第10讲 立体图形的直观图（六大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第10讲 立体图形的直观图 【人教A版】 模块一 立体图形的直观图 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【题型1 斜二测画法的辨析】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【变式1.1】（24-25高一下·四川乐山·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【变式1.2】（24-25高一下·河南驻马店·月考）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ） A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【变式1.3】（24-25高一·全国·课后作业）利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【题型2 画平面图形的直观图】 【例2】（24-25高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2.1】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2025高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【变式2.3】（24-25高一·湖南·课后作业）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图： (1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形． 【题型3 画空间几何体的直观图】 【例3】（25-26高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【变式3.1】（25-26高一下·全国·课堂例题）画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【变式3.2】（24-25高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【变式3.3】（24-25高一·湖南·课后作业）画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 【题型4 由直观图还原几何图形】 【例4】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的直观图，其中，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【变式4.1】（24-25高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【变式4.3】（24-25高二上·贵州遵义·月考）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【题型5 斜二测画法中有关量的计算】 【例5】（24-25高一下·河北·月考）如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为已知求的周长（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【变式5.3】（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D． 【题型6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 【例6】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【变式6.2】（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【变式6.3】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 2．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 4．（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 5．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．4 7．（24-25高一下·辽宁·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 10．（24-25高一下·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 11．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是___________三角形． 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课前预习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 16．（2025高一·全国·专题练习）根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称并画出它们的直观图． (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的几何体； (2)等腰梯形绕着过两底边中点的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体； (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 19．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 立体图形的直观图 【人教A版】 模块一 立体图形的直观图 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【题型1 斜二测画法的辨析】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【解题思路】根据正方体的直观图可判断；利用矩形邻边满足的直观图可判断,易知正确. 【解答过程】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确. 项，如图，矩形的邻边满足，其直观图的邻边是相等的，故错误. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一下·四川乐山·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【解题思路】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【解答过程】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一下·河南驻马店·月考）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ） A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【解题思路】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【解答过程】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【变式1.3】（24-25高一·全国·课后作业）利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【解题思路】由斜二测画法规则直接判断即可. 【解答过程】由斜二测画法规则知：①正确； 平行性不变，故②正确； 正方形的直观图是平行四边形，③错误； 因为平行于轴的线段长减半，平行于轴的线段长不变，故④错误． 故选：A． 【题型2 画平面图形的直观图】 【例2】（24-25高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】按照直观图的概念依次判断即可. 【解答过程】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【解答过程】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了. 故选：C. 【变式2.2】（2025高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【答案】作图见解析 【解题思路】根据斜二测画法的步骤，即可作出直观图. 【解答过程】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③.    【变式2.3】（24-25高一·湖南·课后作业）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图： (1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【解题思路】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； （2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； （3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图. 【解答过程】（1）解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. （2）解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 作轴，且，连接， 则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示. （3）解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 设点、在轴上的射影点分别为、， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，，， 在轴上截取，作轴且， 作轴，且，作轴，且， 作轴，且，作轴，且， 连接、、、、、、、， 则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示. 【题型3 画空间几何体的直观图】 【例3】（25-26高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【解题思路】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【解答过程】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 【变式3.1】（25-26高一下·全国·课堂例题）画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据斜二测画法的方法建系,再分别画出底面与顶点即可. 【解答过程】画法：（1）画轴． 画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）． （2）画底面． 以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图． （3）画顶点，在z轴上截取，使． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）． 【变式3.2】（24-25高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【答案】直观图见解析 【解题思路】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解. 【解答过程】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：      【变式3.3】（24-25高一·湖南·课后作业）画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 【答案】(1)画法见解析， ； (2)画法见解析， 【解题思路】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图 【解答过程】（1）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD， 第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接， 第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图. （2）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm. 第二步：过作轴，使，在上取点，使 =4cm，连接，. 第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图. 【题型4 由直观图还原几何图形】 【例4】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的直观图，其中，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解题思路】由斜二测画法的定义求出以及长度关系即可. 【解答过程】轴，轴，． 又，所以， 则是直角三角形，但不是等腰三角形． 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【解答过程】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【变式4.2】（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【解题思路】画出原图可得答案. 【解答过程】 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·贵州遵义·月考）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【解题思路】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状． 【解答过程】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形， 故选：A. 【题型5 斜二测画法中有关量的计算】 【例5】（24-25高一下·河北·月考）如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【解答过程】如图1，根据斜二测画法的性质可得，作，垂足为， 作，垂足为，则和是两个全等的等腰直角三角形， 从而，故． 画出原四边形，如图2，则，且， 故． 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为已知求的周长（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案． 【解答过程】根据题意，作出原图， 由斜二测画法，在原图中 所以故的周长为 故选：C 【变式5.2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【解题思路】对于A、B，还原平面图进行分析判断，对于C，过作交于点，然后计算四边形的周长判断，对于D，计算直角梯形的面积进行判断. 【解答过程】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 故选：D． 【变式5.3】（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可. 【解答过程】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以. 故选：A. 【题型6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 【例6】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面图形和直观图的关系，即可求解. 【解答过程】画出原平面图形， 根据平面图形和直观图的关系可知，， 则，则，， 所以这个平面图形的面积为. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴， 轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【解答过程】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【解答过程】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 【变式6.3】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【解题思路】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【解题思路】由斜二测画法逐一判断即可. 【解答过程】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【解答过程】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【解题思路】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误. 【解答过程】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 4．（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，作出三视图对应的原图形，进而求得周长. 【解答过程】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是. 故选：A. 5．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解题思路】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【解答过程】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据斜二测画法的规则和线段的长度关系即可求出的长. 【解答过程】在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 由直观图可知，，. 在平面图中，，所以根据勾股定理. 故选：C. 7．（24-25高一下·辽宁·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依据题意得到，然后还原原图形计算即可. 【解答过程】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为 故选：B. 8．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【解答过程】设轴与交点为D，因为轴，轴，所以， 因为轴，所以四边形为平行四边形，故. 又，结合轴，得，故. 所以四边形面积为， 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形OABC的面积为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【解题思路】利用斜二测画法的概念，逐一判断选项. 【解答过程】对于A项，由正方形的直观图是平行四边形可知A错误， 对于B项，如图，矩形的直观图是平行四边形， 最长的线段在直观图中对应的线段不是最长，故B项错误； 对于C项，线段上的点在直观图中相对位置不变，故线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故C项正确； 对于D项，如图所示： 直角梯形的直观图可能是等腰梯形，故D项正确． 故选：CD. 10．（24-25高一下·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【解题思路】首先利用斜二测画法，表示图象的直观图，再根据几何关系，表示长度，判断选项. 【解答过程】由题意可画出其直观图如下，    其中 ，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC. 11．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【解题思路】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【解答过程】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是___________三角形． 【答案】直角 【解题思路】根据斜二测画法的规则判断即可. 【解答过程】在斜二测画法中，平行于轴的线段在原图中平行于轴，平行于轴的线段在原图中平行于轴， 且原图中轴互相垂直， 因为轴，轴，还原后， 即，所以是直角三角形. 故答案为：直角. 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【解题思路】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【解答过程】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 【答案】④ 【解题思路】根据斜二测画法的规则，结合题意，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于①，如图所示，设的平面直观图是边长为的等边， 根据斜二测画法，可得为不等边三角形，所以①不正确； 对于②，由斜二测画法的规则，两条相交直线的直观图仍为两条相交直线，所以②错误； 对于③，利用斜二测画法，两条垂直的直线的直观图可能是垂直直线，也可能是相交不垂直的直线，所以③错误； 对于④，如图所示，设梯形为等腰梯形，其中，且， 由斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，可得直角梯形的直观图为等腰梯形， 所以直角梯形的直观图可能是等腰梯形，所以④正确； 对于⑤，根据斜二测画法的规则知，在利用斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半， 若一个直角三角形的内角是，其三边的比为，无论怎么放置，画出其直观图后都不可能是等边三角形，所以⑤错误. 对于⑥，根据斜二测画法的规则知，一个平行四边形的直观图中其对角线一定相互平分，所以⑥错误； 故答案为：④. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课前预习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【解题思路】由斜二测画法的规则画出直观图即可． 【解答过程】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使，． ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． ③分别过点作，，，且． ④连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 16．（2025高一·全国·专题练习）根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称并画出它们的直观图． (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的几何体； (2)等腰梯形绕着过两底边中点的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体； (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）（2）（3）根据几何体特征的文字描述，得出正确的几何模型，再用斜二测画法画出它的直观图. 【解答过程】（1）该几何体是正六棱柱，其直观图如图： （2）该几何体是圆台，其直观图如图： （3）该几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图： 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【解题思路】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【解答过程】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析 【解题思路】按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图，以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图. 【解答过程】先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图； 以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图． 直观图如图所示． 19．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【解题思路】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $