4 冰淇淋盒有多大——圆柱和圆锥-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（五四制青岛版）

四 冰淇淋盒有多大一圆柱和圆推 游相 第1课时圆柱和圆锥的认识 鳞毁 习基础进阶 指出它的底面半径和高分别是多少。 1.选一选 18cm 6 3cm (1)(生话体验)一个圆柱形物品，它的底面 6cm 4cm 6cm 周长是24厘米，高是18厘米，这个圆柱形物 品可能是( )。 A.保温杯 B.水管 C.铅笔 D.电池 (2)*圆柱的侧面展开后不可能是一个 ()。 A.长方形 B.梯形 团能力攀升 C.平行四边形 D.正方形 4.(生活应用)如图所示为一个圆柱形礼盒，为 (3)将一块棱长是40厘米的正方体木料加 了更美观，店员要给礼盒配上十字形的丝带。 工成一个最大的圆柱，这个圆柱的高是 至少需要多长的丝带？（打结处用去丝带 ()厘米，底面半径是( )厘米。 10dm) A.40 B.20 C.10 D.5 2.如图，将长方形ABCD以某条边所在直线为 dm 轴旋转，得到圆柱甲和圆柱乙。 A 1cm B -6 dm 5.如图，把8根底面直径约为1米的圆木用铁 2 cm 丝紧紧地并排捆扎在一起，像这样前、后各捆 扎1圈，一共要用铁丝约多少米？（接头处忽 略不计) (1)圆柱甲是以( )边或( )边所在直 线为轴旋转而成的，高是( )cm,底面半 6.一个圆锥的底面直径是20厘米，比它的高长 径是( )cme 25%。如果把这个圆锥沿着它的底面直径竖 (2)圆柱乙是以( )边或( )边所在直 直切成两个完全相同的立体图形，那么一个 线为轴旋转而成的，高是( )cm,底面半 截面的面积是多少平方厘米？ 径是()cm。 3.(操作探究)将平面图形分别围绕如图所示的 轴旋转，将得到怎样的立体图形？用线连一 连。如果得到的立体图形是圆柱或圆锥，请 31 拔尖特训数学（青岛版五四学制）五年级下 第2课时 圆柱的侧面积和表面积(1) 视批 频改 》基础进阶 团能力攀升 1.选一选。 4.*将下面的正方体木料加工成一个最大的圆 (1)一个底面直径为20cm、长为 柱，圆柱的表面积是多少？ 50cm的圆柱形通风管（如图）， 在地面上滚动一周，滚过的面积 是( )cm2。 A.314B.3140C.3768D.1570 4 dm (2)一个圆柱的侧面展开后是一个边长为 5.(操作探究)把一张长方形纸按如图所示的方 18.84cm的正方形，该圆柱的高是( )cm。 法剪开后做成一个圆柱，这个圆柱的表面积 A.18.84B.6 C.4.71D.3 是多少平方分米？ 2.计算下面圆柱的表面积。 3cm -8.28dm 6.如图，有一个立体图形，下面的部分是一个长 8cm 3dm 30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方体，上 12 dm 面的部分是一个半圆柱。这个立体图形的表 面积是多少平方厘米？ 3.(生话应用)某厂制作1000个如图所示的牛肉罐 15厘米 头，在侧面贴上标签纸。（接头部分忽略不计） 20厘米 10厘米 30厘米 7.(创新应用)如图，一段圆柱形钢材，底面直径 8厘米 是8厘米，高6厘米，在它的上面正中间向下 凿一个底面直径是4厘米、高2厘米的小圆 (1)制作一个这种罐头需要多少平方厘米的 柱，在小洞的底面再向下凿一个底面直径是 标签纸？ 2厘米、高2厘米的小圆柱，继续在第2个小 洞的底面向下凿一个底面直径是1厘米、高 2厘米的小圆柱。现在这个立体图形的表面 (2)制作一个这种罐头至少需要铁皮多少平 积是多少？ 方厘米？（不计损耗） 32 四冰淇淋盒有多大—圆柱和圆锥 第3课时 圆柱的侧面积和表面积(2) 德鵡 视批 频改 习基础进阶 (2)如果按1千克油漆可漆200平方分米来 计算，那么学校准备15千克油漆够吗？ 1.填表 底面半径 10 cm 高 10 cm 5 dm 底面周长 31.4dm 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 2.要制作一个无盖圆柱形水桶，有下面几种型 团能力攀升 号的铁皮可供选择。 4.(说理表达)数学课上，同学们通过动手操作 12.56dm 发现：圆柱的表面积=圆柱的侧面积十两个 wp g 底面积。聪聪运用乘法分配律进行了推导： 4dm 表面积=侧面积十底面积×2=2πh十 ① ② 2πr2=2πr(h十r)。聪聪其实是将圆柱的表 3dm 面积转化成了一个什么图形的面积？请将你 4dm 的想法画出来。 ③ ④ ⑤ 2π1 (1)可以选择的铁皮是( )和( (填序号) (2)根据你选择的铁皮制作水桶，需要用多 少平方分米的铁皮？ 5.(创新应用)一个高是12cm的圆柱，若它的 高增加2cm,则它的表面积增加75.36cm。 3.(生话应用)实验小学阅览室有50个圆柱形 原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 小木凳，每个底面周长都是12.56分米，高 4分米。现学校计划把这些小木凳全部油漆 翻新。（下底面不漆） (1)需要油漆的面积一共是多少平方分米？ 33 拔尖特训 数学（青岛版五四学制）五年级下 第4课时 练习课 翡毁 中能力攀升 因思维拓展 1.判一判。 4.如图，将一个圆柱沿底面直径切成两个半圆 (1)同一个圆柱两个底面之间的距离是相 柱，如果切面是边长为8cm的正方形，那么 等的。 ( 原来圆柱的表面积是多少？ (2)在圆柱和圆锥上任意切一刀，截面都有 可能是长方形 () (3)如果一个圆柱的侧面展开图是一个边长 为6.28cm的正方形，那么它的底面半径是 2cm。 () 5.(生话应用)如图所示为一种燃气排气管，做 (4)一个圆柱的高增加4厘米，它的表面积 这样一个排气管，至少需要多少平方厘米的 就比原来增加12.56平方厘米，则这个圆柱 铁皮？（接头处忽略不计） 的底面半径是1厘米。 () 2.如图所示为一个圆柱的展开图，根据图中数 1.2m 据计算圆柱的表面积。 2.8m 12cm cm 6.如图，有一个圆柱，高为30厘米，底面半径为 4cm 10厘米。削去这个圆柱的，剩下的立体图 形的表面积是多少平方厘米？ 3.(生活体验)滚筒式粘毛器用来清理衣服上的 灰尘、宠物掉落的毛发很方便。小米购买了 一个粘毛器，滚筒长16厘米，半径为3.5厘米。 如果向前滚动5周，那么清理的面积是多少 7.★一段圆柱形木材，如果将其截成两个小圆 平方厘米？ 柱，那么总的表面积增加314cm;如果将其沿 着底面直径截成两个半圆柱，那么总的表面积 增加560cm。求这段圆柱形木材的表面积。 34 四冰淇淋盒有多大—圆柱和圆锥 第5课时 圆柱的体积 德鵡 视批 频改 习基础进阶 5.如图所示为一个木制模型，其中有15个圆柱 形孔，每个孔的直径为2cm,这个模型的体 1.计算下面各图形的体积。 积是多少立方厘米？ m 0 cm 10 dm 6cm -16cm 6.*如图，3个完全一样的圆柱能拼成1个高 3.6dm的大圆柱，表面积比原来减少了 2.(学科融合)营养学专家建议：儿童每天水的 4.8dm。原来1个圆柱的体积是多少立方 摄入量应不少于1500毫升。阳阳用从里面 分米？ 量底面直径是8厘米、高10厘米的圆柱形水 杯喝水，他每天大约要喝几满杯水才能达到 这个最低要求？ 7.(说理表达)下面是小筱做的一道题，老师打 了“X”,请你帮她分析一下错误的原因，并给 3.(生话应用)一个圆柱形粮囤，从里面量得它 出正确的解答。 的数据如图所示，按每立方米稻谷重600kg 一个装满水的圆柱形容器，底面积是80平方 计算，这个粮囤能装稻谷多少吨？ 厘米，高是2厘米。把两根底面直径都是 +2m 2厘米、高都是4厘米的圆柱形小棒竖直放 入容器中（与容器底面接触），求从容器中溢 2.5m 出的水的体积。 3.14×(2÷2)2×4×2=25.12(立方厘米) 答：从容器中溢出的水的体积是25.12立方 中能力攀升 厘米。 4.填一填。 错误的原因： (1)将一根长为3m的圆柱形木料锯成3个 正确的解答： 小圆柱，表面积增加20dm,这根木料的体 积是()dm3。 4cm (2)把底面周长是12.56cm的圆 柱体斜着截成相同的两部分，其中 一部分（如图）的体积是( )cm3。 '6cm 35 拔尖特训 数学（青岛版五四学制）五年级下 第6课时 圆锥的体积 视批 频改 》基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.*(思维过程)如图（单位：cm),把三角形 (1)圆柱的体积是8.7dm3,与它等底等高的 ABC绕着边AB和BC所在直线分别旋转一 圆锥的体积是( )dm3. 周，得到两个圆锥。哪个圆锥的体积大？ (2)小红用一个圆锥形模具将一些橡皮泥制 作成30个圆锥，同样多的橡皮泥可以制作成 ()个等底等高的圆柱。 (3)一个圆锥的底面周长是6.28m,高是 ② 3m,它的体积是( )m3。 B (4)将棱长为6cm的正方体木块削成一个 最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm。 2.计算下面圆锥的体积。（单位：cm) 5.如图，左边正方形的边长为4，右边正方形对 角线的长度为6。如果按照图中的方式旋 转，那么得到的两个旋转体的体积之比是 多少？ C=28.26 6.(操作探究)单位时间内，降落在敞口圆柱形 容器内雨水的高度可看作这段时间内的降雨 3.(学科融合)过滤实验中有一个重要的实验器 量。学校气象小组用一个底面直径是24cm、 材一三角漏斗，又叫圆锥形漏斗（如图）。 高30cm的圆锥形容器制成雨量器。某次降 已知漏斗中水面的直径为3厘米，下面连接 雨，该气象小组用这个雨量器收集了24小时 着导流管。实验中，加上滤纸后，如果水流的 的降雨，最后量得雨水高度为15cm。这 速度是3厘米3/秒，那么几秒后圆锥形漏斗 24小时的降雨量属于哪个等级？ 里的水可以流完？（导流管内流速不计） 等 级 小雨 中雨 大雨 暴雨 24小时降 0.1 10.0 25.0 50.0 水量(mm) 9.9 24.9 49.9 99.9 9厘米 24cm 6cm 30 cm 雨水 15cm 36 四冰淇淋盒有多大—圆柱和圆锥 第7课时 综合练习(1) 德鵡 视批 频改 习基础进阶 团能力攀升 1.(生话应用)妈妈用废旧床单给小硕做了一个 4.(操作探究)如图，明明用3个面积相等的长 圆柱形沙袋。沙袋底面周长是6.28分米，高 方形围成圆柱侧面，再配上合适的底面就成了 是3分米。（沙袋本身厚度忽略不计） 圆柱。（水平方向的边长为圆柱底面的周长） (1)做这个沙袋用了多少平方分米废旧床 25.12cm 1cm 单？（损耗忽略不计） ⑦ 6.28cm 12.56cm 2cm 4cm ② ③ (1)明明用表格进行了研究，请你帮他把表 格补充完整。 (2)一次沙袋底破了，沙子全部流到地板上， 长方形 形成了一个高2分米的圆锥形沙堆，这个圆 长(cm) 宽(cm) 体积(cm3) ① 25.12 1 锥形沙堆的占地面积是多少平方分米？ ② 12.56 2 ③ 6.28 (2)观察表格，哪一个长方形围成的圆柱体 积最大呢？你有什么发现？ 2.将下面这个容器倒过来时，从圆锥的顶点到 液面的高度是多少厘米？ 5.(恩维过程)若将一个圆柱形木块沿底面直径 切成相等的四部分（如图①），则表面积增加 cm 8cm 48平方厘米；若将这个圆柱形木块平行于底 面切成三个小圆柱（如图②），则表面积增加 3.如图所示为一个棱长为6dm的正方体，从正 50.24平方厘米。若将这个圆柱形木块削成 方体的上面向内挖去一个最大的圆锥，剩下 一个最大的圆锥（如图③），则体积减少多少 的体积是原正方体体积的百分之几？（百分 立方厘米？ 号前保留一位小数) (① ② 37 拔尖特训数学（青岛版五四学制）五年级下 第8课时 综合练习(2) 视批 频改 中能力攀升 ☒思维拓展 1.填一填。 3.(生活应用)一种水稻磨米机的漏斗由圆柱和 (1)如图，一个圆柱形队鼓的侧面由铝皮围 圆锥两部分组成。圆柱的高是2dm,圆锥的 成，上、下两个底面蒙的是羊皮。做一个这样 高是4dm,底面直径都是6dm。如果每立方 的队鼓，至少需要铝皮( )dm,至少需要 分米稻谷重0.75kg,那么这个漏斗最多能装 多少千克稻谷？ 羊皮( )dm2. 2 dm 6dm (2)数学课上，四人学习小组测量一个圆柱。 4.把1.8米长的圆柱形钢材按1：2：3的长度 已知圆柱底面直径为6cm,小小发现：若将 比截成3段，表面积比原来增加了80平方厘 圆柱的高增加2cm后，则沿底面直径垂直切 米，最短的那段钢材的体积是多少？ 开，切面正好是正方形。原来的圆柱体积是 ( )cm3;圆柱的高增加2cm后，其表面积 比原来增加了(）cm。 2.选一选 (1)明明拿了等底等高的圆锥形和圆柱形容 5.(操作探完)实验室里有一个圆柱形空水槽， 器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆 底面直径为40cm,高为20cm。 锥形容器，倒满圆锥形容器后，还剩68.4毫升 (1)将一个底面半径为20cm、高为36cm的 水。这时，圆锥形容器内的水是( )毫升。 圆锥形容器装满水后全部倒入圆柱形水槽 内，此时水槽内水面的高度为多少？ A.68.4 B.34.2 C.102.6 D.22.8 (2)(市政建设)济南市的街头巷尾有许多圆 柱形饮水装置，相关部门计划在这些装置的 外侧面绘制以济南泉水文化为主题的装饰 (2)*在(1)的条件下，将一个底面半径为 画。其中一座饮水装置的底面直径是1.2m, 10cm的圆柱形铁块全部浸入水里，水面上 高2m若装饰画刚好覆盖到其床部往上专 升2cm。铁块的高是多少？ 的高度，则绘制的面积为( )m. A.7.536 B.5.024 C.2.512 D.12.08 38 四 冰淇淋盒有多大—圆柱和圆锥 提分真题集训 德鵡 视批 频改 1.(无锡)如图①，一张长方形纸，绕着虚线L旋 4.(青岛市北区)某冷饮公司今年夏天要生产一 转一周形成的图形的表面积是( )平方厘 款奶油冰淇淋，奶油冰淇淋可以近似地看成 米；如图②，将长方形纸沿虚线剪开，得到一 两个圆锥的组合体（如图）。上方奶油部分是 个梯形，如图③，将梯形绕着虚线1旋转一周 底面半径为3cm、高4cm的圆锥，下方脆壳 形成的图形的体积是( )立方厘米。 部分（厚度忽略不计）是底面半径为3cm、高 9cm的圆锥。根据生产要求，下方脆壳中会 加入部分奶油，脆壳中奶油占下方圆锥体积 6厘米 6厘米 米→6厘米 米 剑 3厘米 3厘米 3厘米 的。生产这样一个冰淇淋需要多少立方厘 ① ② ③ 米的奶油？ 2.（北京海淀区)一个圆锥形零件，从上面和正 3cm 面看到的图形分别如图①②所示。下面说法 中，错误的是( )。(图中每个小正方形的 9 cm 边长表示1cm) A.这个圆锥形零件的底面半径是2cm 5.(威海环翠区)一根圆柱形木料，如果按如图 B.这个圆锥形零件的高是6cm ①所示切成完全相同的4块，那么表面积会 C.这个圆锥形零件的体积是24πcm 增加600平方厘米；如果按如图②所示切成 D.如果直角三角形的底是2cm,高是6cm, 完全相同的3块，那么表面积会增加314平 那么绕着高所在的直线旋转一周，会得到 方厘米。求这根木料的体积。 这个圆锥 3.(潍坊潍城区)手工课上老师带领同学制作坦 克模型，同学们准备把一些同样大小的圆柱 ① ② 形易拉罐用铁丝捆扎在一起制作成坦克的车 轮。易拉罐的横截面都是直径是ldm的圆。 请你根据下图填写表格。（结果保留π；接头 处损耗忽略不计) ⊙⊙⊙⊙⊙ 易拉罐个数 3 0 铁丝长度(dm) 39 拔尖特训数学（青岛版五四学制）五年级下 第四单元整合提升 裤賴 视批 频改 可分类提优训练 4.把一圆锥沿高切开，分成体积相等、形状相同 的两部分，表面积增加了120平方厘米。已 类型一圆柱特征的应用 知圆锥的高为5厘米，则圆锥的底面直径是 圆柱的高有无数条，每条高的长度都相等；圆柱的两 多少厘米？ 个底面完全相同。 1.(生话应用)如图，乐乐给即将过生日的爷爷 买了一盒茶叶，想用彩带扎起来，打结处大约 需彩带12cm,至少需约多长的彩带？ 5cm 类型三求半圆柱的表面积 类型二圆柱与圆锥的切割问题 一般情况下，半圆柱的表面积=圆柱侧面积的一半十 1个底面积十1个长方形的面积。 解决圆柱的切割问题时，要根据题意判断从指定切割 角度出发，圆柱增加了几个面，这些面的形状、面积分 5.(几何直观)求下面立体图形的表面积。 别是怎样的；圆锥沿高竖直切割时，表面积增加2个 +12cm 等腰三角形的面积。 20 cm 2.一根圆柱形木材长20分米，截成3个相同的 小圆柱后，表面积增加了12.56平方分米。 这根圆柱形木材的体积是多少立方分米？ 6.如图所示为用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长 是15米，横截面是直径为2米的半圆。覆盖 3.(恩维过程)一根圆柱形木料，如果沿着底面 在这个大棚上的塑料薄膜的面积至少是多少 直径切成两半，那么表面积增加120平方厘 平方米？ 米；如果拦腰平均切成两个小圆柱，那么表面 积增加157平方厘米。这根圆柱形木料原来 15米 的高是多少厘米？ 40四 冰淇淋盒有多大— 圆柱和圆锥 讲拍 第1课时 圆柱和圆锥的认识 频改 1.(1)A (2)B 知识归纳 圆柱的侧面展开图 将一个圆柱的侧面剪开，通常有下面三种 情况：(1)沿高剪开，展开后是一个长方形（或 正方形)；(2)沿侧面上的一条斜线剪开，展开 后是一个平行四边形；(3)沿侧面上的曲线（或 折线)剪开，展开后是一个不规则图形。 (3)AB 2.(1)ADBC21(2)ABDC12 3X 第一个立体图形是圆柱，底面半径是6cm,高是 9cm;第三个立体图形是圆锥，底面半径是3cm, 高是4cm 4.6×4+4×4+10=50(dm) 5.[3.14×1+1×(7+7)]×2=34.28(米) 解析：铁丝紧紧地捆扎1圈，最左边和最右边各是圆 周长的一半，上面、下面的铁丝长度都相当于7条直 径的长度，所以总的长度实际上是1个圆的周长加上 14条直径的长度。前、后各捆扎1圈，再乘2即可。 6.20÷(1十25%)=16（厘米）20×16÷2= 160(平方厘米)解析：把圆锥沿着底面直径竖直 切开，得到的截面是等腰三角形，且三角形的底是 圆锥的底面直径，高是圆锥的高。根据题意，可先 求出圆锥的高，即截面三角形的高，再根据三角形 的面积公式求出一个截面的面积。 第2课时圆柱的侧面积 讲拍 解照 和表面积(1) 视批 频改 1.(1)B(2)A 2.3.14×32×2+2×3.14×3×8=207.24(cm2) 3.14×(12÷2)2×2+3.14×12×3=339.12(dm) 3.(1)3.14×10×8=251.2(平方厘米) (2)251.2+3.14×(10÷2)2×2=408.2(平方厘米) 4.3.14×(4÷2)2×2+3.14×4×4=75.36(dm2) 解析：将正方体木料加工成最大的圆柱，圆柱的底 面直径和高都等于正方体木料的棱长。根据圆柱 的表面积计算公式列式求解。 知识归纳》 正方体切割成最大圆柱的规律 把正方体切割成最大的圆柱，圆柱的底面 直径和高都等于正方体的棱长。 5.8.28÷(2+2×3.14)=1(dm)1×2=2(dm) 3.14×2=6.28(dm)3.14×1×2+6.28×(1× 4)=31.4(dm2)解析：由题图可知，8.28dm是 圆柱底面周长与底面直径的和，根据圆周长、直径 与半径之间的关系可知，8.28dm相当于底面半径 的(2十2×3.14)倍，由此求出底面半径，进而求出 底面直径和周长，最后求出表面积。 6.30×20+2×30×15+2×20×15+3.14×30× 20÷2+3.14×(30÷2)2=3748.5(平方厘米) 7.3.14×8×6+3.14×(8÷2)2×2+3.14×4× 2+3.14×2×2+3.14×1×2-3.14×(1÷2)2× 2=293.59(平方厘米)解析：由题图可知，圆柱形 钢材被连续凿掉3个高2厘米的小圆柱，此时圆柱 形钢材被凿穿。所以圆柱形钢材的表面积减少了 2个直径为1厘米的圆的面积，同时增加了3个小 圆柱的侧面积。 第3课时圆柱的侧面积 讲拍 解照 和表面积(2) 视批 频改 底面半径 10cm 5 dm 高 10 cm 5 dm 底面周长 62.8cm 31.4dm 圆柱的侧面积 628cm2 157dm2 圆柱的表面积 1256cm 314dm2 2.答案不唯一，如(1)② ③解析：求出三个圆 的周长，再与两个长方形的长比较可知，②和③可 以搭配，①和⑤可以搭配。 (2)3.14×(4÷2)2+12.56×5=75.36(dm) 3.(1)[12.56×4+3.14×(12.56÷3.14÷2)2]× 50=3140(平方分米) (2)200×(15÷1)=3000(平方分米) 3000<3140不够 4.聪聪其实是将圆柱的表面积转化成了一个近似 的长方形的面积如图所示 rWWW 2πr 2πr h 5.75.36÷2÷3.14÷2=6(cm)2×3.14×62+ 2×3.14×6×12=678.24(cm)解析：高增加 2cm,增加的表面积等于增加部分的侧面积，且增 加部分的侧面展开后是一个宽是2厘米、长是原来 圆柱底面周长的长方形，据此可求出原来圆柱的底 面周长，进而求出原来圆柱的底面半径。最后根据 圆柱的表面积计算公式求出原来圆柱的表面积。 讲拍 第4课时练习课 解照 视批 频改 1.(1)V(2)X(3)X(4)X 2.3.14×4×(12-4)+3.14×(4÷2)2×2= 125.6(cm2) 3.2×3.14×3.5×16×5=1758.4(平方厘米) 4.3.14×8×8+3.14×(8÷2)2×2=301.44(cm2) 解析：沿底面直径把圆柱切成两个半圆柱，切面是 边长为8cm的正方形，说明圆柱的底面直径和高 都是8cm。根据圆柱的表面积计算公式列式 解答。 5.2.8m=280cm1.2m=120cm3.14×4× (280十120)=5024(cm)解析：排气管沿接头处 分开，旋转后拼成一个圆柱，圆柱的侧面积就是需 要的铁皮的面积。 6.2×3.14×10×30+3.14×102×2=2512(平方 厘米)2512×1-)+30×10×2=2484（平方 厘米)解析：由题图可知，剩下的立体图形表面积 等于原来圆柱表面积的(1-)，再加上两个长为 30厘米、宽为10厘米的长方形的面积。 7.314+560÷2×3.14=1193.2(cm2)解析：如 果将其截成两个小圆柱，那么会增加两个底面积； 如果将其沿着底面直径截成两个半圆柱，那么会增 加两个长方形的面积。因为长方形的面积=底面 直径X高，圆柱的侧面积=底面周长×高=π×底 面直径×高，所以圆柱的侧面积=长方形的面积× 元。用两个底面积的和加上侧面积，就能求出这段 圆柱形木材的表面积。 知识归纳> 圆柱切开后表面积的变化规律 将圆柱沿着底面直径切开，表面积增加 两个长方形的面积，长方形的长（或宽）是圆柱 的高，宽（或长）是圆柱的底面直径；将圆柱平 行于底面切开，表面积增加两个底面的面积。 讲拍 第5课时 圆柱的体积 解照 视批 频改 1.3.14×32×10=282.6(dm) 3.14×(6÷2)2×8=226.08(cm3) 2.8÷2=4(厘米)3.14×42×10=502.4（立方 厘米)502.4立方厘米=502.4毫升1500÷ 502.4≈3（杯） 3.3.14×22×2.5×600=18840(kg) 18840kg=18.84t 4.(1)150(2)62.8 5.3.14×(16÷2)2×10-3.14×(2÷2)2×10× 15=1538.6(cm3)解析：由题图可知，本题求出 大圆柱与15个小圆柱的体积差即可。 6.(3-1)×2=4(个)4.8÷4×(3.6÷3)= 1.44(dm3)解析：原来1个圆柱的高是拼成的大 圆柱高的3，拼成的大圆柱的表面积比原来3个圆 柱的表面积少(3一1)×2=4（个）底面积。根据已 知条件，分别计算出原来圆柱的底面积和高，即原 来圆柱的底面积为4.8÷4=1.2(dm2),原来圆柱 的高为3.6÷3=1.2(dm)。用圆柱的底面积乘圆 柱的高即可求得圆柱的体积。 知识归纳》 底面积和高未知的圆柱体积问题 此类题目已知条件中没有底面积和高，只 知道圆柱表面积增加或减少的面积时，增加或 减少的面积为2(n一1)个底面的面积(n为圆 柱的个数)。 7.没有考虑圆柱形容器的高度限制，小棒高4厘米， 容器高2厘米，小棒实际浸入水中的高度是2厘米， 而非4厘米3.14×(2：2)2×2×2=12.56立方厘米) 讲拍 第6课时圆锥的体积 经到 频改 1.(1)2.9(2)10(3)3.14(4)56.52 23X3.14X32×8=75.36(cm 28.26÷3.14÷2=4.5(cm) 7X3.14X4.53×3=63.585(cm) 3.×3.14X(3÷2)P×9÷3=7.065(秒 解析：先求出圆锥形漏斗里水的体积，再用水的体 积除以水流的速度，就是圆锥形漏斗里的水流完所 用的时间。 4图0：5×x×g×6=18x(em)图@：写× π×62×3=36π(cm3)36π>18π图②中圆锥的 体积大解析：题图①中，圆锥的底面半径是3cm, 高是6cm;题图②中，圆锥的底面半径是6cm,高 是3cm。用圆锥的体积公式求出体积再比较。 方法归纳》 用常量代替具体数值简便计算 解决此类问题时，用π代替具体的数值， 能使计算过程简便。 5.元×(4÷2)2×4=16r2×3×元×(6÷2)2 (6÷2)=18π16π：18π=8：9解析：左边正方 形旋转后得到的是底面半径为2，高为4的圆柱； 右边正方形旋转后得到的是由上下两个相同的圆 锥组成的几何体，且圆锥的底面半径为3，高为3。 63×814×6×15÷[814×(24÷2)]= 1.25(cm)1.25cm=12.5mm10.0<12.5< 24.9这24小时的降雨量属于中雨解析：先求 出24小时收集的雨水的体积，然后除以与圆锥形 容器底面相同的圆柱形容器的底面积，求出24小 时的降雨量，最后对照统计表确定属于哪个等级。 讲拍 第7课时综合练习(1) 解照 视批 频改 1.(1)6.28÷3.14÷2=1(分米) 6.28×3+3.14×12×2=25.12(平方分米) (2)3.14×12×3=9.42(立方分米) 9.42×3÷2=14.13(平方分米) 2.8-9x3+9=14(cm） 解析：因为等底等高 的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆 锥的体积相等、底面积也相等时，圆柱的高是圆锥 高的写，据此可以求出图柱内商为9X了=3(cm) 的水正好装满圆锥，则圆柱内剩下水的液面高度为 8一3=5(cm)。用圆锥的高度+圆柱内剩下水的 液面高度即可求解。 3.6×6×6=216(dm3) 号×3.14×(6÷2)× 6=56.52(dm3)(216-56.52)÷216× 100%≈73.8% 4.(1)50.2425.1212.56(2)长方形①围成 的圆柱体积最大发现：当圆柱的侧面积相等时， 底面周长越长，圆柱的体积就越大 5.50.24÷4=12.56(平方厘米)12.56÷3.14= 4(平方厘米)因为4=2，所以这个圆柱的底面 半径是2厘米48÷8=6（平方厘米）6÷2= 3厘米)3.14×2×3×号-25.12（立方厘米） 解析：根据题图②的切割特点可知，切割成三个小 圆柱，则表面积增加了四个底面圆的面积，据此可 以求出圆柱的底面积是50.24÷4=12.56（平方厘 米)，进而可以得出这个圆柱的底面半径是2厘米； 再根据题图①的切割特点可知，表面积增加了八个 均以圆柱的底面半径和高为邻边的长方形的面积， 据此可以求出一个长方形的面积是48÷8=6（平 方厘米)。因为底面半径是2厘米，所以利用长方 形的面积计算公式可以求出圆柱的高是6÷2= 3(厘米)。将这个圆柱削成一个最大的圆锥，则减 少的体积就是这个圆柱体积的号，器此利用圆柱的 体积计算公式求出你积，再乘号即可求解。 讲拍 第8课时综合练习(2) 解照 视批 频改 1.(1)37.6856.52(2)113.0437.68 2.(1)B解析：等底等高的圆柱的体积是圆锥体 积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相 当于圆锥体积的(3一1)倍。所以圆锥形容器内的 水是68.4÷(3-1)=34.2（毫升）. (2)B 3314X(6÷2)×2+号×3.14×(6÷2y×4= 94.2(dm3)94.2×0.75=70.65(kg)解析：先 算出漏斗的容积，再乘每立方分米稻谷的质量即可。 418米=180但米0÷4×(180×+2+)- 600(立方厘米)解析：根据题意可知，80平方厘 米是圆柱的4个底面的面积，由此可求出1个底面 的面积；再根据“圆柱形钢材按1：2：3的长度比 截成3段”，可得最短的那段占总长的1十2十3，进 一步求出最短的那段的长，据此可求得最短的那段 钢材的体积。 5.(1)号×3.14×20×36=15072(cm) 3.14×(40÷2)2=1256(cm2) 15072÷1256=12(cm) (2)3.14×(40÷2)2×2=2512(cm3)3.14× 102=314(cm2)2512÷314=8(cm)解析：铁块 全部浸入水里，上升部分水的体积为3.14×(40： 2)2×2=2512(cm3),也是圆柱形铁块的体积，用 体积除以铁块的底面积，即可求出铁块的高。 方法归纳 求容器中放入物体的体积 当物体全部浸入水里时，物体的体积等于 上升部分的水的体积。 讲拍 提分真题集训 频改 1.169.56131.88解析：通过观察题图①可知， 旋转形成一个底面半径是3厘米、高是6厘米的圆 柱；通过观察题图③可知，旋转形成的是圆锥与圆 柱的组合体。 2.C解析：通过观察题图可知，这个圆锥形零件 的底面直径是4cm,高是6cm,所以体积是3× π×(4÷2)2X6=8π(cm2)。 3.π+2π+4元+6元+18元+2(n-1) 解析：把2个易拉罐捆扎起来，需要的铁丝的长度 等于直径是1dm的圆的周长加上直径的2倍；把 3个易拉罐捆扎起来，需要的铁丝的长度等于圆的 周长加上直径的4倍；把4个易拉罐捆扎起来，需 要的铁丝的长度等于圆的周长加上直径的6倍。 由此可知，每增加1个易拉罐，需要的铁丝的长度 就增加直径的2倍。 1 43×814X3×4+3×3.14×3×9 65.94(cm3)解析：奶油的体积等于底面半径为 3cm、高4cm的圆锥的体积加上底面半径为 3cm、高9cm的圆锥的体积的3· 5.314÷4=78.5(平方厘米)78.5÷3.14= 25(平方厘米)因为52=25，所以底面半径为 5厘米600÷8=75（平方厘米）75÷5=15（厘 米)3.14×52×15=1177.5（立方厘米） 讲拍 第四单元整合提升 解照 视批 频改 1.5×2×4+10×4+12=92(cm) 2.12.56÷4×20=62.8(立方分米) 3.157÷2÷3.14=25(平方厘米)25=5×5 120÷2÷(5×2)=6(厘米)解析：将木料切成两 个小圆柱，表面积增加了两个圆柱的底面积。先根 据此时表面积增加157平方厘米，求出这个圆柱的 底面半径；沿着底面直径切成两半，表面积增加了 两个以底面直径和高为邻边的长方形的面积，据此 可求出木料原来的高。 4.120÷2×2÷5=24(厘米) 5.12×20+3.14×(12÷2)2+3.14×12×20÷ 2=729.84(cm2) 6.3.14×2×15÷2+3.14×(2÷2)2=50.24(平 方米)解析：覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面 积包括它所在圆柱侧面积的一半加上前、后两个半 圆拼成的圆的面积。 7.56.52÷1.5=37.68(cm)37.68÷3.14÷2= 6(cm)3.14×62×(2+1)=339.12(cm2) 解析：底面积不变，高增加1.5cm,表面积增加 56.52cm2,所以底面周长是56.52÷1.5= 37.68(cm),底面半径是37.68÷3.14÷2= 6(cm),底面积是3.14×62=113.04(cm)。因为 底面积与侧面积相等，所以圆柱表面积等于底面积 的(2+1)倍。 8.50.24÷4=12.56(cm)12.56÷3.14÷2 2(cm)3.14×22=12.56(cm)12.56×12.56≈ 158(cm3)解析：圆柱底面周长和高相等，说明圆 柱侧面展开是正方形。高缩短4cm,表面积减少 50.24cm,所以底面周长是50.24÷4=12.56(cm), 底面半径是12.56÷3.14÷2=2(cm)。最后根据 圆柱的体积公式求解。 9.100×10÷(300-100)=5(厘米)解析：因为 下降的水的体积等于提起的高10厘米的圆柱形铁 棒的体积，所以先根据“圆柱的体积=底面积×高” 求出高10厘米的铁棒的体积，再除以圆柱形容器与 铁棒的底面积之差，就可以求出水面下降的高度。 10.3.14×302×8=22608(立方厘米)22608÷ (3.14×502-3.14×30)=4.5(厘米)8+4.5= 12.5(厘米)解析：先算出高8厘米的铁棒的体 积，再除以圆柱形容器与铁棒的底面积之差，求出 水面下降的高度，最后加上8厘米，即可求出露出 水面的铁棒被浸湿部分的高度。 11.(3.14×62-3.14×42)×6.4÷(3.14×4)= 8(厘米)解析：解决本题的关键是明确下降部分 水的底面积是圆柱形容器与铁棒的底面积之差。 先求出下降部分水的体积，再除以铁棒的底面积， 即可求出铁棒被提起的高度。 12.圆柱的高：圆锥的高=2：1 4.2×2=8.4(厘米)4.2÷2=2.1（厘米） 五 啤酒生产中的数学—比例 讲拍 第1课时比例的意义 解照 视批 频改 12:8=：号（或：3-2：8） (2)答 案不唯一，如1：2=6：12(3)答案不唯一，如 2：3=4：6 2.(1)60:40(2)120:80 (3)能组成比例因为比值相等 3第一组和第三组月：日-901590：15 111.1 3:89669609=9:6 4.可以3：5.7=20：38（或20：38=3：5.7） 5.8个12：16=6：816：12=8：66：8= 12:168:6=16:1216:8=12:68:16= 6:1212:6=16:86:12=8:16 6.(1)2：(2×2)=2：4(3.14×2)：(2× 3.14X2》=6.28:12562:4=号 6.28： ·这两个比能组成比例 (2)[3.14×(2÷2)2]：(3.14×22)=3.14: 12.56814:12,56=号≠号这个比与直 径之比不能组成比例解析：分别写出两个圆的直 径之比、周长之比及面积之比，并求出比值，再根据 比值是否相等判断它们能否组成比例。 7.两种12：8=67.5：4545：30=18：12 解析：假设第一个外项为12，第二个外项为45。根 据“比的后项=前项÷比值”求出第一个内项为 12÷1.5=8;再根据“比的前项=后项×比值”求出 第二个内项为45×1.5=67.5：然后根据题意写出 比例。求另一个比例的方法相同。 知识归纳》 比的各部分之间的关系 前项÷后项=比值，后项=前项÷比值， 前项=后项X比值。 讲拍 第2课时 比例的基本性质 解照 视批 频改 1.w629 (3)109解析：逆用比例的基本性质，把a、b分 看作比例的外项和内项，写出比例a:b=3争