1 完美的图形——圆 第1周(周末拔尖学案)-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（五四制青岛版）

完美的图形 一圆 第1周 教材思考题 用归纳法和转化法解决问题 典例精析 。典例精析 例1（教材母题）想一想，填一填。 例2（教材母题）涂色部分的周长和面积各 152=225 452=2025 752=( 是多少？ 252=625 552=3025 852=( 35=1225 652=( ) 952=( 你发现了什么规律？与同学交流一下。 [解析]观察题目中已知得数的几个算式： 0.8m 152=225 (1×2=2) [解析]根据题图可知，将涂色的小半圆平 252=625 (2×3=6) 移后，涂色部分的周长=大圆周长的一半十 352=1225 (3×4=12) 小圆的周长；将涂色的小半圆旋转后，涂色 452=2025 (4×5=20) 部分的面积正好是大圆面积的一半。 552=3025 (5×6=30) 答案]0.8÷2=0.4(m) 周长：3.14×0.8÷2+3.14×0.4 发现算式左边分别是15、25、35…的平方， =1.256+1.256 算式右边得数的个位上的数字都是5，十位 =2.512(m) 上的数字都是2，其他数位上的数是算式左 面积：3.14×0.42÷2 边十位上的数字与比它大1的数的积。 =3.14×0.16÷2 [答案]4225562572259025 =0.2512(m2) 我发现的规律：个位上的数字是5的数的平 方的个位、十位上的数字分别为5、2，其他数 答：涂色部分的周长是2.512m,面积是 位上的数为这个数十位上的数字与比它大1 0.2512m。 的数的积。 点评：解决此类问题，关键是找出涂色部分相当 于哪几部分的和或差，再利用圆的周长和面积公 点评：计算结果的个位上的数字、十位上的数字 很容易找出规律，关键是确定其他数位上的数的 式计算。 规律。 举一反三 P举一反三 2.求图中涂色部分的周长和面积。 1.想一想，填一填。 16×16=256 56×56=( 12 cm 26×26=676 66×66=( 36×36=1296 76×76=( 46×46=2116 86×86=( 讲拍 综合拓展题 捆扎圆柱形物体 频改 。典例精析 点评：解决此类捆扎问题时，要先计算几条孤的 把圆柱形物体分别捆成如图所示的形 长度和，再观察线段部分是由几条直径组成的 状（从底面方向看），如果接头处不计，那么 最后将孤的长度和与线段的长度和相加即可。 每组至少需要多长的绳子？你发现了什么？ 举一反三 1.如图，将3根底面半径是8cm的圆柱形 钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆2圈至少 赵 要用多长的铁丝？（接头处不计） [解析]观察上图，可以发现绳子的长度都 包括两个部分：第一部分是圆柱形物体上环 绕的曲线部分的长度，第二部分是连接两个 圆柱形物体上两点的直线部分的长度。如 下图： 2.李师傅想把3根圆木用铁丝紧紧地捆绑 +X⊕=①X+G 在一起（如图），圆木横截面的直径都是 1个圆的周长十2条直径 15厘米。捆1圈至少需要多长的铁丝？ (接头处不计) 1个圆的周长十4条直径 3.有4根同样的圆木，每根圆木横截面的周 1个圆的周长十8条直径 长都是62.8cm,用绳子将它们捆1圈（如 [答案]第一组：3.14×7+7X2=35.98(cm) 图)。如果打结处需要12cm长的绳子， 第二组：3.14×7+7×4=49.98(cm) 那么一共需要多少厘米的绳子？ 第三组：3.14×7+7×8=77.98(cm) 答：第一组至少需要35.98cm长的绳子，第 二组至少需要49.98cm长的绳子，第三组 至少需要77.98cm长的绳子。 发现：绳子的长度由1个整圆的周长和若 条直径的长度组成，且直径的条数与最外圈 圆柱形物体的个数相等。 2附：答案与解析 完美的图形 圆 四个小圆的面积之和不存在整数倍数关系 2.两人同时到达B处解析：假设三个小半圆的 第1周 直径分别是d,、d2、d3,则大半圆的直径是d,+ 教材思考题用归纳法和转化法解决问题 1.3136435657767396 d,十山.美美走的路程是xd,十xd,十 2.周长：3.14×12+2×3.14X12× 1 =56.52(cm) 4 d,=)x(d,十d,十d),淘湖走的路程是 面积3.14×12×=113.04(cm) r(d,十d,十d),所以两人走的路程相等。又因 1 综合拓展题捆扎圆柱形物体 为两人同时出发，且速度相同，所以两人同时到达 1.(2×3.14×8+8×2×3)×2=196.48(cm) B处。 2.3.14×15+15×4=107.1(厘米)解析：由题图 思维创新题用转化法解决与圆面积有关的问题 可知，铁丝紧紧地捆绑这3根圆木1圈，最左边和最 1.20÷2=10(cm)(3.14×102÷2-10×10)× 右边各有1个半圆，上面的铁丝长是2条直径，下面 4=228(cm)解析：如图，观察发现，要求这个四 的铁丝长是2条直径。根据上述分析，可得总的长 叶形的面积，可以先求出一个叶形的面积，且每个 度由1个圆的周长和4条直径的长度组成。 叶形的面积=半径是10cm的半圆的面积一正方 3.62.8÷3.14=20(cm)62.8+20×4+12= 形ABCD的面积，再乘4即可。 154.8(cm)解析：由题意可知，捆1圈的长度包 B 含1个圆的周长、4条直径的长度和打结处绳子的 长度，而1个圆的周长为62.8cm,直径为62.8÷ 3.14=20(cm),打结处绳子的长度为12cm,所以 -共需要绳子的长度为(62.8十20×4十12)cm. 20cm 第2周 教材思考题圆的周长和面积的灵活应用 2.3.14×12 360-12X10÷2=2.8(平方厘米) 509 1.(1)设四个小圆的直径分别是d1、d2、d3、d, 3.三角形AED的面积：(10+10÷2)×(10÷2)÷ 则大圆的直径是d,+d2+d3+d4。因为四个小 2=37.5(平方厘米)正方形OBED的面积： 圆的周长之和是πd,十πd2十rdg十πd4=元(d1十 (10÷2)×(10÷2)=25(平方厘米) 圆的面积： d2+d3+d),大圆的周长是π(d1+d2十d3+ d,),所以大圆的周长与四个小圆的周长之和相等 4×3.14×(10÷2)2=19.625(平方厘米)涂色 (2)设四个小圆的直径分别是1、2、3、4，则大圆的 部分的面积：37.5-25+19.625=32.125（平方厘 直径是1十2十3十4=10。因为四个小圆的面积之 米)解析：观察题图可知，涂色部分的面积为三角 和是x×[《2)+(号)+()+()门-， 形AED的面积减去正方形OBED的面积再加上 大圆的面积是元×() =25π，所以大圆的面积与 }国的面积，将数据代入即可求解。 33