精品解析：浙江新昌中学2025-2026学年第二学期3月调研考试高二数学试题

新昌中学2025学年第二学期3月调研考高 高二数学试题 考试时间：120分钟；命题人：俞兴洪 审题人：章晓英 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的标准方程为，所以，，所以， 所以抛物线的准线方程为. 2. 书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（ ） A. 24种 B. 15种 C. 12种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，从四层书架中选一层空着，有种方法； 第二步，将3本不同的书放入剩下的3层书架中，每层一本，有种方法； 则不同的放法总数有种. 故选：A. 3. 在数列中，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的周期，最后求出结果． 【详解】数列中，已知，， 则， ， ， ， 所以数列的周期为3， 故． 故选：A 4. 正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【详解】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 5. 设，则a除以9所得的余数为 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以a除以9所得的余数为， 故选：D 6. 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可求得点的坐标，由，从而可得答案 【详解】依题意，设，则，， ， 又，，， ，即， ． 设该椭圆的离心率为e，则， 椭圆的离心率． 8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（   ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 10. 2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ） A. 每个景点都有人去的情况共有24种 B. 有景点没人去的情况共有256种 C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种 D. 4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用全排列公式进行求解；对于B，先得到总的情况数，在A基础上得到有景点没人去的情况；对于C，先将四个人分为3组，从而求出恰有1个景点没人去的情况数；对于D，方法一：利用间接法进行求解；方法二：分两种情况进行求解，相加可得答案. 【详解】对于A，每个景点都有人员选择去的情况数为，故A正确； 对于B，4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为， 结合A，则有景点没人去的情况数为，故B错误； 对于C，先将四个人分为3组，则有种情况， 故恰有1个景点没人去的情况数为，故C正确； 对于D，方法一：4人从“玄武湖”“明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共种情况， 若4人均选择同一个景点，情况为2种， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为； 方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有种情况， 若平均分为两组，则有种情况， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（ ） A. 过点可作两条直线与曲线相切 B. 曲线是某个函数的图象 C. 过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2 D. 曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据绝对值分类求出函数在各个区间的解析式；再根据切线方程、函数定义、距离公式求面积、中点弦和韦达定理判断选项. 【详解】对于：， 当，方程为，曲线在第一象限的部分为的图象； 当，方程变为，无解，曲线不经过第二象限； 当，方程变为，曲线在第三象限的部分为的图象； 当，方程变为，曲线在第四象限的部分为的图象. A选项：由图知曲线分布在第一、三、四象限，易知在第四象限过点无法作曲线的切线， 而在第一象限，由，设切点为，则切线方程为， 将代入上式，可得，化简得，该方程显然无解， 所以在第一象限也无法作出曲线的切线，同理在第三象限也作不出切线，故A错误； B选项：由上分析，可知当时，，当，， 当，，所以该曲线是一个分段函数的图象，故B正确； C选项：如图，因在曲线上，则其到和的距离之积即为四边形的面积， 设，由距离公式得的面积为， 在曲线的第一象限部分，因，则； 在曲线的第四象限部分，因，则， 因为，所以时，取得最大值； 在曲线的第三象限部分，由，则. 综上分析，的最大值为，故C正确； D选项：点在第一象限，不妨设都在第一象限， 由为的中点，可得， ，两式相减得， 则，则直线的方程为， 联立消元可得，即 因，且，且， 故存在这样的线段被点平分，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则正整数的值为_____. 【答案】5或7 【解析】 【分析】根据组合数的性质化简，列出方程，并计算出结果. 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 故答案为：5或7. 13. 已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 14. 已知是函数的切线，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案． 【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m）， 函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1， 则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1， 又由切线的方程为y＝kx+b， 则k1，b＝lnm﹣1， 则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1， 设g（m）＝lnm1，其导数g′（m）， 在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数， 在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数， 则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2； 故答案为ln2+2． 【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若展开式中前三项的系数成等差数列. （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理及等差数列的性质，列出相应的方程，求解可得的值； （2）利用二项式展开式的通项，分析可得所有的有理项. 【小问1详解】 因为有项，所以，所以. 展开式中前三项依次为， 其系数分别为. 因为前三项的系数成等差数列，所以，即， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 展开式的通项为. 当能被整除时，为整数，为的有理项. 因为，所以或或. 当时，； 当时，； 当时，. 所以展开式中的有理项为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． （1）若，证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 17. 已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）讨论当和当时，根据递推公式可求出数列通项公式，验证当是否成立，根据等比数列的定义可求出通项公式； （2）由（1）可得到，再根据错位相减法即可求出； （3）由（1）可得，根据裂项相消法可求出，再根据不等式恒成立即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 【小问2详解】 ① ② ①-②，得 ， 所以 【小问3详解】 由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点为得椭圆右焦点，即，根据离心率可解得，再利用椭圆基本关系求得的值，从而确定椭圆的标准方程； （2）根据的坐标关系，分别表示出和的面积，利用面积比条件建立与的模长关系，设直线的参数方程后联立椭圆，通过韦达定理结合的条件建立关于斜率参数的方程并求解； （3）先由直线的方程与联立求出点坐标，进而得到直线的斜率，结合的斜率构建比值表达式，代入直线参数方程进行化简，最后利用韦达定理消去坐标变量，判断比值是否为常数. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即. 椭圆离心率，得. ，因此椭圆的方程为： 【小问2详解】 ，，. 面积， 面积. 由，得： 因为在两侧，故异号，不妨设. 设直线，与椭圆联立得： 设，， 则 代入，得： 消去得： 所以，斜率. 【小问3详解】 直线， 令得： 直线的斜率. 于是： 代入， ， 由韦达定理得：，， 可得： 代入上式，分子：， 分母：. 所以： 19. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，没有极值点；当时，的极大值点为，没有极小值点；（2）． 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，对进行分类讨论从而求出答案； （2）化简，得到在区间上恒成立．令，由指、对运算得到以及，得到 ，从而求出的取值范围． 【详解】解：（1）的定义域为， ． 当时，故函数在上单调递增，没有极值点． 当时，，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以函数的极大值点为，没有极小值点． 综上：当时，没有极值点；当时，的极大值点为，没有极小值点； （2）， 即， 整理得， 因为，所以在区间上恒成立． 令， 令，则． 当时，，单调递减；当时， ，单调递增． 所以，即， 所以， 所以， 当时等号成立． 因为在区间上单调递增，且，， 所以存在，使得成立， 所以实数的取值范围为． 【点睛】本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，以含参函数为载体考查导数的运算及不等式恒成立问题的求解，同时考查逻辑思维能力和运算求解能力． 求解本题第（2）问的难点是：（1）由指、对运算得到；（2）利用，得到，进而对进行放缩．另外在得到时，要验证等号是否成立，避免丢分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新昌中学2025学年第二学期3月调研考高 高二数学试题 考试时间：120分钟；命题人：俞兴洪 审题人：章晓英 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（ ） A. 24种 B. 15种 C. 12种 D. 6种 3. 在数列中，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则a除以9所得的余数为 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（   ） A. B. C. D. 10. 2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ） A. 每个景点都有人去的情况共有24种 B. 有景点没人去的情况共有256种 C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种 D. 4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（ ） A. 过点可作两条直线与曲线相切 B. 曲线是某个函数的图象 C. 过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2 D. 曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则正整数的值为_____. 13. 已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 14. 已知是函数的切线，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若展开式中前三项的系数成等差数列. （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． （1）若，证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 19. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $