专题02整式乘法期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

专题08整式乘法期中复习讲义 期中复习◆重点 1. 幂的运算：重点掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的核心法则，明确运算中符号、指数的易错要点，规避运算失误。 2. 单项式运算：熟练掌握单项式与单项式的乘法、除法运算，遵循系数与字母部分分别运算的原则，确保运算规范。 3. 单项式与多项式运算：运用乘法分配律完成展开运算，重点注意运算过程中不遗漏项、符号判断准确。 4. 多项式与多项式运算：按照逐项相乘、合并同类项的步骤进行，做到不重不漏，保证同类项合并的准确性。 5. 乘法公式：熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行正向运算与逆向变形。 6. 化简求值：遵循“先化简、后代入”的规范步骤，注重运算顺序与符号规范，确保求值结果准确。 7. 易错点梳理：重点关注符号判断错误、漏乘项、指数运算失误、乘法公式结构混淆等常见问题，强化易错点规避意识。 核心题型◆归纳 题型1计算单项式乘单项式 题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3单项式乘多项式的应用 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 题型5多项式乘多项式-化简求值 题型6多项式乘多项式与图形面积 题型7多项式乘法中的规律性问题 题型8整式乘法混合运算 题型9平方差公式与几何图形 题型10运用完全平方公式进行运算 题型11求完全平方式中的字母系数 题型12完全平方式在几何图形中的应用 题型13整式的混合运算 题型14提升测试 重点知识◆梳理 知识点01同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数保持不变，指数相加。 字母表示：·=（其中m、n为正整数，a≠0） 2.关键提醒： 底数需完全一致，不可出现底数不同却误用法则的情况; 运算时仅将指数相加，切勿误算为相乘； 单独的数字或字母，可看作指数为1的幂. 知识点02幂的乘方 1.法则：幂的乘方，底数保持不变，指数相乘。 字母表示：()n=（其中m、n为正整数，a≠0） 2.关键提醒： 明确区分“同底数幂乘法”与“幂的乘方”：前者指数相加，后者指数相乘（牢记两者运算差异）； 注意符号变化规律：负数的幂的乘方，奇次幂结果为负，偶次幂结果为正（避免符号判断失误）。 知识点03积的乘方 1.法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表示：（）=·（其中n为正整数，a≠0，b≠0） 2.关键提醒： 因式包含数字、字母时，需分别进行乘方运算； 掌握法则逆用技巧：常用于简便计算(提升解题效率）。 知识点04单项式与单项式相乘 1.法则：将两个单项式的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 2.运算步骤： （1）算系数：将两个单项式的系数相乘，注意符号判断，遵循“同号得正，异号得负”； （2）算同底数幂：按照同底数幂的乘法法则计算； （3）落孤字母：只在一个单项式中出现的字母，直接写入积中，指数保持不变。 （步骤清晰，规避符号与漏项错误） 知识点05单项式与多项式相乘 1. 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （字母表示：m(a + b + c) = ma + mb + mc 2.关键提醒： 单项式的符号要乘遍多项式的每一项，不可漏乘符号； 多项式中的常数项也要参与相乘，不可忽略（切勿漏乘常数项1）。 知识点06多项式与多项式相乘 1.法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 2.关键提醒： 展开后需及时合并同类项，最终结果需化为最简形式，不可保留同类项未合并的情况； 注意符号处理，遵循“同号得正，异号得负”； 特殊形式：平方差公式、完全平方公式，需提前预习并巩固，此类题型常作为期中拓展考点，直接关联得分。 知识点07符号判断（重中之重） 1.整式乘法中，符号错误是最常见的失分点，核心遵循“同号得正，异号得负”，分两种情况重点突破，规避符号失误： （1）单项式相乘/单项式乘多项式：先判断系数的符号，再计算系数绝对值和幂的运算，避免符号与运算脱节； （2）多项式乘多项式：每一项相乘时，注意符号搭配（如负项乘负项得正，负项乘正项得负），展开后及时整理符号，避免符号混乱。 知识点08混合运算顺序（规范步骤） 1.先算幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2.再算单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘； 3.最后合并同类项，将结果化为最简形式。 知识点09化简求值（必考题型） 1.先根据整式乘法法则化简代数式，确保化简结果最简； 2.代入已知数值（注意数值符号，代入前先检查化简是否正确，避免化简错误导致后续计算失误）； 3.计算最终结果，步骤清晰。 知识点10易错点总结（避坑指南） 1.漏乘问题：单项式乘多项式、多项式乘多项式时，容易遗漏其中一项，尤其是多项式中的常数项，需重点留意； 2.符号问题：负号漏乘、多项相乘时符号判断错误，牢记“同号得正，异号得负”，避免符号失误； 3.法则混淆：混淆同底数幂的乘法与幂的乘方的指数运算规则，可通过对比记忆强化区分； 4.积的乘方漏算：漏乘数字因式的乘方，牢记“每一个因式都要乘方”； 5.化简不彻底：混合运算后未合并同类项，或合并同类项错误，确保最终结果化为最简形式。 题型解析◆精准备考 题型1计算单项式乘单项式 1．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 2．______ 【答案】 【详解】． 3．先化简：，并求出，时，代数式的值． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的化简求值，在化简过程中要注意运算顺序以及符号的改变．先算乘方，再算乘法，最后代入求出即可． 【详解】解： 当， ， 原式 题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 2．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型3单项式乘多项式的应用 1．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式法则求解判断即可． 【详解】解：． 2．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 3．已知某长方形的长为，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 【答案】周长为，面积为 【分析】先求解长方形的宽，再求解长方形的周长与面积即可． 【详解】解：由题意可得： 这个长方形的宽为， 长方形的周长为， 长方形的面积为． 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 1．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 2．已知，，均为整数，且，则的可能取值是______． 【答案】或 【分析】先根据多项式乘多项式运算法则得到对应系数关系，，再结合，均为整数分类讨论即可得到的所有可能取值． 【详解】解：，， 根据多项式相等对应系数相等可得，， ，均为整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的可能取值为或， 故答案为：或． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为0 【分析】本题考查整式的乘法运算及化简求值，核心是掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法．先依据整式乘法法则展开原式的各项，再通过去括号、合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型5多项式乘多项式-化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 2．若规定新运算：，则当时，________． 【答案】6 【分析】根据新运算定义得到，结合进行计算即可． 【详解】解： 由得：， 则． 3．若的展开式中不含和项，求的值． 【答案】36 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而得出和项的系数为零进而得出答案． 【详解】解： ， 由题意知：展开式中不含和项，则有，， 解得：，， ∴． 题型6多项式乘多项式与图形面积 1．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；② ；③；④；你认为其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】通过计算大长方形的面积（整体法）或分割成小长方形面积之和（分割法）来验证各选项是否正确． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积可以表示为，故①正确； 若将大长方形竖向分割，左右两部分宽为，中间部分宽为，高均为， ∴面积也可以表示为，故②正确； 若将大长方形横向分割，上部分高为，下部分高为，长均为， ∴面积也可以表示为，故③正确； 若将大长方形分割为6个小长方形，面积之和为，而④中给出的式子为，多了，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 2．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 【答案】10 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张． 3．一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 题型7多项式乘法中的规律性问题 1．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】利用“杨辉三角”将展开，据此解答即可． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：1，5，10，10，5，1； 的系数行：1，6，15，20，15，6，1； 即 则的展开式中，含项的系数是15． 2．观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 3．观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题干中给出的等式，即可得出规律； （2）①将原式化为，利用规律求解即可；②根据规律得到，进而得到，再进行计算即可. 【详解】（1）解：由题意可知：； （2）解：①原式 ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，. 题型8整式乘法混合运算 1．已知可得：，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】将原式变形为，，，再将其代入即可求解． 【详解】解：∵． ∴，，． ∴ ． 2．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了_____平方米． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法与整式的混合运算，核心是利用面积公式表示出扩建前后的面积，通过作差求解增加的面积． 【详解】解：∵扩建后林地为长方形，长为米，宽为米， ∴扩建后的林地面积为平方米， ∵原林地的面积为平方米； ∴增加的面积为平方米； 故答案为：． 3．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 题型9平方差公式与几何图形 1．设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，分别表示出正方形的面积和长方形的面积，通过作差比较二者大小． 【详解】`解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平方差公式，解答关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b 则阴影面积的底为 ，高为， ∴阴影面积为， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影面积为 故答案为：． 3．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； ∴验证的等式是： 故选：B． （2）解：∵ ∴当，时， 解得：． （3）解： ． 题型10运用完全平方公式进行运算 1．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 2．已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）设，则，根据得到，再化简，配方求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （2）解： ， ， 当时，有最小值； （3）解：设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 题型11求完全平方式中的字母系数 1．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 2．若，m、n均为常数，则________． 【答案】3 【分析】利用完全平方公式展开左边后，对比系数即可得到和的值，进而求出． 【详解】解：，、为常数， ， 对比多项式对应项系数可得，，， ． 3．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 题型12完全平方式在几何图形中的应用 1．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，根据题意，总面积减去正方形油画的面积即可． 【详解】解：根据题意，制作边框的面积是： ， 故选：B． 2．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 3．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 【答案】(1)需要卡片张，卡片张，卡片张 (2)要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取型卡片张 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式： （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为，则多项式是一个完全平方式，据此求解即可； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）解：设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为， ∵所有卡片可以紧密拼成一个正方形， ∴多项式是一个完全平方式， ∴， ∴或（舍去） ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）解：依题意，设长方形的边长为， ∴ 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 题型13整式的混合运算 1．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 2．___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时， 原式． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列运算中，正确的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 2．下列选项中正确的是（   ）． A． B．单项式的次数是3 C．5是单项式 D．多项式的一次项系数为2 【答案】C 【分析】本题考查单项式，多项式，单项式乘以多项式． 根据单项式和多项式的系数、次数，单项式乘多项式的运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．单项式 的次数是 ，原说法错误，不符合题意； C． 5是单项式，原说法正确，符合题意； D．多项式 的一次项系数为，原说法错误，不符合题意． 3．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 4．下列说法正确的是（     ） A．若是一个完全平方式，则a值为11 B．已知，则 C．若，则 D．已知，那么 【答案】C 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和同底数幂的除法法则，逐个验证选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵是完全平方式， ∴，解得或，故A错误； B、∵，代入， ∴，故B错误； C、∵， ∴， ∴，故C正确； D、∵，代入， ∴，解得，故D错误． 5．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断选项正误． 【详解】对选项A： ∵ =≠ ∴ A错误． 对选项B： ∵ ==≠． ∴ B错误． 对选项C： ∵ ==≠． ∴ C错误． 对选项D： ∵ ==． ∴ D正确． 6．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大、小正方形的面积得出边长，结合图形求出与的值，可判断A，B选项；根据4个长方形的面积与小正方形的面积和为大正方形的面积，可判断C选项；根据与的值，利用完全平方公式可判断D选项． 【详解】解：∵该图案的面积为64，小正方形的面积为9， ∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为3， ∴， ， ∴选项A，选项B不符合题意； ∵一个长方形的面积为，因为4个长方形的面积与小正方形的面积和为大正方形的面积， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵，， ∴，即，， ∴， ∴选项D符合题意． 二、填空题 7．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 8．如果的乘积中不含项，则m为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确展开并找出项的系数．先将展开，合并同类项后令项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 乘积中不含项， ， 解得． 故答案为：． 9．已知，则________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开等式左边，再利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，代入计算即可． 【详解】解： 而 根据多项式相等对应项系数相等，可得，， 则． 10．定义，例如．则的结果为___________ 【答案】 【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键． 根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：根据定义， ， 则， 则． 故答案为：． 11．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 12．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系________．    【答案】 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)；1 【详解】（1）解： ， 当， 时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 15．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个三角形的面积，再整理得出答案； （2）先将代数式整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， ． 16．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 17．（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】(1)， (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08整式乘法期中复习讲义 期中复习◆重点 1. 幂的运算：重点掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的核心法则，明确运算中符号、指数的易错要点，规避运算失误。 2. 单项式运算：熟练掌握单项式与单项式的乘法、除法运算，遵循系数与字母部分分别运算的原则，确保运算规范。 3. 单项式与多项式运算：运用乘法分配律完成展开运算，重点注意运算过程中不遗漏项、符号判断准确。 4. 多项式与多项式运算：按照逐项相乘、合并同类项的步骤进行，做到不重不漏，保证同类项合并的准确性。 5. 乘法公式：熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行正向运算与逆向变形。 6. 化简求值：遵循“先化简、后代入”的规范步骤，注重运算顺序与符号规范，确保求值结果准确。 7. 易错点梳理：重点关注符号判断错误、漏乘项、指数运算失误、乘法公式结构混淆等常见问题，强化易错点规避意识。 核心题型◆归纳 题型1计算单项式乘单项式 题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3单项式乘多项式的应用 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 题型5多项式乘多项式-化简求值 题型6多项式乘多项式与图形面积 题型7多项式乘法中的规律性问题 题型8整式乘法混合运算 题型9平方差公式与几何图形 题型10运用完全平方公式进行运算 题型11求完全平方式中的字母系数 题型12完全平方式在几何图形中的应用 题型13整式的混合运算 题型14提升测试 重点知识◆梳理 知识点01同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数保持不变，指数相加。 字母表示：·=（其中m、n为正整数，a≠0） 2.关键提醒： 底数需完全一致，不可出现底数不同却误用法则的情况; 运算时仅将指数相加，切勿误算为相乘； 单独的数字或字母，可看作指数为1的幂. 知识点02幂的乘方 1.法则：幂的乘方，底数保持不变，指数相乘。 字母表示：()n=（其中m、n为正整数，a≠0） 2.关键提醒： 明确区分“同底数幂乘法”与“幂的乘方”：前者指数相加，后者指数相乘（牢记两者运算差异）； 注意符号变化规律：负数的幂的乘方，奇次幂结果为负，偶次幂结果为正（避免符号判断失误）。 知识点03积的乘方 1.法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 字母表示：（）=·（其中n为正整数，a≠0，b≠0） 2.关键提醒： 因式包含数字、字母时，需分别进行乘方运算； 掌握法则逆用技巧：常用于简便计算(提升解题效率）。 知识点04单项式与单项式相乘 1.法则：将两个单项式的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 2.运算步骤： （1）算系数：将两个单项式的系数相乘，注意符号判断，遵循“同号得正，异号得负”； （2）算同底数幂：按照同底数幂的乘法法则计算； （3）落孤字母：只在一个单项式中出现的字母，直接写入积中，指数保持不变。 （步骤清晰，规避符号与漏项错误） 知识点05单项式与多项式相乘 1. 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （字母表示：m(a + b + c) = ma + mb + mc 2.关键提醒： 单项式的符号要乘遍多项式的每一项，不可漏乘符号； 多项式中的常数项也要参与相乘，不可忽略（切勿漏乘常数项1）。 知识点06多项式与多项式相乘 1.法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 2.关键提醒： 展开后需及时合并同类项，最终结果需化为最简形式，不可保留同类项未合并的情况； 注意符号处理，遵循“同号得正，异号得负”； 特殊形式：平方差公式、完全平方公式，需提前预习并巩固，此类题型常作为期中拓展考点，直接关联得分。 知识点07符号判断（重中之重） 1.整式乘法中，符号错误是最常见的失分点，核心遵循“同号得正，异号得负”，分两种情况重点突破，规避符号失误： （1）单项式相乘/单项式乘多项式：先判断系数的符号，再计算系数绝对值和幂的运算，避免符号与运算脱节； （2）多项式乘多项式：每一项相乘时，注意符号搭配（如负项乘负项得正，负项乘正项得负），展开后及时整理符号，避免符号混乱。 知识点08混合运算顺序（规范步骤） 1.先算幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2.再算单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘； 3.最后合并同类项，将结果化为最简形式。 知识点09化简求值（必考题型） 1.先根据整式乘法法则化简代数式，确保化简结果最简； 2.代入已知数值（注意数值符号，代入前先检查化简是否正确，避免化简错误导致后续计算失误）； 3.计算最终结果，步骤清晰。 知识点10易错点总结（避坑指南） 1.漏乘问题：单项式乘多项式、多项式乘多项式时，容易遗漏其中一项，尤其是多项式中的常数项，需重点留意； 2.符号问题：负号漏乘、多项相乘时符号判断错误，牢记“同号得正，异号得负”，避免符号失误； 3.法则混淆：混淆同底数幂的乘法与幂的乘方的指数运算规则，可通过对比记忆强化区分； 4.积的乘方漏算：漏乘数字因式的乘方，牢记“每一个因式都要乘方”； 5.化简不彻底：混合运算后未合并同类项，或合并同类项错误，确保最终结果化为最简形式。 题型解析◆精准备考 题型1计算单项式乘单项式 1．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 2．______ 3．先化简：，并求出，时，代数式的值． 题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若单项式和的积为，则的值为________． 3．若，则求的值． 题型3单项式乘多项式的应用 1．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 3．已知某长方形的长为，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 1．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 2．已知，，均为整数，且，则的可能取值是______． 3．先化简，再求值：，其中． 题型5多项式乘多项式-化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 2．若规定新运算：，则当时，________． 3．若的展开式中不含和项，求的值． 题型6多项式乘多项式与图形面积 1．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；② ；③；④；你认为其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 2．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 3．一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 题型7多项式乘法中的规律性问题 1．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 2．观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 3．观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 题型8整式乘法混合运算 1．已知可得：，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 2．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了_____平方米． 3．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 题型9平方差公式与几何图形 1．设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 3．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 题型10运用完全平方公式进行运算 1．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 2．已知，那么__________． 3．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 题型11求完全平方式中的字母系数 1．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．若，m、n均为常数，则________． 3．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 题型12完全平方式在几何图形中的应用 1．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 2．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 3．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 题型13整式的混合运算 1．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 2．___________． 3．先化简，再求值：，其中，． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列运算中，正确的（     ） A． B． C． D． 2．下列选项中正确的是（   ）． A．.B．单项式的次数是3 C．5是单项式 D．多项式的一次项系数为2 3．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（     ） A．若是一个完全平方式，则a值为11 B．已知，则 C．若，则 D．已知，那么 5．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则的值为______． 8．如果的乘积中不含项，则m为______． 9．已知，则________． 10．定义，例如．则的结果为___________ 11．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 12．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系________．    三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 15．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 16．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    17．（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $