4 冰淇淋盒有多大——圆柱和圆锥 第7周(周末拔尖学案)-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（五四制青岛版）

第7周 教材思考题 利用正方体与圆柱之间的关系解决问题 。典例精析 2.如图，在一个底面积为625平方厘米的正 (教材母题)一个零件 方体中，以相对的两面为底挖掉一个最大 2cm (如右图)，它的正中间有一 的圆柱。剩下的立体图形的表面积是 个圆柱形圆孔。你能算出这 多少？ 个零件的表面积和体积吗？ 3cm [解析]由题图可知，正方体 的棱长是圆柱的高。要求这个零件的表面 积和体积，也就是求正方体挖去一个圆柱后 剩下部分的表面积和体积。这个零件的表 面积是正方体的表面积减去圆柱两个底面 的面积，再加上圆柱的侧面积；这个零件的 体积等于正方体的体积减去圆柱的体积。 [答案]表面积：2÷2=1(cm)3×3×6+ 3.14X2×3-3.14×12×2=66.56(cm2) 体积：3×3×3-3.14×12×3=17.58(cm3) 3.如图所示为一个棱长为4分米的正方体 点评：解决此类问题的关键是厘清从正方体中挖 零件，它的上、下、左、右面上各有一个底 去一个圆柱后，表面积增加与减少的部分分别是 面半径为2厘米的圆柱形孔，孔深1分 什么，及体积减少的部分是什么。 米。这个零件的表面积是多少？体积是 多少？ 举一反三 1.下面是一个零件的示意图，它是由一个正 方体从前往后挖通了一个底面半径为 cf-o 2cm的圆柱形孔得到的。求这个零件的 体积。 6cm 6 cm 6cm 13 讲拍 思维创新题 求较复杂的组合图形的表面积或体积 频改 。典例精析 典例精析 例1如图所示的零件是由高都 例2如图，求直角梯形绕一条边所在的直 是1m、底面半径分别为0.5m、 线旋转一周后形成的立体图形的体积。 1m和1.5m的三个圆柱组成 的，这个零件的表面积是多少？ [解析]观察发现，零件的表面积等于大圆 6cm 9cm 柱的表面积、中圆柱的侧面积、小圆柱的侧 5cm [解析]在图中作与5cm的腰平行的虚线， 面积之和，根据圆柱的表面积、侧面积计算 将直角梯形分成直角三角形和长方形。绕 公式将数据代入计算即可。 一条边所在的直线旋转一周后，直角三角形 [答案]3.14×1.52×2+2×3.14×1.5× 绕直角边旋转形成一个底面半径是5cm、高 1=23.55(m) 是9一6=3(cm)的圆锥，长方形绕长边旋转 2×3.14×1×1=6.28(m2) 形成一个底面半径是5cm、高是6cm的圆 2×3.14×0.5×1=3.14(m) 柱。利用圆锥的体积公式、圆柱的体积公式 23.55+6.28+3.14=32.97(m2) 分别求出它们的体积，然后相加。 答：这个零件的表面积是32.97m。 点评：解题时需要观察题图，通过转化的思想明 [答案]号×3.14×5×(9-6)+3.14× 确零件的表面积由哪几部分组成，再根据圆柱的 52×6=549.5(cm3) 表面积和侧面积公式求解。 答：立体图形的体积是549.5cm3。 举一反三 点评：解题时要在观察示意图的基础上结合想 1.如图，有三个底面直径分别为2米、3米 象，发现直角梯形绕这条边所在的直线旋转一周 和4米的圆柱，每个圆柱高0.5米，这 后形成的立体图形的上部分是圆锥，下部分是圆 三个圆柱组成一个立体图形。这个立体 柱，再根据圆锥、圆柱的体积公式求解。 图形的表面积是多少平方米？ 举一反三 -3米 2.如图所示为一个直角三角形，两条直角边 2米 的长分别为3cm、4cm,斜边的长为 5cm。如果以斜边所在的直线为轴旋转 一周，求所形成的立体图形的体积。 4米 4cm 5cm 3cm 142.800×(1+20%)×(1-20%)=768(元) 800-768=32(元) 3.假设这件商品原价是100元。100×(1十 8%)=108(元)108×(1-8%)=99.36（元） 99.36100(100-99.36)÷100×100%= 0.64%降了，降了0.64% 思维创新题稍复杂的百分数应用题 1.设袋子里原来有红球x个，则白球有(104一x)个。 x×(1+37.5%)+(104-x)×(1-40%)=112 x=64104-x=104-64=40 2.设现在香菇还有x千克。x×(1一75%)= 100X(1-80%)x=80 3.10÷(30%-20%)=100(千克)100×20%= 20(千克)10÷20×100%=50%=五成 4.设原来杏有x千克，则葡萄有(290一x)千克。 80%.x+(290-x)×50%=220x=250250十 250×80%=450(千克)(290-250)×(1+ 50%)=60(千克)现在杏有450千克，葡萄有60千克 四冰淇淋盒有多大—圆柱和圆锥 第6周 教材思考题立体图形体积的比较 1.94.2÷3.14÷2=15(厘米)3.14×152= 706.5(平方厘米)706.5×62.8=44368.2（立方 厘米)62.8÷3.14÷2=10（厘米）3.14×102= 314(平方厘米)314×94.2=29578.8（立方厘米） 29578.8<44368.244368.2立方厘米=44368.2毫 升≈44升 2.圆柱的体积最大假设它们的底面周长都是 12.56厘米，高都是3.14厘米，则圆柱（圆锥）的底 面半径为12.56÷3.14÷2=2（厘米），所以圆柱的 体积是3.14×22×3.14=39.4384（立方厘米），圆 锥的体积是39,4884×号≈13.15（立方厘米）：正 方体的棱长为12.56÷4=3.14（厘米），正方体的 体积是3.14×3.14×3.14=30.959144（立方厘 米)。因为12.56÷2=6.28（厘米），所以长方体的长 和宽可以是3.15厘米和3.13厘米，则长方体的体 积是3.15×3.13×3.14=30.95883（立方厘米）。 因为39.4384>30.959144>30.95883>13.15，所 以圆柱的体积最大 3.圆柱的体积最大解析：由题意，计算可得长方 体、正方体和圆柱的底面周长都相等，且高也相等， 所以圆柱的体积最大。 综合拓展题组成圆柱问题 1.(16+16)×52=1664(cm)3.14×(16÷ 2)2×2+3.14×16×16=1205.76(cm2)1664- 1205.76=458.24(cm) 2.33.12÷(3.14+1)=8(dm)3.14×(8÷2)2× 8=401.92(dm3)401.92dm3=401.92I 解析：从题图中可以看出，涂色长方形的长是圆柱 的底面周长，则33.12dm里有(3.14+1)条圆柱的底 面直径，据此可求出圆柱的底面直径，也是圆柱的高。 第7周 教材思考题利用正方体与圆柱之间的 关系解决问题 1.6×6×6-3.14×22×6=140.64(cm3) 2.625=25×25圆柱的底面直径及正方体的棱 长是25厘米3.14×25×25=1962.5（平方厘米） 625×6=3750(平方厘米)3.14×(25÷2)2×2= 981.25(平方厘米)3750-981.25+1962.5= 4731.25(平方厘米)解析：由题意可知，正方体的 棱长是25厘米，所以圆柱的底面直径是25厘米， 且正方体的表面积一圆柱两个底面的面积十圆柱 的侧面积=剩下的立体图形的表面积。 3.2厘米=0.2分米表面积：4×4×6+3.14× 0.2×2×1×4=101.024(平方分米)体积：4× 4×4-3.14×0.22×1×4=63.4976(立方分米) 思维创新题求较复杂的组合图形的 表面积或体积 1.3.14×(4÷2)2×2+3.14×4×0.5=31.4(平 方米)3.14×3×0.5=4.71（平方米）3.14× 2×0.5=3.14(平方米)31.4+4.71+3.14= 39.25(平方米) 2.3×4÷5=2.4(cm) 3×3.14×2.42×5= 30.144(cm3)解析：先求出直角三角形斜边上的 高是3×4÷5=2.4(cm),则直角三角形绕斜边 所在直线旋转一周所得到的是两个底面半径为 2.4cm、高的和为5cm的圆锥。 五啤酒生产中的数学一比例 第8周 教材思考题根据等式写比例 1.(1)C(2)D(3)D 2.答案不唯一，如(1)1.5：0.9=5：31.5： 5=0.9:3(2)5：8=b:aa:8=b:5 3容米不唯-如0a6名：清 (2)9：6=6:4 综合拓展题求组成比例的第四项 最大或最小是多少 1×日-号2②×045=清 75 2.6×10÷5=125×6÷10=3x最大是12，最 小是3解析：若要使x最大，则要使已知的三个 数中较大的两个数6和10是这个比例的外项或内 项；若要使x最小，则要使已知的三个数中较小的 两个数5和6是这个比例的外项或内项。 30.5x÷6-6Q5×6÷-4子×6 0.5=9这个数可能是64或9 第9周 综合拓展题列比例巧解问题 1.设甲、乙两地之间的距离为x千米。 (x+25):x=号：号=100 2.设万叔叔从甲地去乙地用了x小时，测沿原路 返回用了(4.2-x)小时。6.x=8×(4.2-x) x=2.46×2.4×2=28.8(千米) 3.设当乙到达终点时，丙跑的路程为x米。 60：x=(60-10):(60-10-20)x=3660 36=24(米)解析：速度不变，每次跑的时间也相 同，那么路程之比也相同，据此可列出比例求解。 思维创新题较复杂的比例问题 青：号65小军：8÷(6-5X6=48(元 小红：48一8=40（元） 2.(1-):(1-4)=16:15 小刚：930× 16十15=480（元）小强：930-480=450（元） 16 解析：由“小刚取出本，小强取出方后，两人存裁一 样多”可知，小刚的存款×(1-)】 =小强的存 款×(1一)，据此求出小刚和小强存款的比是 (1-):(1-)=16:15,再把930元按比分 配即可。 六 快乐足球—比例尺 第10周 综合拓展题按比把图形放大或缩小的面积问题 1(96(22:13)号 2.(1)3÷2=1.5(cm)1.5×2=3(cm)4× 2=8(cm)3.14×32×8=226.08(cm3) (2)3.14×(3÷2)2×4=28.26(cm3) 226.08：28.26=8：1 3.6X4X号-8(cm）12X4X3=16(cm) 9X4X号=12(cm）(8+16)×12÷2=14(cm) 4.92:102=81:100209÷(100-81)=11(平 方厘米)11×81=891（平方厘米）解析：小圆与 大圆的直径比是9：10，则面积比是92：102= 81:100,面积增加了(100一81)份，对应增加了 209平方厘米，则1份是209÷(100一81)=11（平 方厘米)。所以小圆的面积是11×81=891（平方 厘米)。 思维创新题与行程有关的比例尺问题 1.18×40=720(千米)6+66×(1-2)=