形和勾股定理的知识，进行作答，即可求解； 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理，得，即， ∴， 在中，由勾股定理，得； 【变式训练1】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【规范解答】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江·月考）已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 (3) 【思路点拨】本题主要考查中位线的性质定理以及勾股定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键． （1）根据中位线的判定和性质得出是的中位线，，，再由平行线的性质及各角之间的关系进行等量代换即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形． （3）取的中点G，连接，利用中位线的性质及勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图所示： ∵G、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）取的中点G，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 题型3：写出命题的逆命题 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题． 利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，原说法错误，故本选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A. 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·中考真题）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【思路点拨】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【规范解答】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是：“同位角相等，两直线平行”； 故答案为：“同位角相等，两直线平行”． 【变式训练2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则 C．对顶角相等 D．三个角都相等的三角形是等边三角形 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握命题的相关概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 先分别写出每个命题的逆命题，再逐一判断逆命题是否是假命题即可． 【规范解答】解：A、命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为：“两直线平行，同旁内角互补”，逆命题是真命题，不符合题意； B、命题“若，则 ”的逆命题为：“若，则”，逆命题是真命题，不符合题意； C、命题“对顶角相等”的逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，逆命题是假命题，符合题意； D、命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为“等边三角形的三个角都相等”，逆命题是真命题，不符合题意． 故选：． 题型4：判断是否为互逆命题 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南南阳·月考）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【规范解答】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 题型5：定理与证明 【典例精讲】（25-26八年级下·云南昭通·月考）下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【规范解答】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·课后作业）下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答． 【规范解答】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实． 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是命题与定理的区别，（1）判断正确的命题叫定理；（2）任何一个命题都有逆命题，但不一定是真命题；不是任何一个定理都有逆定理． 根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可． 【规范解答】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项说法错误，不符合题意； B、每个定理都有逆命题，不一定有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 题型6：互逆定理 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【思路点拨】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【变式训练1】（23-24八年级下·山西运城·期中）下列说法正确的有（    ） ①所有定理都是真命题    ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题     ④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题的真假、逆命题、定理及逆定理等相关命题知识．命题有真假之分，真命题的逆命题未必是真命题，假命题的逆命题也可以是真命题；根据这些知识去判断即可． 【规范解答】解：定理是真命题，故所有定理是真命题，故①说法正确； 真命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是真命题，但其逆命题是假命题，故②说法错误； 假命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是假命题，其逆命题为：若，则，此命题是假命题，故③说法错误； 并不是每个定理的逆命题都是正确的，即并不是每个定理都有逆定理，故④说法错误； 故正确的说法只有1个； 故选：A． 【变式训练2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【思路点拨】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【规范解答】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 1．（2024·全国·中考真题）如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理等逐个判定即可． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； 无法说明， 故③错误； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②， 故选：C． 2．（2024·北京顺义·中考真题）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 3．（2024·陕西汉中·中考真题）如图，中，，是的中线，已知，为过点的一条直线，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 综合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可得的度数，根据平行线的性质即可得的度数． 【规范解答】解：∵中，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 【答案】 【思路点拨】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的外角性质，熟记以上知识点是解答此题的关键． 首先根据角平分线的定义求出，由可得出，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【规范解答】解：在中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 【答案】． 【思路点拨】先在直角三角形 中，利用含 角的直角三角形的性质求出 的长，再在直角三角形 中求出 的长，最后在直角三角形 中求出 的长．本题主要考查了含 角的直角三角形的性质（在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握该性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ，，， ∴ 在 中，． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【规范解答】解：由图可知，点D为边的中点， ∵在中，， , 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，利用直角三角形斜边上的中线性质来求解B和D之间的距离即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形的性质． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出即可． 【规范解答】解：∵在中，，D是的中点．， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【思路点拨】本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系； 原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°”，根据互余角的定义，该逆命题成立． 【规范解答】解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 5．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 【思路点拨】该题考查了逆命题，逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【规范解答】解：原命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“它们相等”． 交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 6．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）“邻补角互补”的逆命题是 ，是 命题（填真或假）． 【答案】 互补的角是邻补角 假 【思路点拨】本题考查了真假命题和逆命题．先写出原命题的逆命题，再判断真假． 【规范解答】解：命题“邻补角互补”，它的逆命题是“互补的角是邻补角”，这是一个假命题； 故答案为：互补的角是邻补角，假． 7．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是 ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【思路点拨】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【规范解答】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 8．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，在中，，点D、E是边上两点，，，于点A．求、和的度数． 【答案】；； 【思路点拨】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理解答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴，； ∵，且 ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，已知是边延长线上一点，于点，交于点，，，求 (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．直角三角形两锐角互余． （1）由垂直的定义得，根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． （2）根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． （2）∵， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【规范解答】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 培优拔高 11．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等，根据等角的余角相等得到，再证明得到即可求解，利用全等三角形的性质求解线段长是解题的关键． 【规范解答】解： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 12．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查直角三角形的两个锐角互余，两点之间线段最短，勾股定理． 作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小，由直角三角形的两个锐角互余，可得，从而可得，根据勾股定理计算，即可得的最小值． 【规范解答】解：如图（1），作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小， 如图（2），此时． ∵，， ∴， ∴, 易知， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 13．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在中，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的对边平行，直角三角形两锐角互余是解题的关键， 根据平行四边形得到，结合垂直的意义得到，再由平行线的性质得到，最后根据同角的余角相等求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 14．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，则 ． 【答案】８ 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，正确运用直角三角形的性质是解题的关键．先求得，，令，则，然后代入中求出即可求解． 【规范解答】解：在中，，， ，， 令，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，若点Q在直线上，，则的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【思路点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边．分为点Q在线段上和Q在线段的延长线上两种情况，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得的长度． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ①点Q在线段上， ∵，， ∴， ∴； ②点在线段的延长线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或4． 故答案为：2或4． 16．（23-24八年级下·全国·期中）如图，的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，结论成立的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，由四边形是平行四边形，得到，，根据平分，得到，推出是等边三角形，由，得到，得到是直角三角形，于是得到，故①正确；由，得到，故②正确；根据，，且，得到，故③错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故④正确，综上即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确， ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上，结论成立的有①②④， 故答案为：①②④． 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，是的边上的高，平分，若，，则 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，减去即可得的度数． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （3）过点作于点，证明，则，求出即可． 【规范解答】（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 19．（23-24八年级下·重庆·期末）在中，，点D在边上，过点A作交BD的延长线于E，于M，且，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得到，进而得到的值，根据三角形内角和定理得到，进而得到，据此计算的度数即可； （2）过点D作于点F，根据、得到，进而证得；再根据、以及证得，进而得到，证得即可． 【规范解答】（1）解： 答：的度数为； （2）证明：过点D作于点F，如图： ， 、、 、 ． 20．（24-25八年级下·全国·期中）如图，已知在中，，于． (1)若，求的度数； (2)若，则 （用的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（）由直角三角形的性质可得，进而由三角形内角和定理即可求解； （）由直角三角形的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 直角三角形 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：直角三角形的性质及判定 1 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理 2 知识点梳理04：勾股定理的逆定理 2 题型讲练 3 题型1：直角三角形的两个锐角互余 3 题型2：锐角互余的三角形是直角三角形 4 题型3：写出命题的逆命题 5 题型4：判断是否为互逆命题 6 题型5：定理与证明 6 题型6：互逆定理 7 中考真题 7 分层训练 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点梳理04：勾股定理的逆定理 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 题型1：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长（   ） A．13 B．8 C．6 D．5 【变式训练2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型2：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在中，，，，D是上一点，，求的长． 【变式训练1】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江·月考）已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 题型3：写出命题的逆命题 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·中考真题）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则 C．对顶角相等 D．三个角都相等的三角形是等边三角形 题型4：判断是否为互逆命题 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南南阳·月考）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 题型5：定理与证明 【典例精讲】（25-26八年级下·云南昭通·月考）下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·课后作业）下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【变式训练2】（24-25八年级下·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 题型6：互逆定理 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【变式训练1】（23-24八年级下·山西运城·期中）下列说法正确的有（    ） ①所有定理都是真命题    ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题     ④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 1．（2024·全国·中考真题）如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 2．（2024·北京顺义·中考真题）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·陕西汉中·中考真题）如图，中，，是的中线，已知，为过点的一条直线，且，则的度数是 ． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 5．（2024·山东青岛·中考真题）如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 5．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是 ． 6．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）“邻补角互补”的逆命题是 ，是 命题（填真或假）． 7．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是 ． 8．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，在中，，点D、E是边上两点，，，于点A．求、和的度数． 9．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，已知是边延长线上一点，于点，交于点，，，求 (1)的度数； (2)的度数． 10．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 培优拔高 11．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在中，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，则 ． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，若点Q在直线上，，则的长为 ． 16．（23-24八年级下·全国·期中）如图，的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，结论成立的有 ．（填序号） 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，是的边上的高，平分，若，，则 18．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 19．（23-24八年级下·重庆·期末）在中，，点D在边上，过点A作交BD的延长线于E，于M，且，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 20．（24-25八年级下·全国·期中）如图，已知在中，，于． (1)若，求的度数； (2)若，则 （用的式子表示）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $