3 团体操表演——因数与倍数-【拔尖特训】2025-2026学年四年级下册数学（五四制青岛版）

团体操表演 一因数与 第1课时 习基础进阶 1.判一判。 (1)因为2.8÷7=0.4，所以2.8是7 和0.4的倍数。 (2)5是因数，25是倍数。 (3)500的因数的个数比2的倍数的 个数多。 ( ) (4)若甲数是乙数的倍数，丙数是乙数 的因数，则甲数是丙数的倍数。( 2.在4的倍数上画“○”，在16的因数上 画“△”。 01234567891011121314151617 17以内，4的倍数有( 16的因数有( )。 3.(数感)从牌面为A10的十张扑克牌 中任选两张配成一对，使每对牌上的 两个数满足因数和倍数的关系。请你 试一试，最多能成功配出( ）)对。 (每张牌只能用一次，A代表1) 4.(生话应用)有一把玩具密码锁，密码 是一个两位数，它既是9的倍数，又是 18的因数，这把密码锁的密码是多少？ 倍数 讲拍 因数与倍数 赛 团能力攀升 5.(探索发现)填一填，想一想。 9的所有因数 18的所有因数 18是9的( )数。 ( )既是9的因数，又是18的 因数。 8的所有因数 24的所有因数 24是8的( )数。 ( )既是8的因数，又是24的 因数。 我发现：当两个数是倍数关系时， ( )的所有因数都是( 的因数。（填“较大数”或“较小数”） 6.叔叔今年27岁，乐乐和爷爷的岁数分 别是叔叔岁数的因数和倍数，爷爷的 年龄是乐乐年龄的18倍，且爷爷未到 60岁。乐乐今年几岁？爷爷今年多 少岁？ 29 拔尖特训数学（青岛版五四学制）四年级下 第2课时 团能力攀升 1.选一选。 (1)已知ab=60,下面的三个数中，当 a的值为( )时，60是a的倍数。 A.1.5 B.15 C.45 (2)运动会上，五年级学生排队入场， 每一列都刚好是16人，五年级可能有 学生( )人。 A.56 B.94 C.112 (3)(生话应用)四年级有三个班，一班 40人，二班42人，三班45人。如果各 班都要分成四路纵队，那么( )班 正好分完。 A.一 B.二 C.三 2.(传统文化)拗九节在农历正月二十 九，是福州的民间传统节日。每年的 这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁 (称“明九”)，或岁数是9的倍数，如 18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生 日一样，吃一碗“太平面”，祈愿平安、 健康，也叫作过“九”。刘老师今年 50岁，他过了几次“九”？ 30 练习课 贺毁 ☒思维拓展 3.冬至吃饺子，不仅是传承千年的民俗， 更蕴含着人们祈愿寒冬安康、团圆温 暖的美好寓意。冬至这天妈妈包了 56个饺子，现在要把这些饺子装在盘 子里，每个盘子里装饺子的个数比5 多，比15少，且每个盘子里装的饺子 个数一样多，有多少种不同的装法？ 4.某家电影院上映的某部电影的票价既 是2的倍数，又是11的倍数。若该部 电影的票价在40元和50元之间，则该 部电影一张电影票的价格是多少元？ 5.(探索发现)12是6的倍数，18是6的 倍数，12与18的和是6的倍数吗？10 是5的倍数，25是5的倍数，10与25 的和是5的倍数吗？你发现了什么？ 第3课时 2 习基础进阶 1.判一判。 (1)5的倍数的个位上一定是5。() (2)偶数都比奇数大1。 ) (3)如果a是自然数，那么2a+1一 定是奇数。 (4)217至少加上3就是5的倍数了。 ( 2.填一填。 (1)相邻两个奇数或偶数的差是 ()。 (2)如果一个两位数是5的倍数，各个 数位上数字的和是8，那么这个两位数 是( )或( )。 (3)三个连续偶数的和是36，这三个 偶数分别是( )、( )、()。 (4)一个三位数，百位上的数字是最小 的奇数，个位上的数字是10以内最大 的偶数，这个三位数最小是()。 3.(题组训练)用1、3、8、0四张 数字卡片组成符合要求的三位数。 (1)最大的偶数：( (2)最小的奇数：( )。 (3)2的倍数：( ）。 (4)5的倍数：( )。 (5)既是2的倍数又是5的倍数： )。 三团体操表演— 因数与倍数 、5的倍数特征 视批 频改 团能力攀升 4.*有一批25吨重的物资要运送到某 地，现有载质量为2吨和载质量为 5吨的车若干辆，只用载质量为2吨的 车能正好一次运完吗？只用载质量为 5吨的呢？ 5.(生话应用)有100多且不到200名的 学生站队，站成5列，仅仅少2人。这 群学生最少有多少人？最多有多少人？ 6.(数感)一个数与两个相邻的奇数分别 相乘，所得的两个积相差150。这个数 是多少？ 31 拔尖特训数学（青岛版五四学制）四年级下 第4课时 习基础进阶 1.选一选 (1)*在3☐6的☐里填数，使这个三位 数是3的倍数，一共有( )种填法。 A.1 B.2 C.4 (2)一个两位数，既是3的倍数，又是 5的倍数，这样的两位数有()个。 A.5 B.6 C.7 (3)89389767至少加上( )就同时 是2、3、5的倍数。 A.2 B.3 C.5 2.按要求在 里填上合适的数字。 (1)既是3的倍数，又是5的倍数。 4☐ 6☐0 5☐5 (2)既是3的倍数，又是2的倍数。 9☐ 6☐0 7■ 3.(人文地理)秦始皇陵兵马俑二号坑的 内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩 兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位 于整个军阵的东部前沿，这个方阵内站 立着172个立射俑，中心部位是160个 跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能 正好数完吗？ 3的倍数特征 游相 中能力攀升 4.冬冬在某个学习平台注册的账号是个 六位数，且同时是3、4、5的倍数。它 的前三位是568，你能推算出冬冬的账 号所对应的数最小是多少吗？ 5.(创新应用)四年级一班同学活动课时 分组跳长绳，分成若干个三人组跳时 剩下2人，分成若干个五人组跳时也 剩下2人，四年级一班的人数在40到 50之间。四年级一班有多少人？ 6.(数感)若777…77 是3的倍数， 2024个7 中最小填多少？请写出思考过程。 32 第5课时 团能力攀升 1.填一填。 (1)(学科融合)心率是指人体每分钟 心跳的次数，李菲某次用仪器测得自 己的心率是M次/分。M是一个同时 是2、3和5的倍数的最大两位数。李 菲这次测得的心率是()次/分。 (2)(生话体验)学校组织208名同学 做游戏，如果每5人一组，至少再来 ( )人，刚好没有剩余；如果每3人 一组，至少去掉( )人，刚好没有 剩余。 (3)在里填上一个数字，使这个数 满足要求。 345 既有因数5，还是2的倍数；在 1☐5☐中填上相同的数字，使它既 是3的倍数又是奇数。 2.(生话应用)下图所示为王叔叔的车 牌，请将车牌号补充完整。 其中第一个数字是2的最小的倍数， 第二个数字是最小的偶数，第三个数 字是3的最大的因数，第四个数字既 是6的倍数又是6的因数，第五个数 字的所有因数是1、3、9。 XX■ 33 三团体操表演 一因数与倍数 练习课 视批 频改 思维拓展 3.(推理意识)王老师买了3个完全相同 的篮球，不小心把墨水染到发票上了， 只能看到总价个位上的数字是0，已知 篮球的总价在250元和300元（不包 括300元)之间，请你仔细推算一下， 总价是多少元？ 4.某影院的座位号是单号与单号相邻， 双号与双号相邻。小明的爸爸预订了 三张相邻的电影票，三张电影票的座 位号之和是30。这三张电影票的座位 号分别是多少？ 5.一个三位数用abc来表示，如果a十 c=6,且这个三位数同时是2、3和5的 倍数，那么这个数是多少？如果a十 c=6,且这个三位数分别除以2、3和5 后都余1，那么这个数是多少？ 拔尖特训数学（青岛版五四学制）四年级下 第6课时 习基础进阶 1.(社会热点)将下面的数进行分类。 第12届世界运动会于2025年8月 7日至17日在四川省成都市举办，这 是中国大陆首次举办世界运动会。比 赛历时11天，共设34个大项，60个分 项，256个小项。 质数有( 合数有( 2.猜一猜。 (1) 我们是 我们是相邻 质数。 的自然数。 它们是( )和( )。 (2)∩ 我们是 我们相加 合数 等于19。 它们是( )和( )。 3.在括号里填上合适的质数。 16=( )+( )=( )十( ) 70=( )X( )X( 14=( )+( )=( )-() 4.(社会生活)某赛事的报名人数是一个 五位数，这个数的万位和十位上的数 字相同，它既不是质数也不是合数；千 位上的数字是最小的质数；百位上的 数字是最小的合数；个位上的数字是 这个五位数的十位、百位、千位上的数 字之和。这项赛事有()人报名。 质数与合数 游 中能力攀升 5.哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的 明珠”，内容是任何大于2的偶数都可 以表示成两个质数的和。请你试举四 个例子证明这一猜想，并把例子写在 下面。 6.7m十n=40,若m、n是不同的质数， 则m、n的值分别是多少？ 7.(学科融合)梵高是后印象派绘画大 师，其作品风格独特。小宇是绘画爱 好者，临摹了梵高的一幅长方形画作， 长和宽都是质数，且周长是40dm,这 幅画作的面积最大是多少平方分米？ 34 第7课时 习基础进阶 1.把下面的合数用短除法分解质因数。 8 24 45 2.填一填。 (1)一个数的最小的倍数是36，把这 个数分解质因数是( )。 (2)三个质数的乘积是286，这三个质 数分别是( )、( )和( )。 (3)一个三位数，百位上的数字是最小 的合数，十位上的数字是最小的奇数， 这个三位数既是2的倍数，又是5的 倍数。这个三位数是()，把这个 数分解质因数是( ）。 3.(学科融合)李爷爷今年已过花甲之 年，未到古稀之年（花甲指60岁，古稀 指70岁)，李爷爷今年的岁数为合数， 且个位与十位上数字的和为质数，李 爷爷今年多少岁？请你把李爷爷的岁 数分解质因数。 三团体操表演— 因数与倍数 分解质因数 视批 频改 中能力攀升 4.*笑笑打开科学书，发现相邻两页的页 码相乘的积是702。你知道笑笑打开 的这两页的页码分别是多少吗？ 5.(生话应用)一位老师带若干名学生去 植树，一共植树312棵，每人植的数量 相同，并且不超过10棵。已知学生人 数是3的倍数，则一共有多少名学生？ 6.(推理意识)小林、小明、小宇、小军四 人是好邻居，其中小明最小，小林最 大。更巧的是他们的岁数正好是四个 连续的自然数，并且乘积是3024。小 明几岁？小林几岁？ 35 拔尖特训数学（青岛版五四学制）四年级下 第8课时 团能力攀升 1.填一填。 (1)一个数的质因数是10以内所有的 质数，这个数最小是( )。 (2)ABCDE469是爸爸手机号的后八 位，其中A是非零自然数，且既不是质 数也不是合数；B是10以内最大的质 数；C既是偶数又是质数；D是8的最 大因数；E比最小的合数多1。爸爸手 机号的后八位是( )。 (3)两个质数，它们的和是21，积是 38,这两个质数是( )和( )。 2.选一选。 (1)几个质数连乘的积一定是( A.质数 B.合数 C.偶数 (2)已知A=2×2×3×3,则A的因 数一共有( )个。 A.6 B.8 C.9 (3)乐乐在学习“质数与合数”时，发现 有一些合数的因数除了1和它本身之 外，都是质数，于是乐乐把这些数称为 “理想合数”。比如：6的因数有1、2、3、 6,这4个数中，除1和6之外，2和3都 是质数，以6是“理想合数”。下面的 数中，不是“理想合数”的为( )。 A.21 B.55 C.75 3 练习课 墨 因思维拓展 3.(五育并举)四年级一班开展劳动实践 活动，同学们在种植园栽种了几行大 蒜，每行的棵数一样多，四名同学一起 数大蒜的棵数，只有一名同学数对了， 你知道是谁吗？ 姓 名 李乐 王茜 蔡雅 刘彤 棵 数 41 43 45 47 我觉得是 理由是 4.一个三位数，每个数位上的数字都是 不同的质数，并且这个三位数既是3 的倍数，又是5的倍数。这个三位数 最小是多少？ 5.(创新应用)晨晨是四年级二班的一名 同学，他参加了本学期的数学竞赛，这 次数学竞赛共有50人参加。他的分 数、名次和岁数都是质数，它们的乘积 是2134。你知道他的分数和名次各是 多少吗？ 第9课时手 团能力攀升 1.判一判。 (1)所有的偶数都是合数。() (2)质数加上1，就会变成合数。( ) (3)在五个连续的自然数中，必有一个 是5的倍数。 () (4)将27分解质因数是27=3×9。 () 2.(数感)用5、6、7、8、9这五个数字组 数。（每个数字只出现一次） (1)最大的两位偶数是( )。 (2)最大的三位奇数是( )。 (3)一个数在700~800之间，它既是7 的倍数，又有因数3，这个数是( )。 (4)组成2个两位数，这2个数既是3 的倍数，又是偶数，这2个两位数分别 是( )。 3.明明的借书卡编号是一个九位数，且 每位上的数字都不相同。从左看起， 第一位上的数字是非零数，且既不是 质数，也不是合数；第二位、第九位上 的数字分别是最大的一位数、最小的 偶数；第三位到第五位上的数字既是 连续的奇数，又是连续的、按从小到大 顺序排列的质数；第六位到第九位上 的数字是连续的偶数。这个借书卡编 号是( ）。 37 三团体操表演 一因数与倍数 我学会了吗 视批 频改 思维拓展 4.(数学文化)我国著名数学家陈景润对 于哥德巴赫猜想的偶数情形得出如下 证明结果：任何充分大的偶数都可以 写成一个质数加上不超过两个质数的乘 积的形式，通常称“1十2”。公式如下： 一个偶数=一个质数十一个质数× 一个质数。 照样子，写一写。 18=3+5×3 40=( )十( )×( 58=( )+( )X( ) 100=( )+( )X( 5.奶奶的岁数是5的倍数，这个数十位上 的数字和个位上的数字调换位置后 恰好又是7和8的倍数。奶奶多少岁？ 6.★四年级一班有男、女学生若干人，植 树节时，男生每人种5棵树苗，女生每 人种4棵树苗。如果学生的总人数是 奇数，树苗的总棵数是偶数，那么女生 的人数是奇数还是偶数？ 拔尖特训数学（青岛版五四学制）四年级下 提分真题集训 磷碧 视批 频改 1.填一填。 (2)(德州禹城)下面四个六位数中，A (1)(东营东营区)社会主义核心价值 是1~9中任意的自然数，M是0， 观一共有24个字，24的因数有( 定能同时被3和5整除的是( )。 个，它的最小因数是( ),最大因数 A.AAAMAA B.AMMAMM 是( ),把24分解质因数是( C.AMAMAM D.AMMAMA )。 3.（杭州余杭区)月饼是一种传统美食， (2)(烟台菜州)一个十一位数的手机 寓意团团圆圆。李师傅制作了48块 号码，左起第一个数字是一个非零数， 月饼，若装在盒子里，每个盒子装的同样 且不是质数也不是合数；第二、五个数 多，数量多于3块但又比9块少，则有几 字都比最小的偶数大1；第三个数字是 种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 最大的一位数；第四个数字是最小的 奇数；第六个数字是最小的合数；第七 个数字是最小的质数；第八个数字是8 4.(青岛市南区)王爷爷要围出一个面积 的最大因数；第九个数字是7的最小 为35平方米的长方形的菜园，要求菜 倍数；第十个数字表示1个也没有；因 园的长和宽都是质数。围出这个菜园 为涉及个人信息保密，第十一个数字 需要多少米的篱笆？若每米篱笆的价 用字母a表示。这个手机号码是 格为12元，则王爷爷准备300元够吗？ ( )。 (3)(威海荣成)孙阿姨和姐妹们分别 在朋友圈集赞，四人获得的点赞个数为 连续偶数，点赞个数的总和是84，获得 5.(北京西城区)已知A、B、C、D为四个 点赞个数最多的人集了()个赞。 从小到大的连续自然数，且两位数AB 2.选一选。 为质数，两位数BC为合数，两位数CD (1)(德州庆云)下面的成语中，所含数 为质数，则其中的合数BC是多少？ 字都是合数的为( )。 A.颠三倒四 B.五脏六腑 C.七拼八凑 D.十拿九稳 38王奶奶：(40-10)×10÷2=150（平方米）120 150150一120=30（平方米）王奶奶围的菜地的 面积大，大30平方米解析：张爷爷围的菜地上、 下底的和是(40一10)米，高是8米；王奶奶围的菜 地上、下底的和是(40一10)米，高是10米。根据梯 形的面积计算公式分别求出面积，然后进行比较。 (2)长靠墙时：10米上 (40-10-10)×10=200(平方米) 宽靠墙时： 10米 (40-10)÷2×10=150(平方米) 解析：长靠墙时，长方形菜地的长是(40一10 10)米；宽靠墙时，长方形菜地的长是[(40一10)÷ 2]米，根据长方形的面积计算公式分别求出面积 即可。 7.10×4÷2=20(平方厘米)解析：观察题图可 知，四边形ADFE是一个平行四边形，它内部涂色 的三个三角形的高相等，不妨从左到右设这三个三 角形的底分别是a、b、c,高是h1,那么这三个三角 形的面积和是aXh1÷2十bXh,÷2十cXh1÷2= (a+b十c)Xh,÷2。因为EF的长是(a十b+c), 所以这三个三角形的面积之和是EF×h1÷2,且 EFXh,÷2恰好是平行四边形ADFE面积的一 半。同理，四边形BCFE也是平行四边形，它内部 涂色的三个三角形面积之和也是它面积的一半。 所以涂色部分的面积是平行四边形ABCD面积的 一半。 8.22一10=12（平方分米）解析：首先，我们观察 到三角形ABC和三角形EDC的面积相等，因此， 我们可以得出以下等式：So+S②十S④=S③十 S④。由于三角形④是三角形ABC和三角形EDC 的公共部分，我们可以简化上述等式，得到S如十 S②=S③。已知S0的值为10，S③的值为22，代入 上述等式，得到10+S②=22，解得S②=12。因 此，三角形②的面积是12平方分米。 9.8×7÷2=28(cm2)(28+12)÷8=5(cm) 解析：根据题意可进行如下分析： 涂色部分的面积一三角形ADH的 面积=12cm (涂色部分的面积+梯形DHCB的 面积)一（三角形ADH的面积十梯 形DHCB的面积)=12cm 平行四边形BCEF的面积一三角形 ABC的面积=12cm 已知三角形ABC的底和高，可以求出这个三角形 的面积，从而求出平行四边形BCEF的面积，再除 以底BC的长度，即可得到平行四边形的高，即 HC的长度。 三 团体操表演—因数与倍数 讲拍 第1课时 因数与倍数 解照 视批 频改 1.(1)X(2)X(3)X(4)V 2.图略4、8、12、161、2、4、8、16 3.5解析：根据题目要求最多能成功配出5对， 分别是1和7,2和6,3和9,4和8,5和10。 4.18解析：9的倍数有9、18、27、36、45、54… 18的因数有1、2、3、6、9、18。所以既是9的倍数， 又是18的因数的两位数是18。 5.1、3、91、2、3、6、9、18倍1、3、91、2、4、8 1、2、3、4、6、8、12、24倍1、2、4、8较小数 较大数 6.27的因数有1、3、9、27,27的倍数有27、54、 81…因为爷爷未到60岁，3×18=54（岁），所以 乐乐今年3岁，爷爷今年54岁 讲拍 第2课时练习课 解照 视批 频玫 1.(1)B(2)C(3)A 2.50以内“明九”为9、19、29、39、49；“暗九”为9、 18、27、36、45他过了9次“九” 3.56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56；其中大于 5小于15的因数有7、8、14有3种不同的装法 4.11的倍数有11、22、33、44、55…这些倍数中， 在40和50之间且是2的倍数的数是44，所以该 部电影一张电影票的价格是44元解析：先找到 11的倍数，再看是否同时是2的倍数且在40和50 之间。 5.12与18的和是6的倍数，10与25的和是5的 倍数发现：如果两个数都是同一个数的倍数，那 么这两个数的和也是这个数的倍数解析：先算 12+18=30,30÷6=5,是6的倍数；再算10+ 25=35,35÷5=7,是5的倍数。从倍数定义看，设 两数为am、bn(a、b为整数，m为公共倍数)，和为 (a十b)m,能被m整除。 讲拍 第3课时2、5的倍数特征 解照 视批 频改 1.(1)X(2)X(3)√(4) 2.(1)2(2)3580(3)101214(4)108 3.(1)830(2)103(3)130、180、310、380、 810、830、108、138、308、318(4)130、180、310、 380、810、830(5)130、180、310、380、810、830 4.因为25不是2的倍数，是5的倍数，所以只用 载质量为2吨的车不能正好一次运完，只用载质量 为5吨的车能正好一次运完解析：能不能一次运 完，要看物资质量是不是车的载质量的倍数，是倍 数关系就能正好一次运完，不是倍数关系就不能正 好一次运完。 易错分析> 没有正确理解“正好”一词 “正好”的意思是不能少，也不能有剩余。 没有理解“正好一次运完”表达的意思，就会导 致出错。 5.大于100小于等于200的5的倍数最小是105， 105-2=103(人)，大于100小于等于200的5的 倍数最大是200,200一2=198（人）这群学生最 少有103人，最多有198人解析：根据题意可得， 这群学生的总人数是一个大于100小于200的三 位数，且是比5的倍数少2的数，由此先求出大于 100小于等于200的5的倍数最小是105，大于 100小于等于200的5的倍数最大是200，再减去 2即可得出这群学生最少和最多有的人数。 6.150÷2=75解析：因为两个相邻的奇数相差 2,且这个数与两个相邻的奇数的积相差150，所以 这个数是150÷2=75。 讲拍 第4课时3的倍数特征 解照 视批 频改 1.(1)C 知识归纳》 3的倍数的特征 任何一个3的倍数除以3的商都是整数， 且不会产生余数。3的倍数的各个数位上的数 字之和也一定是3的倍数。 (2)B(3)B 2.(1)第2、3空答案不唯一，如502 (2)答案不唯一，如002 3.172+160=332(个)3+3+2=8,8不是3的 倍数，所以332不是3的倍数。所以不能正好数 完解析：利用加法求出一共有多少个兵马俑，如 果个数是3的倍数，那么能3个3个地数并且正好 数完；如果不是3的倍数，那么不能正好数完。 4.568020解析：先根据这个数同时是4、5的倍 数，确定最后一位上的数字是0，要使这个数最小， 第四位上的数字应是0，再根据这个数是3的倍 数，推出第五位上的数字可能是2、5、8，当是2时， 这个数除以4的商是整数，且没有余数，所以冬冬 的账号所对应的数最小是568020。 5.3的倍数有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、 36、39、42、45、48…5的倍数有5、10、15、20、 25、30、35、40、45…同时是3和5的倍数的有 15、30、45…45十2=47（人）解析：可以通过 列举3的倍数和5的倍数找到40到50之间同时 是3和5的倍数的数，再由分成若干个三人组跳时 剩下2人，分成若干个五人组跳时也剩下2人，可 知总人数比同时是3和5的倍数的数多2。 6.7×2024=1416814168÷3=4722…23- 2=1 中最小填1解析：本题涉及能被3整 除的数的特征这一数学知识，即一个数各个数位上 的数字的和能被3整除，这个数就能被3整除。先 求出2024个7组成的数的各个数位上的数字的 和，再看这个和除以3的余数情况，通过余数来确 定 中最小填几能使这个数成为3的倍数。 讲拍 第5课时练习课 解照 视批 频 1.(1)90(2)21(3)033(或99) 2.22369 3.已知篮球的总价在250元和300元（不包括 300元)之间，且个位上的数字是0；2+5=7，比 7大的3的倍数有9、12…十位上是9一2=7，所 以在250和300（不包括300）之间是3的倍数且个 位上是0的数只有270。总价是270元 4.30÷3=1010-2=810+2=12座位号分 别是8、10和12解析：单号即奇数，双号即偶数， 三个连续的奇数或偶数中，每相邻的两个数之间相 差2，运用移多补少法得到中间一个数是30÷3= 10,再分别减、加2求出另外两个数。 5.600或630或660或690511或541或571 解析：第1问中，因为这个数是2和5的倍数，所以 最后一位只能是0，根据a十c=6,则c=0,a=6, 又因为这个数是3的倍数，所以b可以是0、3、6 9,则这个数可以是600、630、660、690。第2问中， 这个三位数分别除以2、3和5后都余1，则这个数 的个位是1，根据a十c=6,c=1,则a=5,而这个 数减去1后是3的倍数，所以b可以是1、4、7，则 这个数可以是511、541、571。 讲拍 第6课时质数与合数 解照 频改 1.7、17、1112、2025、8、34、60、256 2.(1)23 (2)415(或910)解析：1既不是质数也不是 合数，2、3是质数，可从4开始把19依次写成两个 数相加的形式：19=4十15=5十14=6+13=7+ 12=8+11=9+10,其中5、13、7、11都是质数，不 合题意，舍去，所以是4和15或9和10。 3.11513325777173(最后 4空答案不唯一) 4.12417解析：根据题意，0、1既不是质数也不 是合数，万位和十位上的数字只能是1；最小的质 数是2，千位上的数字是2；最小的合数是4，百位 上的数字是4；个位上的数字是这个五位数的十 位、百位、千位上的数字之和，是1十4十2=7。这 个数是12417。 5.12=5+7,14=3+11,16=5+11,18=7+11 (答案不唯一) 6.m=3,n=19解析：因为7m十n=40,所以7m 可能是7、14、21、28、35，此时m可能是1、2、3、4、 5,n可能是33、26、19、12、5。因为m、n是不同的 质数，所以m是3，n是19。 7.40÷2=20(dm)20=3+17=7+1317× 3=51(dm)13×7=91(dm2)91>51这幅 画作的面积最大是91dm解析：根据题意，用40 除以2，求出长方形长与宽的和，然后把这个和拆 分成两个质数相加的形式，再根据长方形的面积= 长X宽进行解答。 讲拍 第7课时 分解质因数 解照 视批 频改 1.28 8=2×2×2224 24=2×2×2×3 24 212 2 2 3 345 45=3×3×5 315 5 2.(1)36=2×2×3×3(2)21113 (3)410410=2×5×41 3.李爷爷今年65岁65=5×13 4.702=2×3×3×3×132×13=263×3× 3=27笑笑打开的这两页的页码分别是26、27 解析：把702分解质因数，得702=2×3×3×3× 13,因为相邻两页的页码就是相邻的两个自然数， 将702的质因数组合可得2×13=26,3×3×3= 27,所以这两页的页码分别是26、27。 方法归纳》 用分解质因数法解题 解决此类问题时，要善于根据题意把实际 问题转化为数学问题。此题可将“相邻两页的 页码相乘的积是702”转化成求积是702的两 个连续自然数，先分解质因数，再根据题意 “凑”页码。 5.312=2×2×2×3×132×3=62×2×13= 5252-1=51(名)一共有51名学生解析：把 312分解质因数，得312=2×2×2×3×13，根据师 生总人数是被3除余1的数和每人植树的棵数小 于等于10，可以把312分解成312=6×52,52被 3除余1，即参加植树的师生总人数为52，每人植 树6棵，所以学生有52-1=51（名）。 6.3024=2×2×2×2×3×3×3×7,其中2×3= 6,2×2×2=8,3×3=9,那么这四个连续的自然数 是6、7、8、9，其中小明最小，小林最大，所以小明 6岁，小林9岁解析：先将3024分解质因数，再 将分解出的质因数进行组合求积，找出四个连续的 自然数，据此解答。 讲拍 第8课时练习课 视 改 1.(1)210(2)17285469(3)219 2.(1)B(2)C(3)C 3.蔡雅大蒜的棵数是合数，只有蔡雅数的45是 合数 4.375解析：既是3的倍数，又是5的倍数的数 的个位上的数字必是0或5,0不是质数，舍去，所 以个位上的数字一定是5。这个三位数要最小，那 么百位上的质数要尽可能小，最小的质数是2，当 百位上的数字是2，个位上的数字是5时，要是 3的倍数，十位上的数字可能是2、5、8，其中2、5已 经用过，8是合数，所以百位上的数字不能是2。当 百位上的数字是3，个位上的数字是5时，要是 3的倍数，十位上的数字可能是1、4、7,1不是质 数，4是合数，所以1、4舍去，所以十位上的数字是 7,即这个三位数最小是375。 5.2134=2×11×97分数：97名次：2 解析：通过把2134分解质因数，得2134=2×11× 97,根据题意，可知晨晨的岁数不可能是2和97， 所以他的岁数是11。因为共有50人参加数学竞 赛，所以剩下的2和97中，2是他的名次，97是他 的分数。 讲拍 第9课时 我学会了吗 解照 视批 频改 1.(1)X(2)X(3)V(4)X 2.(1)98(2)987(3)798或756(4)78、96 3.193578642 4.答案不唯一，如55771735519 5.7×8=56把56十位上的数字和个位上的数 字调换位置是65，奶奶65岁 6.奇数解析：根据题意，女生每人种4棵树苗， 说明女生种的树苗总棵数是偶数，因为树苗的总棵 数是偶数，偶数一偶数=偶数，所以男生种的树苗 总棵数就是偶数。而男生每人种5棵树苗，因为 5×偶数=偶数，所以男生的人数一定是偶数。又 因为学生的总人数是奇数，根据奇数一偶数=奇 数，可知女生的人数一定是奇数。 知识归纳》 奇数与偶数的和、差、积的奇偶性 同奇偶加减必得偶，异奇偶加减必得奇； 乘数有偶积必偶，同奇相乘必得奇。 讲拍 提分真题集训 解照 视批 频改 1.(1)812424=2×2×2×3 (2)1391342870a (3)24解析：因为四人获得的点赞个数为连续偶 数，总和是84，连续偶数之间相差2，那么中间两个 数的和等于84÷2=42。中间两个连续偶数的和 是42，它们的平均数就是42÷2=21，所以中间 两个连续偶数是20和22，每两个连续偶数之间相 差2，据此可求出这四个偶数分别是多少，再比较 四个偶数的大小，即可求出获得点赞个数最多的人 集了多少个赞。 2.(1)D(2)C 3.48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中， 在3和9之间的因数有4、6、8，即有3种装法：每 盒装4块、6块、8块48÷4=12（个）48÷6= 8(个)48÷8=6（个）有3种装法每盒装4块 需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装 8块需要6个盒子 4.35=5×7(5+7)×2=24(米)24×12= 288(元)288<300够解析：先把35分解质因 数为35=5×7,5和7都是质数，即7米是长，5米 是宽，再根据长方形周长=（长十宽）×2求出围出 这个莱园需要多少米的篱笆；再乘每米篱笆的价格 12元求出总价，并与300元比较。 5.78解析：因为A、B、C、D是连续自然数且用 于组成两位数，所以A的取值范围是1到6。通过 逐一验证A从1到6的所有可能值，找出满足所 有条件的情况即可。 讲拍 第三单元整合提升 解照 视批 频改 1.9720解析：先依据2、5的倍数特征确定个位 为0。再根据3的倍数特征，从非0数字选3个组 成3的倍数，为使数最大优先选大数字，经尝试9、 7、2与0组合的和是18，符合3的倍数特征，最后 将这四个数字从大到小排，得到最大四位数9720。 2.937140解析：因为这个数既是2的倍数，又是 5的倍数，因此个位上的数字一定是0，也就是c= 0。要使这个数最小，且满足a、b、c是不同的数 字，百位上的数字一定是1，也就是a=1。接着只 要考虑这个数是3的倍数即可，因为9十3十7十 1十0=20，所以只要b取4或7就可以。显然最小 的符合要求的数是937140。 3.最大是17970，最小是17010解析：既是偶数， 又要含有因数5，个位上的数字必然为0；要含有因 数3，各个数位上的数字之和必然是3的倍数，所 以可以推出最大是17970，最小是17010。 4.40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，因为不是一 次全部放进的，也不是一根一根放进的，所以1和 40不符合题意一共有6种放法，每次分别放 2根、4根、5根、8根、10根、20根 5.72=1×72=2×36=3×24=4×18=6×12= 8×9m和n的值可能分别是2和36,36和2， 3和24,24和3,4和18,18和4,6和12,12和6,8 和9,9和8解析：本题中m和n是72的一组因 数，并且都大于1，只要排除1和72即可。 6.2024÷4=5062024年是闰年，有366天 366=2×3×61学生的人数是61解析：2024年 是闰年，所以2024年有366天，把366分解质因 数，得366=2×3×61，根据题意，学生的人数是最 多的，所以学生的人数是61。 7.360=2×2×2×3×3×52×2=42×3= 6甲、乙、丙、丁的年龄分别为3岁、4岁、5岁、 6岁，其中年龄最小的是3岁解析：由题意可知， 4个小朋友的岁数是4个连续的自然数，且积是 360.360分解质因数可得360=2×2×2×3×3× 5,由此可得到甲、乙、丙、丁的年龄分别为3岁、 4岁、5岁、6岁。 8.2002和4634是7的倍数2002和4563是 13的倍数解析：2002的末尾三位数减末尾三位 数之前的数的结果是0，所以2002既是7的倍数 也是13的倍数；4634的末尾三位数减末尾三位数 之前的数的结果是630,630是7的倍数，所以 4634是7的倍数；4563的末尾三位数减末尾三位 数之前的数的结果是559,559是13的倍数，所以 4563是13的倍数。 9.能组成6个是11的倍数的四位数，分别是 1023、1320、2013、2310、3102、3201解析：一个数 的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的 差（大数一小数）是0或者是11的倍数，这个数就 是11的倍数。因为(0十3)一(1十2)=0，所以可以 把0和3放在奇数位上，把1和2放在偶数位上， 也可以把0和3放在偶数位上，把1和2放在奇数 位上，注意0不能放在最高位上。 10.答案不唯一，如2220 易错分析>》 没有理解3的倍数的特征 解题时易因没有理解3的倍数的特征，误 认为一个数个位上的数字是3的倍数，这个数 就是3的倍数。 11.31515=3×5252 52=2×2×13 5 226 13 4 248 48=2×2×2×2×3 224 212 26 3 易错分析>》 未掌握分解质因数的方法 分解质因数时，往往因不能使所有的因数 都是质数而出错，做完后一定要检查每一个因 数是不是质数。 12.这列数每个数的奇偶性排列规律为奇、奇、偶 奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇…2024÷3=674… 2偶数的个数为674，奇数的个数为674×2十2 1350这列数的前2024个数中，共有674个偶数， 1350个奇数解析：这列数的排列规律是从第三 个数起，每一个数等于前两个数的和。首先分析这 列数每一个数的奇偶性情况，可以得出这列数每 个数的奇偶性为奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、 奇、…。容易看出，这列数是按“奇、奇、偶”每三个 为一组周期变化的。每组的前2个数是奇数，第 3个数是偶数。用个数除以3，算出余数，进而求得 偶数和奇数的个数。 四 中国的热极一认识负数 讲拍 第1课时认识负数 解照 视批 频改 1.(1)C(2)B(3)C 2.(1)十1如图所示 (2)一1如图所示解析：小青虫从0点先向东 爬3米是十3米，再向西爬4米是以十3米处为出 发点向西爬4米。利用题图，从十3米处向左数 4格，可知小青虫现在的位置是一1米处。 西 ☆， 东 -4-3-2-10+1+2+3+4 方法归纳>》 用数形结合法确定位置问题 在一条直线上确定移动的点的位置时，可 以用数形结合法依次画出，点在直线上的移动 轨迹，最后的落，点就是要找的位置。 3.收到的钱：200十50+17=267（元）转出的钱： 28+30+96+22=176(元)郝爷爷上个星期收到 的钱比转出的钱多267一176=91（元） 4. ℃ ℃ ℃ ℃ -50 50 50 50 40 40 40 40 -30 30 30 30 -20 20 20 -20 10 10 10 10 0 0 0 -10 -10 -10 --10 20 20 20 20 第一季度第二季度 第三季度第四季度 (1)二四(2)建议他第二季度去，因为气温适宜 (合理即可) 讲拍 第2课时 练习课 解照 视批 频改 1.(1)+5(2)22 2. 1.5 0.75 -1.25 1 2 0 3.10.29.910.5109.8(10.2+9.9+ 10.5十10十9.8)÷5=10.08（千克）解析：正数表 示比标准的千克数多，负数表示比标准的千克数 少，先分别算出每箱桃子的实际质量，再算出这 5箱桃子的平均质量。 4.355345不合格 5.7000-6800=200(米)这条鲨鱼所在的高度 是-200米 6.115÷50=2.3着陆区的高度应记为-2.3 △ 0 +1 讲拍 第3课时 我学会了吗 解照 视批 频改 1.(1)A(2)A 2.乐乐：+8cm欢欢：-5cm 笑笑：十3cm 楷楷：十14cm瑞瑞：0cm 3.比12月15日9时早13时是12月14日20时 9时-7时=2时所以北京时间12月15日9：00， 纽约时间是前一天的晚上8点，巴黎时间是凌晨 2点，应当打电话给爸爸