5 啤酒生产中的数学——比例-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（五四制青岛版）

啤酒生产中的数学一比例 第1课时 比例的意义 翡毁 习基础进阶 比是否可以组成比例？如果可以，请写出这 个比例。 1.填一填。 0从2：81.6：04和它：吉这三个比 中，选两个比组成的比例是( )。 (2)从24的因数中挑选四个数组成的比例 中能力攀升 可以是( )。 5.下图中的四个数可以组成几个比例？把它们 (3)用10以内的两个质数和两个合数组成 写出来。（单位：cm) 的比例可以是( )。 2.(恩维过程)如图，有两块长方形草坪。 16 8 80m 40m 12 6 60m 120m 6.(说理表达)(1)写出下面两个圆的直径之比 (1)第一块草坪长与宽的比是( )。 以及周长之比，这两个比能组成比例吗？ (2)第二块草坪长与宽的比是( )。 (3)这两块草坪的长与宽的比能不能组成比 r=2厘米 例？为什么？ d=2厘米 3.下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组 成的比例写出来。 (2)写出(1)中两个圆的面积之比，这个比与 31 4:8和90：15 3:2和3：0.5 直径之比能组成比例吗？ 9:6和哈：号 0.5：0.3和0.2： 7.★在一个比例中，两个比的比值都是1.5，这 个比例的两个外项分别是12和45，那么这 个比例有几种可能？请写出来。 4.(科技发展)我国一颗人造地球卫星绕地球运 行3周约需要5.7小时，另一颗人造地球卫 星绕地球运行20周约需要38小时，两颗人 造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的 42 五啤酒生产中的数学—比例 第2课时 比例的基本性质 视批 频改 习基础进阶 能力攀升 1.填一填。 4.先写出等式，再把等式改写成比例。 (1)在一个比例里，两个外项分别是4和12， (1)35与a的积等于56与b的积。(a、b均 一个内项是8，另一个内项是( ）。 不为0) (2)在一个比例里，两个外项互为倒数，一个 内项是0.7，另一个内项是( )。 3)如果a×号-6×号a6均不为0，那么 2 a:b=( ):()。 (2)x的5倍与154的号相等。 2.选一选。 (1)根据比例的基本性质判断，下面能组成 比例的两个比是( )。 A5:号和205 B 1.2510 2:和 7 5.(算理理解)根据比例24：8=9：3回答下面 C.6:9和18：30 :5和：7 5 D. 6 9 的问题。 (2)一个数可以和3、5、15组成比例，这个数 (1)如果第一个比的前项减6，那么这个比的 不可能是( )。 后项变成几才能使比例仍成立？ A.1 B.9 C.20 D.25 (3)(数形结合)如图，三角形 a边上的高为b,c边上的高 为d(a≠c)。根据这些信 (2)如果第二个比的前项乘2，那么这个比的 息，下面的式子中，( )不成立。 后项应该怎样变化才能使比例仍成立？ A.a:c=d:b C.a:c=b:d D. bd 3.(说理表达)小丽说得对吗？为什么？用比例 6.*在比例0.5：9=2：36中，将0.5加上 的基本性质说明 2.5,并只改变其他三项中的一项，这个比例 我40秒能踢 照这样计算，你1分 就成为新的比例。请写出所有新的比例。 毽子80下。 钟能踢毽子100下。 小强 小丽 43 拔尖特训数学（青岛版五四学制）五年级下 第3课时解比例 裤賴 视批 频改 》基础进阶 它的高度与实际高度的比是1：8.5。中国 国家博物馆中的“妇好”青铜鹗尊的实际高度 1.解比例。 是多少毫米？ 月含-47 125x16 25 无=0.4：3 团能力攀升 5.(实际应用)甲、乙两车同时从相距390千米 的两地相对驶出，匀速行驶3小时后相遇。 2.填一填。 已知甲、乙两车的速度比是6：7，则甲、乙两 ①)如果a与b互为倒数，且4=6，那么 车的速度分别是多少？ x=( )0 (2)已知m:是=1：8(mm均不为02，当 m=2时，n的值是( )；当n=2时，m的 值是()。 6.如图，平行四边形甲、乙部分重叠在一起，重 3.(算理理解)根据下面的条件回答问题。 (1)0.2与4的比值和x与20的比值相等， 叠部分的面积是甲的了乙的号。已知甲的 求x的值。 面积是60m,则乙的面积是多少平方米？ (2)比例的两个外项是2和x,两个内项是 六和8，求x的值。 7.甲、乙两仓库堆放货物的质量比为3：7，甲 仓库运进9吨，乙仓库运出4吨后，堆放货物 的质量比为3：5。甲、乙两仓库原来各有货 物多少吨？ 4.(人文历史)“妇好”青铜鹗尊是商代晚期铜 器，某手艺人以中国国家博物馆中的“妇好” 青铜鹗尊为原型设计了模型，高是54毫米， 44 五啤酒生产中的数学—比例 第4课时 正比例的意义 视批 频改 习基础进阶 (1)根据已知数据把表格补充完整： (2)铁丝的质量和长度成什么比例关系？为 1.*三角形的高是5cm,先填表，再根据表中的 什么？ 数据回答问题。 底(cm) 6 16 30 面积(cm2) 15 (1)表中三角形的底和面积是( )的量， 便能力攀升 三角形的( )随着( )的变化而变化。 、7 (2)根据上表，写出两组面积和底的比，求出 4,(说理表达)已知后m=8n(mn均不为0)， 比值，并比较比值的大小。 则m与n成正比例吗？为什么？ 5.(算理理解)x和y是成正比例关系的量，请 (3)上面求出的比值表示的意义是什么？ 把表格补充完整。 1.2 18 3.2 6 8 5 (4)表中三角形的底和面积成正比例吗？ 6.圆的面积与半径成正比例关系吗？为什么？ 半径(m) 1 3 4 5 6 面积(m2)3.1412.5628.2650.2478.5113.04 2.选一选。 (1)下面表示x与y(x、y都不为0)成正比 例关系的式子为( )。 7.(操作探完)科技小组制作了一个弹簧秤，弹 A.3x-y B.x-y=4 簧的原长是8cm。弹簧的长度与所挂钩码 C.2x=1÷y D.6.x+5=y 的质量之间的关系如下表： (2)下面成正比例关系的两种量是( )。 弹簧的长度(cm) 89 1011 A.当xy=8时，x和y 钩码的质量(kg) 024 6… B.购买物品的单价和数量 弹簧伸长的长度和钩码的质量成正比例关系 C.正方形的周长和它的边长 吗？为什么？ D.圆锥的体积一定，高和底面积 3.铁丝的质量和长度之间的关系如下表： 质量(kg) 1 7 长度(m) 2.16.3 10.5 18.9 45 拔尖特训数学（青岛版五四学制）五年级下 第5课时利用正比例的图像解决问题 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.(实际应用)学校图书馆购买《故事大王》的数 3.★（数形结合）有6个相同的圆柱形杯子，里面 量与总价的情况如下表： 装着不同高度的水。 数量（本） 0 1 2 3 7 (1)填表 总价（元） 0 12 24 高度(cm) 2 4 6 8 10 12 (1)把上面的表格补充完整。 体积(cm3) 50 100 150 200 250 300 (2)根据表中的数据，在下图中描出数量和 底面积(cm2) 总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 (2)根据表格中的数据，在下图中描出高度 ↑总价（元） 与体积相对应的点，并把它们依次连起来。 72 300体积(cm 60 48 250 36 200 150 9 0 100 12345678数量（本） 50 0 (3)购买《故事大王》的总价和数量( )正 24681012高度(cm) 比例关系。（填“成”或“不成”） (3)杯子中水的高度是5cm时，水的体积是 2.(探素发现)下面是一架飞机的飞行时间和飞 ( )cm3;杯子中水的体积是275cm3时， 行距离的对应数值表。 水的高度是()cm。 飞行时 4.工厂要生产一批零件。胡师傅先做了一段时 0 1 2 3 4 间（时） 间，然后李师傅加入，两人共同完成，具体数 飞行距 0 6001200180024003000 据如下图。（两人每时生产的零件数不变） 离（千米） 零件（个） (1)在图中描出表示这架飞机的飞行距离和相 7200 对应飞行时间的点，然后把它们按顺序连起来。 飞行距离（千米） 3600 1200- 时间（时） 3000 012345678 2400 (1)胡师傅每小时生产多少个零件？ 1800 1200 600 0 ·飞行时间（时） 123456 (2)这架飞机的飞行时间与飞行距离( (2)胡师傅与李师傅每小时生产的零件个数 正比例关系。（填“成”或“不成”） 之比是多少？ (3)这架飞机飞行6小时，可以飞行( 千米；飞行5400千米，需要()小时。 46 五啤酒生产中的数学—比例 第6课时 反比例的意义 德鵡 视批 频改 习基础进阶 (3)如果每小时制作36件上衣，那么完成这 个订单一共需要多少小时？ 1.选一选。 (1)下面各式中，两种量a、b成反比例关系 的是( )。 A.ab+10=15 B.2×5=10 C.a+b=10 D.a÷b=10 团能力攀升 (2)( )一定的情况下，每平方米的涂料 4.(探索规律)看图填表，并回答问题。（每个小 用量和能粉刷的面积成反比例关系。 方格的边长表示1厘米) A.粉刷时间 B.涂料总量 C.涂料单价 D.粉刷次数 ② (3)一个非零自然数与它的倒数一定( ① 底 A.成正比例 B.成反比例 底 C.不成比例 D.无法确定 ③ 底 2.(算理理解)已知x和y成正比例，y和之成 反比例。请把下表填写完整。 图形 ① ② ③ 底（厘米） 120 180 240 高（厘米） y 2 5 面积（平方厘米） 8 我发现：( )一定，底和高成 3.某服装厂接到一个订单，每小时制作的上衣 ( )比例。 数量与所需的时间如下表： 5.(生话体验)给一个房间的地面铺方砖，如果 每小时制作的数量（件） 9 12 18 24 用每块面积为9平方分米的方砖来铺，那么 所需的时间（时） 80 60 40 30 需要160块。如果用每块面积为36平方分 (1)这个订单要求一共制作多少件上衣？ 米的方砖来铺，那么需要多少块？如果需要 方砖的数量是90块，那么每块方砖的面积是 多少平方分米？请算一算，将下表填写完整。 每块方砖的面积（平方分米） 9 36 (2)如果用a表示每小时制作的上衣数量，t 方砖的数量（块） 160 90 表示所需的时间，k表示订单总量，那么a和t 所需方砖的数量与每块方砖的面积是否成反 成什么比例关系？请写出关系式。 比例？ 47 拔尖特训 数学（青岛版五四学制）五年级下 第7课时 练习课 翡毁 中能力攀升 否成正比例，并说明理由。 1.观察下面的表格并填空。 (1)一辆自行车行驶的路程和车轮转的圈数 如下表。 (2)300元可以购买多少米这种丝线？购买 圈数 10 20 30 40 50 35米这种丝线需要多少元？ 行驶的路程(m) 15.731.447.162.878.5 表中行驶的路程随( )的变化而变化， ( )和( )两种量成( )比例关系。 (2)不同的自行车行驶同一段路程，自行车 因思维拓展 车轮的直径和车轮转的圈数如下表。 4.(数形结合)星期天，小英从家出发去少年宫 车轮直径(m) 0.20.4 学画画。她刚走不久，妈妈发现小英忘了带 0.5 0.8 圈数 500 250 200 125 画笔，于是出发去追小英（妈妈追上小英时， 100 小英还未到达少年宫)。下面的图像表示两 表中( )随着( )的变化而变化， 人行走的时间和路程。 ( )和( )两种量成( )比例关系。 ↑路程（米） 小英 妈妈 2.判断下面各题中的两种量是否成比例。成正 比例关系的画“√”；成反比例关系的画“X”; 不成比例关系的画“○”。 (1)典典看《鲁滨逊漂流记》的天数和平均每 23456789101112时间（分） 天看的页数。 ( (1)小英走的路程和时间是否成正比例？ (2)小明做30道应用题，做对的道数和做错 的道数。 ) (3)把一根绳子平均分成若干段，每段的长 度与段数。 (2)照这样的速度，妈妈出发多长时间后可 (4)等边三角形的边长与周长。 ( 以追上小英？ (5)书的总本数一定，按各包本数相等的规 定打包书，包数与每包的本数。 ( 3.(地域特色)“邢氏刺绣”是河北省级非物质文 化遗产项目。某同学在练习时需要购买一种 5.*(推理意识)有A、B、C三个相关联的量，并 丝线，丝线的长度和应付金额如下表： =C(A、B、C均不为0)。当A一定时， 长度（米） 01234 5 B和C成( )比例关系；当B一定时，A 应付金额（元）024487296120… 和C成( )比例关系；当C一定时，A和 (1)判断购买这种丝线的长度和应付金额是 B成( )比例关系。 48 五啤酒生产中的数学—比例 第8课时 正比例的应用 德鵡 视批 频改 习基础进阶 过吃猕猴桃摄入维生素C,则大约需要吃多 少克猕猴桃？ 1.(科技生话)某社区在生活垃圾分类中引入机 器人进行可回收物的分拣工作，每台机器人 5分钟可以分拣350件物品。照这样计算， 15分钟它可以分拣多少件物品？（用比例解） 团能力攀升 5.小马骑自行车从家到书店，前5分钟骑行了 800米。照这样的速度，他继续骑行15分钟 才到达书店。小马家和书店相距多少米？ 2.*如图所示为王老师在电脑上下载一份文件 的进度，下载这份文件已经用了16分钟。照 这样的速度，王老师下载完这份文件需要多 6:一棵树的生长时间与其高度的关系如图所示。 少分钟？ 当这棵树生长3年时，高2.7米，则当这棵树 生长9年时，高多少米？ 已完成64% 12高度（米） 9 2.1 1015 生长时间（年） 3.(生话应用)李老师将手机相机拍摄的照片的 长与宽的比设置为16：9，如果一张照片打 印出来后宽为40.5厘米，那么这张照片的长 7.小明用蜡烛做实验的情况如图所示，蜡烛原 为多少厘米？ 来的长度是多少厘米？（蜡烛每分钟燃烧的 长度相同) 14厘米 11厘米 燃烧5分钟时 燃烧11分钟时 4.(学科融合)100克猕猴桃中的维生素C含量 约是60毫克，一个中等大小的猕猴桃约重 150克，而一个成年人每天摄入维生素C的 量要达到90毫克。若一个成年人一天只通 49 拔尖特训 数学（青岛版五四学制）五年级下 第9课时 反比例的应用 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.选一选。 4.(生活体验)某图书馆免费借阅图书的期限为 (1)某助学基金会要用一笔钱为学校购买体 10天，10天后按每天0.5元收取延时服务 育用品。如果只买足球，那么可以买30个： 费。楠楠借了一本故事书，若每天看26页， 如果只买篮球，那么可以买x个。下面的式 则15天可以全部看完。 子中，正确的是( (1)请你算一算，楠楠每天至少看多少页，才 能准时归还而不必交延时服务费？ 40元 80元 A.30x=80+40 B.40x=80 C.40x=80×30 D.40X30=80x (2)(生话应用)某快递公司运输一批快递， (2)若最后楠楠交了1.5元的延时服务费， 若用载质量为8吨的车辆运输，则需要 则她每天看多少页？ 15辆；若换用载质量为10吨的车辆，则需要 ()辆。 A.10 B.12 C.14 D.16 2.(市政建设)铺设一段轻轨，工程队原计划每 天铺设400米，16天可以铺完。实际每天只 5.某小学买回甲、乙两种篮球共100个，已知甲 铺设320米，实际需要多少天铺完？ 种篮球每个30元，乙种篮球每个20元，且买 铺设轻轨的总米数一定，每天 甲、乙两种篮球所用的钱数一样多。甲、乙 铺设的米数与天数成( )比 两种篮球各买了多少个？ 例，可以列方程解答。 6.星星校服厂生产一批校服，原计划每天生产 3.装修一间客厅，用边长为8分米的方砖铺地， 150套，30天可以完工。由于要加快进度，实 需要75块。如果改用边长为5分米的方砖 际每天比原计划多生产20%。实际可提前 铺地，那么需要多少块？ 多少天完工？ 50 五啤酒生产中的数学—比例 第10课时 我学会了吗 视批 频改 中能力攀升 依次连接起来。 1填一填。 ↑数量（个） 120 100 (1)已知m、n均不为0，当m:3=5:n时， 80 60 m和n成( )比例关系；当m:3=n:5 40 时，m和n成( )比例关系。 20 0 2 3456时间（时） (2)有3、6、10三个数，再添上( )可组成 (3)该工厂生产720个纸箱需要()小 比例，组成的比例是( )。 时，24小时可以生产( )个纸箱 (3)一个比例中，两个外项互为倒数，一个内 项是最小的质数，另一个内项是( )。 ☒思维拓展 (4)当5a=6b(a、b均不为0)时，a:b的比 4.(生话应用)一列火车从A市开往C市，晚上 值为()，a与b成( )比例。 10时出发，第二天凌晨1时到达B市，A市 2.(航天科技)2025年4月24日17时17分，“神 到B市的铁路大约长420千米。按照这样的 舟二十号”载人飞船在酒泉卫星发射中心成 速度，火车在第二天早上7时可到达C市。 功发射，开启星际旅程。火箭的推进剂通常 B市到C市的铁路大约长多少千米？（不计停 由燃料和氧化剂组成。请你根据图示写出比 靠时间) 例，求出未知数。 ⊙A市 OB市 某种推进剂由燃料 某次任务携带x 和氧化剂约按3：5 吨燃料和275吨 混合而成。 氧化剂。 ⊙C市 5.(思维过程)两个互相啮合的齿轮，它们在同 一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总 齿数是相同的。 (1)大齿轮有40齿，小齿轮有12齿，如果大 3.某工厂生产纸箱的时间与数量如下表： 齿轮每分钟转动150周，那么小齿轮每分钟 时间（时） 0 1 2 345 6 转动多少周？ 数量（个） 0 204060 80100120 (1)判断该工厂生产纸箱的时间与数量是否 成正比例，并说明理由。 (2)大齿轮的半径是2分米，小齿轮的半径 是8厘米。如果大齿轮每分钟转动200周， 那么小齿轮每分钟要转动多少周？ (2)根据表中的数据，在图中描出该工厂生 产纸箱的时间与数量对应的点，再把这些点 517.56.52÷1.5=37.68(cm)37.68÷3.14÷2= 6(cm)3.14×62×(2+1)=339.12(cm2) 解析：底面积不变，高增加1.5cm,表面积增加 56.52cm2,所以底面周长是56.52÷1.5= 37.68(cm),底面半径是37.68÷3.14÷2= 6(cm),底面积是3.14×62=113.04(cm)。因为 底面积与侧面积相等，所以圆柱表面积等于底面积 的(2+1)倍。 8.50.24÷4=12.56(cm)12.56÷3.14÷2 2(cm)3.14×22=12.56(cm)12.56×12.56≈ 158(cm3)解析：圆柱底面周长和高相等，说明圆 柱侧面展开是正方形。高缩短4cm,表面积减少 50.24cm,所以底面周长是50.24÷4=12.56(cm), 底面半径是12.56÷3.14÷2=2(cm)。最后根据 圆柱的体积公式求解。 9.100×10÷(300-100)=5(厘米)解析：因为 下降的水的体积等于提起的高10厘米的圆柱形铁 棒的体积，所以先根据“圆柱的体积=底面积×高” 求出高10厘米的铁棒的体积，再除以圆柱形容器与 铁棒的底面积之差，就可以求出水面下降的高度。 10.3.14×302×8=22608(立方厘米)22608÷ (3.14×502-3.14×30)=4.5(厘米)8+4.5= 12.5(厘米)解析：先算出高8厘米的铁棒的体 积，再除以圆柱形容器与铁棒的底面积之差，求出 水面下降的高度，最后加上8厘米，即可求出露出 水面的铁棒被浸湿部分的高度。 11.(3.14×62-3.14×42)×6.4÷(3.14×4)= 8(厘米)解析：解决本题的关键是明确下降部分 水的底面积是圆柱形容器与铁棒的底面积之差。 先求出下降部分水的体积，再除以铁棒的底面积， 即可求出铁棒被提起的高度。 12.圆柱的高：圆锥的高=2：1 4.2×2=8.4(厘米)4.2÷2=2.1（厘米） 五 啤酒生产中的数学—比例 讲拍 第1课时比例的意义 解照 视批 频改 12:8=：号（或：3-2：8） (2)答 案不唯一，如1：2=6：12(3)答案不唯一，如 2：3=4：6 2.(1)60:40(2)120:80 (3)能组成比例因为比值相等 3第一组和第三组月：日-901590：15 111.1 3:89669609=9:6 4.可以3：5.7=20：38（或20：38=3：5.7） 5.8个12：16=6：816：12=8：66：8= 12:168:6=16:1216:8=12:68:16= 6:1212:6=16:86:12=8:16 6.(1)2：(2×2)=2：4(3.14×2)：(2× 3.14X2》=6.28:12562:4=号 6.28： ·这两个比能组成比例 (2)[3.14×(2÷2)2]：(3.14×22)=3.14: 12.56814:12,56=号≠号这个比与直 径之比不能组成比例解析：分别写出两个圆的直 径之比、周长之比及面积之比，并求出比值，再根据 比值是否相等判断它们能否组成比例。 7.两种12：8=67.5：4545：30=18：12 解析：假设第一个外项为12，第二个外项为45。根 据“比的后项=前项÷比值”求出第一个内项为 12÷1.5=8;再根据“比的前项=后项×比值”求出 第二个内项为45×1.5=67.5：然后根据题意写出 比例。求另一个比例的方法相同。 知识归纳》 比的各部分之间的关系 前项÷后项=比值，后项=前项÷比值， 前项=后项X比值。 讲拍 第2课时 比例的基本性质 解照 视批 频改 1.w629 (3)109解析：逆用比例的基本性质，把a、b分 看作比例的外项和内项，写出比例a:b=3争 子化筒得a6=10:0, 2.(1)B(2)C (3)C解析：同一个三角形，用两种方法计算其面 积，结果相等，即ab÷2=cd÷2,所以ab=cd。再 用比例的基本性质把各选项中的比例式转化为乘 积式，比较得出正确答案。 3.不对因为1分=60秒，80×60=4800,40× 100=4000,4800≠4000，所以80：40和100：60 不能组成比例。所以小丽说得不对 4.(1)35a=56b答案不唯一，如35：56=b:a (2)5x=154×号 答案不唯一，如5：154= :z 5 5.(1)(24-6)×3÷9=6 (2)(9×2)×8÷24=66=3×2这个比的后项 应该乘2才能使比例仍成立 解析：根据比例的基本性质，列式求解即可。 6.0.5+2.5=33:54=2:363:9=12:36 3：9=2:6解析：如果改变第一个内项，那么有 3：()=2：36,根据比例的基本性质，可知 ( )里的数是3×36÷2=54；如果改变第二个 内项，那么有3：9=()：36，()里的数是 3×36÷9=12;如果改变第二个外项，那么有3： 9=2：( ),()里的数是9×2÷3=6。 方法归纳>》 用分类讨论法解决问题 解决本题时，先求出变化的项，再分别考 虑其他变化的项，然后根据比例的基本性质， 求出其他变化的项，最后写出比例。 讲拍 第3课时解比例 解照 视批 频改 1x=12x=80x=0.4x=8 2.(1)0.25(2)6416 3.(1)0.2:4=x:20x=1 2)2x=0×8= 4.设“妇好”青铜鹗尊的实际高度是x毫米。 54:x=1:8.5x=459 5.设甲车的速度是6.x千米/时，则乙车的速度是 7x千米/时。6：(6+7)=(6.x×3):390 x=106.x=607x=70 6寻甲=号乙甲：乙=12：5设乙的面积是 5 xm。60:x=12:5x=25解析：根据题 意，可知甲的百积X号乙的写农× 5,则甲的面 3.1 积：乙的面积=亏：4=12：5，据此列比例解答。 7.设甲仓库原来有货物3x吨，则乙仓库原来有货 物7x吨。(3.x十9)：（7x-4)=3:5x=9.5 3x=28.57x=66.5解析：设甲仓库原来有货 物3x吨，则乙仓库原来有货物7x吨。甲仓库原 来的货物加上9吨与乙仓库原来的货物减去4吨 的质量比为3：5，据此列比例解答即可。 讲拍 第4课时正比例的意义 解照 视批 频改 1.204075(1)相关联面积底(2)答 案不唯一，如15：6=2.520：8=2.52.5=2.5 (3)比值表示三角形高的一半(4)成正比例 知识归纳》 正比例的意义 两个相关联的量中，一个量会随另一个量 的变化而变化，且这两个量相对应的两个数的 比值一定，这两个量就成正比例。 2.(1)A(2)C 3.(1)514.79(2)成正比例关系因为铁 丝的质量和长度的比值一定 4.m与n成正比例因为m与n是两个相关联 的量，且由石m=名，得mn 号比值定 解折：根据6m=名0，可家出m与刀的比位是 个定值，所以m与n成正比例。 5.901.616 3 解析：根据表格中已知的数 据求出x与y的比值，然后利用这个比值和比中 的一个数求出表格中缺少的数。 6.不成正比例关系3.14：1=157：5012.56： 2=157:2528.26：3=471：50由此可得，圆 的面积与半径的比值是变化的，所以圆的面积与半 径不成正比例关系 7.成正比例关系因为弹簧伸长的长度：钩码的 质量恒为0.5解析：弹簧的长度是8cm,钩码的 质量是0kg;弹簧的长度是9cm,即弹簧伸长9 8=1(cm),钩码的质量是2kg;弹簧的长度是 10cm,即弹簧伸长10一8=2(cm),钩码的质量是 4kg;弹簧的长度是11cm,即弹簧伸长11-8= 3(cm),钩码的质量是6kg。因为1：2=2：4= 3：6=0.5,所以弹簧伸长的长度和钩码的质量成 正比例关系。 第5课时 利用正比例的图像 讲拍 解决问题 频改 1.(1)366084 (2) ↑总价（元） 84 72 60 48 36 24 12 0. 12345678数量（本） (3)成 2.(1) ↑飞行距离（千米） 3600 3000 2400 1800 1200 600 04 飞行时间（时） 123456 (2)成(3)36009 3.(1)252525252525解析：根据“体 积÷高=底面积”即可求解。 (2) 30 ↑体积(cm) 250 200 150 1 50 0 24681012高度(cm) 解析：找到高度与体积相对应的点，描出点，然后 连线。 (3)12511 方法归纳》 用数形结合法解决问题 解决和正比例图像有关的实际问题时，需 要观察图像中点的位置与相应数值的一一对 应关系，通过点的位置确定对应数值或通过数 值找到对应的点。 4.(1)1200÷2=600(个) (2)7200-600×8=2400(个)2400÷(8-2)= 400(个)600：400=3：2解析：先求李师傅每 小时生产的零件数，根据题图可知，胡师傅(8一2)小 时生产的零件数为7200一600×8=2400（个），所以 李师傅每小时生产2400÷(8一2)=400（个），然后求 胡师傅与李师傅每小时生产的零件个数之比即可。 讲拍 第6课时反比例的意义 解照 视批 频改 1.(1)A(2)B(3)B 120 180 240 300 360 2 3 4 5 6 12 8 6 4.8 3.(1)9×80=720(件) (2)成反比例关系 at=k(一定) (3)720÷36=20(时) 4.3612421666三角形的 面积反 每块方砖的面积（平方分米） 9 36 16 方砖的数量（块） 160 40 90 成反比例解析：因为这个房间地面的面积一定， 所以所需方砖的数量与每块方砖的面积成反比例。 讲拍 第7课时练习课 解照 视批 频改 1.(1)圈数圈数行驶的路程正(2)圈数 车轮直径圈数车轮直径反 2.(1)X(2)○(3)X(4)√(5)X 3.(1)成正比例理由：24÷1=48÷2=72÷3 96÷4=120÷5=24(元)。因为购买这种丝线的长 度与应付金额是两种相关联的量，且应付金额除以 购买丝线长度的商一定，所以购买这种丝线的长度 和应付金额成正比例。(2)300÷24=12.5（米） 24×35=840(元) 4.(1)小英走的路程和时间成正比例 (2)450÷9=50(米/分)450÷(12-6)=75（米/分） 50×6÷(75-50)=12(分) 5.反正正解析：当A、B、C中的一个量 定时，看另外两个量的关系，若比值一定，则成正比 例关系；若乘积一定，则成反比例关系。 方法归纳》 判断两个量是否成正、反比例关系的方法 先找变量，看是否是两个相关联的量，再 找定量，看两个相关联的量中相对应的两个数 的比值（或乘积）是否一定，最后进行判断。 讲拍 第8课时正比例的应用 视批 频 1.设15分钟它可以分拣x件物品。 x:15=350:5x=1050 2.设王老师下载完这份文件需要x分钟。 x:100%=16:64%x=25 知识归纳>》 用正、反比例解决问题的一般步骤 先判断相关联的两种量是成正比例还是 反比例，再根据相关联的量之间的比例关系， 列出比例或方程，最后解比例或方程。 3.设这张照片的长为x厘米。 x:40.5=16:9x=72 4.设大约需要吃x克猕猴桃。 x:90=100:60x=150 5.设小马家和书店相距x米。 x:(15+5)=800:5x=3200 6.2.7÷3=0.9(米)0.9×9=8.1（米）解析：由 题图可知，这棵树的生长时间在0~10年时，高度 与生长时间成正比例，即在这段时间内，这棵树每 年生长2.7÷3=0.9（米）。当这棵树生长9年时， 高0.9×9=8.1（米）。 7.设蜡烛原来的长度是x厘米。(x一14)： 5=(x一11)：11x=16.5解析：蜡烛燃烧的速 度一定，燃烧的长度与时间成正比例，据此解答。 讲拍 第9课时反比例的应用 解照 视批 频改 1.(1)C(2)B 2.反设实际需要x天铺完。 400×16=320xx=20 3.设需要x块。52×x=82×75x=192 解析：因为每块方砖的面积×需要的块数=客厅地 面面积（一定），所以每块方砖的面积和需要的块数 成反比例。据此列方程解答。 4.(1)设楠楠每天至少看x页。10x=15×26 x=39(2)设她每天看y页。1.5÷0.5= 3(天)(10+3)y=15×26y=30 解析：由题意可知，这本故事书的总页数是一定的， 即每天看的页数与需要的天数的乘积是一定的，则 每天看的页数与需要的天数成反比例，据此求解。 5.设甲种篮球买了x个，则乙种篮球买了(100一 x)个。30x=20×(100-x)x=40100- x=60甲种篮球买了40个，乙种篮球买了60个 解析：设甲种篮球买了x个，则乙种篮球买了 (100一x)个。根据总价=数量×单价，得出单价 与数量成反比例关系。用含x的式子分别表示出 买两种篮球需要的钱数，再根据所用钱数相等列方 程求解即可。 6.设实际x天完工。150×(1十20%)= 180(套)180x=150×30x=2530-25= 5(天)解析：根据题意可知，生产的总数量一定， 则每天生产的数量和生产的天数成反比例。 讲拍 第10课时我学会了吗 解照 视批 频改 1.(1)反正(2)答案不唯一，如53：6= 5:10(3)0.5(4)5 正 2.3：5=x:275x=165 9 3.(1)成正比例理由：因为20：1=40：2 60:3=80:4=100:5=120:6=20,即生产纸箱 的数量与时间的比值一定。 (2) ↑数量（个） 120 100 80 60 40 20 0. 1 23456时间（时） (3)36480 4.设B市到C市的铁路大约长x千米。 晚上 10时到第二天凌晨1时共3小时，凌晨1时到早 上7时共6小时x:6=420:3x=840 解析：先求出火车从A市到B市和从B市到C市 需要的时间，再根据比例关系求解。 5.(1)设小齿轮每分钟转动x周。 12x=40×150.x=500 (2)设小齿轮每分钟要转动y周。2分米= 20厘米2×3.14×20×200=2×3.14×8×y y=500解析：由题意，易知相同时间内两个齿轮 转过的距离相等，所以每个齿轮转动的周数和齿轮 的周长成反比例。据此列方程解决即可。 讲拍 提分真题集训 解照 视批 频改 1.10 2.(1)B (2)D解析：如图，根据长方形面积=长×宽，可 得6号的面积=CD×FG。又因为1号和3号的 宽相等，所以CD:AB=3:1,即CD=3AB;同 理，可得F:PG=4:5,即FG=号EP;EF: DE=2:1,即EF=2DE。所以CD X FG= 3ABX号EF=3ABX号×2DE=7.5XABX DE=7.5。 B D 3 E 2 4 5 6 G 2 3.(1)成正比例因为46÷1=92÷2=138÷3= 46,即购买《梦圆大地：袁隆平传》的总价与数量的 比值一定(2)1.4(3)414÷46=9（本） 4.设李老师返回时平均每分钟骑行x米。 360×15=(15-3)xx=450解析：设李老师返 回时平均每分钟骑行x米。因为从家去图书馆的 距离一定，所以平均每分钟骑行的米数与用的时间 成反比例，据此列方程解答。 5.设圆的半径是r,则长方形的长为3r,长方形的 宽为2r。因为长方形的长：宽=3r：2r=3:2 (一定)，所以这个长方形的长与宽成比例，成正比例 讲拍 第五单元整合提升 解照 视批 频改 1.(1)不正确因为号=，所以号=3（一定）x y 和y成正比例(2②正确因为a:号-3：，所 以ab=1(一定)，a和b成反比例(3)不正确 因为ab-4.5=14.5,所以ab=19(一定)，a和b 成反比例 2.成正比例解析：因为a-6=号。 所以a:b=专（一定）。所以a与6成正比例。 3.答案不唯一，如若每行排20人设可以排 x行。24X15=20xx=18 4.设甲农户开市前采摘的樱桃的质量是x千克， 则乙农户开市前采摘的腰桃的质量是子：千克。 (x-400): (x-450）=8:5x=1600 4x=1600X -120 5.设两个港口相距x千米。 2x-18): (侵x+18)=5:7x=216解析：因为丙镀轮船 同时出发，即相遇时两艘轮船行驶的时间一定，所 以行驶的路程与速度成正比例，则相遇时甲、乙两 艘轮船行驶的路程比为5：7；再结合“两轮船在距 中点18千米处相遇”，设未知数列比例解答即可。