学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷01（湘教版）（范围：选修二第三章之前）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册~选修二第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）. A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. -4 D. 4 4. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6.已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，圆O：x2＋y2＝a2＋b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为(　　) A. B． C．2 D. 7. 已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 10. 已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 11. 已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则= 13. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 14. 已知直线：与直线：交于点，则最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 16. (本小题15分)记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，，求的面积. 17. (本小题15分)已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）若椭圆上存在一点（点在第一象限），点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若四边形为菱形，求满足条件的点坐标. 18. (本小题17分) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，. （1）棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值； （2）点在线段运动（包括端点，不包括端点），当二面角夹角最小时，试确定点位置. 19. (本小题17分)已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册~选修二第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）. A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. -4 D. 4 4. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6.已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，圆O：x2＋y2＝a2＋b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为(　　) A. B． C．2 D. 7. 已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 10. 已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 11. 已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则= 13. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 14. 已知直线：与直线：交于点，则最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 16. (本小题15分)记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，，求的面积. 17. (本小题15分)已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）若椭圆上存在一点（点在第一象限），点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若四边形为菱形，求满足条件的点坐标. 18. (本小题17分) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，. （1）棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值； （2）点在线段运动（包括端点，不包括端点），当二面角夹角最小时，试确定点位置. 19. (本小题17分)已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A C A A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．81 13． 14．64 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分) 【答案】（1） （2）可以认为选购车的款式与性别有关 （3）1 【详解】 （1），；（2分） （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联，（3分） 根据列联表中的数据，可得，（5分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；（7分） （3）随机抽取1人购买款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，，（11分） 因此，.（13分） 16. (本小题15分) 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由正弦定理得，， ∴，（2分） ∵，∴，（4分） ∵，∴，∴，（6分） 又，∴.（7分） （2）由余弦定理得，，即，①（9分） 因为D为的中点， 所以，则， 又，∴，②（13分） 联立①②有，解得， ∴的面积为.（15分） 17. (本小题15分) 【答案】（1） （2） 【详解】 （1）由题意可知， （2分） 解得，. （4分） 所以椭圆的标准方程为.（5分） （2）设点关于轴的对称点的坐标为. 直线的斜率为.（6分） 直线与平行，设直线的方程为. 由得， 由（点在椭圆上）， ，且，（8分） 设，，则，，（10分） 四边形为菱形，所以，所以.（11分） 即，化简可得. 将韦达定理代入可得，（13分） 化简可得， 又因为点在第一象限，所以.（15分） 18. (本小题17分) 【答案】（1）存在， （2）点在点处，与点重合 【详解】 （1）如图，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 则，，（2分） 由于，故.（3分） 设，，则， 则，要使平面， 则，（5分） 解得， 故存在点，当时，.（7分） （2）设，，则， 设平面的一个法向量为， 故，，， ， 令，则.（11分） 设平面的一个法向量为， 故，， ， 令，则，（13分） 设二面角为， ， ，（14分） 因为，所以，令， 则可化为，（15分） 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 则，则当时，最大，此时二面角夹角最小， 故点在点处，与点重合.（17分） 19. (本小题17分) 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，，所以，（2分） 易知在上单调递增，且．（4分） 则在上，在上， 从而在上单调递减，在上单调递增．（7分） （2）证明：，所以，且． 设，则，（9分） 所以在上单调递增，即在上单调递增，（10分） 由即，设 ，则在上单调递增且． 则当时，都恰有一个，使得，（12分） 且当时，当时， 因此总有唯一的极小值点．（14分） 所以，从而， 极小值 由，可得当时，即， 随增大而增大，易得． 令，则，设， ，所以在上单调递减，且，从而． 即．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 翼 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] S[A][B][C][D] 2[A][B][CI[D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][C][D 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A[B][C][D] 製 氣 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9 [A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2项（共6项） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4负（共6所） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) P A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5项（共6项） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 墙在各题且的答题区域内作鉴超出里色钻形边框限定区域的终室无效L 数学第6页（共6页 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册~选修第二册第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】，解得，， 又，. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）. A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i. 【答案】B 【详解】由，可得，所以的虚部是-2， 故选：B. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. -4 D. 4 【答案】A 【详解】因为，，且，所以，解得. 故选：A. 4. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 【答案】C 【详解】设事件B为“选出运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， ∴由全概率公式可得： ， ∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】，则，. ，则， 则. 故选：A. 6.已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，圆O：x2＋y2＝a2＋b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为(　　) A. B． C．2 D. 【答案】A 【详解】选A.设双曲线的左焦点为F′，连接MF′，不妨设|MF′|＝m，|MF|＝n，则m＞n且m－n＝2a.① 由题意知，FF′为圆O的直径，则△MFF′为直角三角形，且∠F′MF＝， 所以S△MFF′＝mn，又易知S△MFF′＝S△MNF， 所以mn＝ab，② 且有|MF′|2＋|MF|2＝|F′F|2，即m2＋n2＝(2c)2.③ ③可变形为(m－n)2＋2mn＝(2c)2， 把①②代入上式，整理得b2＝ab，所以b＝a. 所以所求双曲线的离心率e＝ ＝.故选A. 7. 已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π 【答案】D 【详解】由正方体的性质可知，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证， 又，平面，所以平面， 设，则为的中点，设， 由正方体的对称性易知为等边的中心， 则如图所示，球心在上， 设，，， 所以， 所以，， 所以， 因为球半径，即， 解得，所以，则球O表面积为. 故选：D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】的定义域为， ，所以， 所以的图象关于对称， 由，所以， 即， 由于，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 【答案】AD 【详解】A选项：，，，正确； B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误； C选项：随机变量服从正态分布，则， 若，则，则，错误； D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确. 故选：AD 10. 已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点 【答案】BCD 【详解】对于A，由是抛物线：的焦点，知，解得，所以选项A错误； 对于B，由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为135°的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即. 将代入，可得，即. 因为，是直线与抛物线C的交点，根据韦达定理，，所以选项B正确； 对于C，由抛物线的焦点弦长公式. 因为，，所以，，则. 又因为，所以，所以选项C正确； 对于D，设的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为，，， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 则，. 所以. 这说明以为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径， 所以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则= 【答案】81 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 13. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 【答案】150 【详解】根据题意可知，值班的人数为2人或者3人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故方法数为：；若人数为3，则每人值一天班，故方法数为；故总的方法有30+120=150种. 故答案为： 14. 已知直线：与直线：交于点，则最大值为 . 【答案】64 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）可以认为选购车的款式与性别有关 （3）1 【详解】 （1），；（2分） （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联，（3分） 根据列联表中的数据，可得，（5分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；（7分） （3）随机抽取1人购买款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，，（11分） 因此，.（13分） 16. (本小题15分)记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由正弦定理得，， ∴，（2分） ∵，∴，（4分） ∵，∴，∴，（6分） 又，∴.（7分） （2）由余弦定理得，，即，①（9分） 因为D为的中点， 所以，则， 又，∴，②（13分） 联立①②有，解得， ∴的面积为.（15分） 17. (本小题15分)已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）若椭圆上存在一点（点在第一象限），点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若四边形为菱形，求满足条件的点坐标. 【答案】（1） （2） 【详解】 （1）由题意可知， （2分） 解得，. （4分） 所以椭圆的标准方程为.（5分） （2）设点关于轴的对称点的坐标为. 直线的斜率为.（6分） 直线与平行，设直线的方程为. 由得， 由（点在椭圆上）， ，且，（8分） 设，，则，，（10分） 四边形为菱形，所以，所以.（11分） 即，化简可得. 将韦达定理代入可得，（13分） 化简可得， 又因为点在第一象限，所以.（15分） 18. (本小题17分) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，. （1）棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值； （2）点在线段运动（包括端点，不包括端点），当二面角夹角最小时，试确定点位置. 【答案】（1）存在， （2）点在点处，与点重合 【详解】 （1）如图，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 则，，（2分） 由于，故.（3分） 设，，则， 则，要使平面， 则，（5分） 解得， 故存在点，当时，.（7分） （2）设，，则， 设平面的一个法向量为， 故，，， ， 令，则.（11分） 设平面的一个法向量为， 故，， ， 令，则，（13分） 设二面角为， ， ，（14分） 因为，所以，令， 则可化为，（15分） 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 则，则当时，最大，此时二面角夹角最小， 故点在点处，与点重合.（17分） 19. (本小题17分)已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，，所以，（2分） 易知在上单调递增，且．（4分） 则在上，在上， 从而在上单调递减，在上单调递增．（7分） （2）证明：，所以，且． 设，则，（9分） 所以在上单调递增，即在上单调递增，（10分） 由即，设 ，则在上单调递增且． 则当时，都恰有一个，使得，（12分） 且当时，当时， 因此总有唯一的极小值点．（14分） 所以，从而， 极小值 由，可得当时，即， 随增大而增大，易得． 令，则，设， ，所以在上单调递减，且，从而． 即．（17分） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $