重难点05 函数图象中动点问题8类题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题05 函数图象中动点问题 题型1 根据题目叙述选择正确的图象（常考题） 题型5 根据图象得出信息求面积（高频题） 题型2 从图象中获取信息判断结论是否正确（常考题） 题型6 根据图象得出信息求周长（高频题） 题型3 根据图象得出信息求图中参数（高频题） 题型7 函数图象动点问题求最值 题型4 根据图象得出信息求线段长度 题型8 动点图象问题解答题综合 题型一 根据题目叙述选择正确的图象（共7小题） 1．（2026·湖北武汉·二模）如图，正三角形的顶点的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（     ） A． B． C． D．        【答案】A 【分析】当时，，当时，，把相关数值代入后判断相应的函数关系式为哪类函数即可． 【详解】解：∵正三角形的顶点B的坐标为， ∴， ∴ 过点作于点， ∴， ， ∴点A点坐标为， ①当时，如图1， ∴， ∴，为开口向上的二次函数， 当时，如图2， ∴， ∴， ∴， ∴，为开口向下的二次函数， 综上，选项A正确． 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在菱形中，，，动点M以每秒1个单位长度的速度自点A出发沿线段运动到点B，同时动点N以每秒2个单位长度的速度自点B出发沿折线运动到点D．若设动点M运动的时间为，的面积为y（当点B，M，N共线时，），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形性质、动点问题的函数图象，掌握分阶段推导面积函数，根据函数类型判断图象形状是解题的关键． 分在上和在上两个阶段，分别推导面积与时间的函数表达式，再判断函数图象形状． 【详解】解：阶段1： 在上（ ） （从向运动， ） 的高 面积 ，开口向下的抛物线， 时 阶段2： 在 上（） 到的距离为菱形的高（），高 面积 时 时 综上所述，函数图象阶段1是开口向下的抛物线（ ），阶段2是斜率为负的直线（）． 故选：D． 3．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，正方形的边长为4，动点从点出发，沿的路线匀速移动，设点经过的路线长为，的面积为，则能大致反映与的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分4种情况进行讨论，分别求出与的关系式，进行判断即可. 【详解】解：当，即点在上时，； 当，即点在上时，，； 当，即点在上时，； 当，即点在上时，，； 综上：符合题意的图象大致为： . 4．如图，在长方形ABCD中，，，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D→A的路径运动，则的面积y（单位：）与点E运动的时间x（单位：s）的函数图象大致表示为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何动点问题的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 根据题意，当点分别在、、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】解：①当点在段运动时，的面积随的增大而增大，运动到点时面积最大，为，此时； ②当点在段运动时，的面积不变，始终为，运动到点时，； ③当点在段运动时，的面积随的减小而减小，当点与点重合时，，此时． 综上可知，选项A的图象符合要求． 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，沿的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，点P在上运动点P在上运动（不包含点B）时，此时不存在；再分别求出点P在上运动（不包含点D）和点P在上运动（不包含点C）时y与x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：当点P在上运动，即时，此时不存在； 当点P在上运动（不包含点D）时，即时，，则， 当点P在上运动（不包含点C）时，即时，则， 当点P在上运动（不包含点B）时，此时不存在； ∴四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 7．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点D．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是到的过程，二是到的过程，分别用含的式子表示出，再结合图象判断即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时，， 则， ∴， ∵四边形的面积为y， ∴ ， ∴当时，抛物线开口向下； 当点P沿路径运动时， 即时， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴． ∴当时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A． 故选：A． 题型二 从图象中获取信息判断结论是否正确（共7小题） 1．（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵点E的坐标为， ∴，此时点与点重合， ∴， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止， ∴点的路程是点的2倍， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时， 的面积最大为， 故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，； 综上，只有选项D错误． 2．（2026·山东日照·一模）如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 【答案】D 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时（秒）， ∴， ∴点Q的运动速度为每秒（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时，此时， ∴边上的高为， ∴， 当点Q与点C重合时，的面积最大，此时，， ∴，， 当时， 当时，， ∴曲线段是函数的图象的一部分． 3．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图一，在中，，点是中点，有一动点从A到B再到运动，其运动的路程为，点与点之间的距离为，如图二为关于的函数图像，下列表述不正确的是（） A．点的纵坐标为4 B．点的意义是当点运动到某一个位置时，最小 C．点的横坐标为5 D．点的横坐标为14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的长，结合点的运动路径，分析y（即的长）随x（路程）的变化情况，确定图像上关键点E，F，H，G的坐标含义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵，，M是中点， ∴，， 在中，． 点P的运动路径分为两段： 第一段：P从A运动到B．此时x从0增加到5．当时，P在点A，，对应图像上的点，故A选项正确； 当P在上运动时，的长度先减小后增大，当时，最小，对应图像上的最低点F，故B选项正确； 当时，P到达点B，此时，对应图像上的点，故C选项正确； 第二段：P从B运动到M，此时x从5增加到．当P到达点M时，，对应图像上的点G，此时，即点G的横坐标为8，故D选项错误． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 【答案】C 【分析】根据函数图象分析点的运动过程：时，随增大而增大，对应在上运动，得出长度及面积；时，不变，对应在上运动，得出长度；时，减小至0，对应在上运动，得出的值； 结合平行四边形性质计算周长、面积及最短时的时间，逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，，即， ，其中为边上的高， ． 当时，点在上运动，保持6不变， ， 四边形是平行四边形， ，． 当时，点在上运动， 运动时间为秒， ，故A选项正确； 的周长，故B选项正确； 的面积，故D选项正确； 当时，线段最短，此时， 在中，，， ， 秒， 即秒时，最短，故C选项错误． 5．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据函数图象提取A、B两城距离，计算甲、乙的速度，再逐一分析5个结论：通过行程公式验证两城距离、出发与到达时间差、第一次相遇位置、图象中a和b的值，最后分5个时间段列方程求解两人相距时的t值，统计正确结论的个数． 【详解】解：由图象可知，A、B两城相距，故①正确． 乙去程的速度， 乙去程行驶所用时间为， 甲的速度， 甲到达B城的时间， 乙比甲晚出发1h，第一次到达B城的时间为，比甲早到，但乙返回接甲后，两人最终同时到达B城（），故②错误． 由图可得两人第一次相遇时， 此时距出发点，故③正确． 乙返回时的速度为， 设相遇时间为，则， 解得，即， 又，故④正确． 分情况讨论相距， 乙出发前（）： ，解得 乙追上甲之前（）： ，解得 乙超过甲（）： ，解得 乙返回接甲（）： ，解得 相遇后（）： 两人同速同向，距离为0，不可能相距． 综上，的值为或或或，故⑤正确． 正确的结论为①③④⑤，共4个． 6．（2026·广西南宁·一模）在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 【答案】D 【分析】先根据图象分析物距u与物像间距L的变化关系，再结合及凸透镜成像规律进行判断即可． 【详解】解：A项：由图象可知，随着物距u的增大，纵坐标L先减小后增大，故A说法正确； B项：由图象可知，当时，， ∵， ∴，故B说法正确； C项：当时，，则， 当时，， ∴物距从增大到，像距减小，故C说法正确； D项：由图象可知，当时，对应的物距u的范围是或，故D说法错误， ∴说法错误的是D． 7．（2026·浙江·模拟预测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图像如图所示．下列选项正确的是（   ） A．正方形的对角线长为 B．当时，重叠面积 C．当时，重叠面积 D．函数图像的最高点的坐标为 【答案】B 【分析】由图及图知：当及时，，推出，可判断A；当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，得，证明四边形是正方形，则重叠面积，可判断B；当时，如图，设交于点，交于点，得，四边形是正方形，则重叠面积，可判断C；由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，则重叠面积，可判断D。 【详解】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线， ∴，，，， ∴， 由图及图知：当（即点与点重合）时，， 当（即）时，， 此时， ∴，故选项A不正确； ∴， ∴，即正方形与正方形的边长为， 当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴重叠面积，故选项B正确； 当时，如图，设交于点，交于点， ∴，四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠面积，故选项C不正确； 由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值， 此时正方形与正方形重合， ∵正方形的边长为， ∴此时重叠面积， ∴函数图像的最高点的坐标为，故选项D不正确。 题型三 根据图象得出信息求图中参数（共7小题） 1．（2025·河南信阳·一模）如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，得，则，最后根据勾股定理可知，进而即可求解． 【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为， 过点作于点，如图， ，即． ，即点是的中点， ， ， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理可知，， ． 【点睛】本题以动点函数图像为载体，结合直角三角形斜边中线、中位线性质与面积公式，将图像信息转化为几何线段长度，通过勾股定理求解，凸显了“数形结合”与“转化化归”的解题核心思想． 2．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先对函数图像进行分析，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时，，由，，结合勾股定理得，证出，得，最终解得，结合点到轴的距离为，即可得出结果． 【详解】解：∵直线轴， ∴， 如图，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时， 当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时， ， 结合函数图像可知，， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，， ∴点到轴的距离为，即． 【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 3．（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图2的函数图像可求、、、，作，，连接，交于点，，可由求，根据勾股定理求出，即可判断点与点重合，从而可求． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∵中，， ∴． ∵当，即点运动到点，， ∴． 如图，作，，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时最小． ∵， ∴， ∴． ∴点与点重合， ∴． 4．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 【答案】 4 16 【分析】连接，，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 5．（2025·吉林·模拟预测）如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，由图象可得，点从点到点用时为，为，则，由三角形面积公式计算得出，由图象可得，当点从点到点时，用时，则，由勾股定理可得，由菱形的性质可得，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 由图象可得，点从点到点用时为，为， ∵点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B， ∴， ∴， ∴， 由图象可得，当点从点到点时，用时， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 7．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故答案为：． 题型四 根据图象得出信息求线段长度（共7小题） 1．（2026·湖北黄冈·一模）如图1，在中，D是边上的定点，点P从点A出发，沿着折线的方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点，则（1）________，（2）点N的纵坐标是________． 【答案】 20 【分析】（）根据图得到，当与重合时，即可得到的长； （）根据图得到的长度及点到的距离, 点的纵坐标表示点到的距离，再根据勾股定理及其逆定理，三角形面积公式求出点到的距离即可． 【详解】解：（）根据图得到，当与重合时，； （）根据图，，，，点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，如图， 在中利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点的纵坐标是． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设B，P两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则____________． 【答案】8 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长． 【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，． 利用两点之间线段最短，得到． 的最大值为， ． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为， 则， ， 即：， ， 解得或， 由于， ． ， 故答案为：8． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 5．（25-26九年级下·河南南阳·月考）如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运动速度乘以时间，可得的位置，根据线段的和差，可得的长，最后根据勾股定理，可得的长度． 【详解】解：根据图象可知：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：点运动秒时，点运动了，此时，点在上，如图， ∴， 在中，由勾股定理得：． 6．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图1，在中，，于点，动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C为止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据函数图象得出的面积为3，，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式、勾股定理和完全平方公式，即可求得的长． 【详解】解：根据函数图象可知，点运动到点时的运动路程，点运动到点的位置时，的面积达到最大值3，即的面积为3． ，， ，，，， ，， ，， 即，． ， ，， 两式相加得，， ． 7．如图1，在正方形中，点是边的中点，连接，，动点在折线上运动，过点作于点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，到点时停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据勾股定理求得，根据图2可得当重合时，重合，此时，解方程，即可求解． 【详解】解：设， ∵在正方形中，点是边的中点， ∴，， ∴， 根据图2可得当重合时，重合，此时 ∴，解得：， ∴． 题型五 根据图象得出信息求面积（共7小题） 1．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 【答案】 30 336 【分析】根据图象可推出，；当时，，然后利用勾股定理即可求得此时和的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵点P沿B→C→A的方向匀速运动， ∴点P在从B→C时，的长度是均匀增加的， ∴由图（2）可知，; （2）∵当点P运动到点A时，此时；当取得最小值时，此时， ∴由图（2）可知，；当时，， ∴当时，，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图1，动点P从的顶点A出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的时间为，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B， ∴，，， ∴， 如图，作交于D，作交于E， 由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应， 即，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴的面积． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，点同时从点出发，匀速沿向点运动，两点同时到达点，并停止运动．设运动时间为，的面积为，与之间函数关系的图象如图，则矩形的面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据函数图像的分段特征，结合点Q的运动路径，分阶段确定点P、Q的运动速度，再通过面积公式求出矩形的长和宽，最终计算矩形面积． 【详解】解：设点的速度为，点的速度为，， 两点同时从出发，同时到达，总时间为， 点的运动路程为，点的运动路程为 由函数图像可知： 当时，点到达点， ． 当时，，此时点与点重合，的高为， ，即，得 当时，点与点重合，为直角三角形， ， ， 时，符合图像分段特征． 点从到的时间为， ，即 点的总路程， ． 将代入，得，即， ， ，则 矩形的面积为 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像、三角形面积公式，看懂函数图像是解决问题的关键． 首先结合图形和函数图像判断出和，进而可得的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形是梯形， 当点P从C运动到D处需要2秒，则，在处时，面积为3， 则， 根据图像可得当点P运动到B点时，面积为9， 则，则运动时间为6秒， ∴， 设当时，函数解析式为， 将，分别代入，得 ∴， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 当P运动到中点时，， 则． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图1，中，，，分别是，的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、中位线的性质、勾股定理、三角形的面积等，能够结合知识点观察函数图像是解题的关键． 先观察函数图象，当点与点重合时，即，，再连接，，根据三角形三边关系判断出当点与点重合时，，即取到最小值，最后结合中位线、勾股定理、等腰三角形的性质求解出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，当点与点重合时，即，， 如图，连接，， ∵在中，， ∴当点与点重合时，，即取到最小值， ∴根据函数图象可知，的最小值为， ∴， ∵中，，，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵中，，是的中点， ∴，， ∵在中，，， ∴根据勾股定理：， ∴． 故选：D ． 7．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．15 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形三线合一，勾股定理． 作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B， ∴，，， ∴， 如图，作交于D，作交于E， 由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应， 即，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴的面积． 故选：C． 题型六 根据图象得出信息求周长（共5小题） 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在四边形中，，，动点从点出发，沿方向运动，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合图象及三角形面积公式得出、的长，连接，结合平行线性质、勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：设边上的高为， ， 当点沿边上运动时，， ，对应图象为部分， 由图像可知：点在边上运动的路程为； 当点沿边上运动时，，为定值，对应图象为部分， 由图象可知，点在运动路程为， 连接， 四边形中，，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查的知识点是动点问题的函数图象、两直线平行同旁内角互补、勾股定理，解题关键是结合函数图象得出、的长． 2．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作先根据图像判断，，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵当时，取最小值，即， 当点P与点C 重合时取最大值，即， 作如图 ∵，， ∴． 3．（2025·河南周口·一模）如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理， 先设，再结合图象可知点P在边上运动时，可知，再根据点P在运动路程时，可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：设边上的高为h． ∴， 当动点P沿边上运动时，， ∴，对应图象为部分， 由图象可知：点P在边上运动的路程为； 当点P沿边上运动时，为定值，对应图象部分，由图象可知，点P在运动路程为． 如图，连接， ∵在四边形中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在平行四边形中，与相交于点O，，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点D，图2是点 P运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中 E，F分别是两段曲线的最低点，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，利用平行四边形的性质求解，动点问题的函数图象等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 过点作交于点，先根据平行四边形的性质得出，，，从而可得，根据，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为5，点的纵坐标为，可得出中边上的高为，中边上的高为，从而可根据三角形的面积，结合，得到关于的方程求解，求得：，从而可得，再由图象可知的最大值为，可利用勾股定理求得，从而可利用线段差求得，再利用勾股定理求得，从而可求得的周长． 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为5，点的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长为， 由图象可知的最大值为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得的长是解题的关键． 由图②知，，再根据平行四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：由图②知，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 题型七 函数图象动点问题求最值（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【答案】 5 2 【分析】本题考查函数图象的应用，勾股定理，垂线段最短，从图象上获取正确的信息是关键． 当时，，根据函数图象进行填空即可．作，垂足为，设，由函数图象可知，，．根据勾股定理，，解方程求出，进而求出．根据垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 如图，作，垂足为，设， 由图象可知，当时，， ∴，， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，即， 由垂线段最短可得，的最小值为． 故答案为：；． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图①，在Rt△ABC中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿B－C－A运动，设，点P运动的路程为，若y与x之间的函数图像如图②所示，则y的最大值为____． 【答案】3 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以得到和的长，由，根据勾股定理可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可知，当点P从点B运动到点C时，面积达到最大，当运动到点A时，面积变为0，由图②可知，，， ∵， ∴． ∵D为斜边的中点， ∴y的最大值为 故答案为：3 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，点P从点A出发，沿以的速度运动．设的面积为，点P的运动时间为，变量S与t之间的关系如图2所示，则在运动过程中，S的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数的图象问题，结合图象分析出动点处于什么位置取得最大值是解决问题的关键． 由三角形面积公式可知，需要求出及的值，而取得最大值时，恰好为边，结合函数图象，求出及，从而可求的最大值． 【详解】解：∵在中，的面积为， 由图 2 可知，当时，取得最大值；当时，， 又 ∵点从点出发，沿以的速度运动， ， ∴的最大值是， 故答案为：． 4．（2025·河南商丘·三模）如图1，矩形中，点E为的中点，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，到达点C时停止运动，连接，设为x，为y，y关于x的函数图象如图2，则的最大值为______． 【答案】5 【分析】在函数图象中找到当时，时得出，再利用图象的拐点得出，由图象知P到达C时得最长，由勾股定理即可求出其值． 【详解】由图知，当时，，即当P在A点时 ∴ 当P在上运动时，慢慢增大，P到D点时，从图中的拐点可知，此时 ∴ 当P在上运动时，先减小再增大，直到P到达C点时，此时最长 ∵ ∴ 故答案为：5 【点睛】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理．本题渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养，利用数形结合的思想是解题关键． 题型八 动点图象问题解答题综合（共7小题） 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图①，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)求d的值； (3)当点Q出发______秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为． 【答案】(1)，， (2)； (3)或 【分析】（1）分；；和，四种情况求解即可； （2）根据题意，得当时，点Q的速度改变为每秒，此时点Q在上运动了， 运动路程为，此时距离终点的路程为，运动所用时间为，求解即可； （3）设运动时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为，根据题意，得；当运动时，点P停止运动，此时P，Q相距的路程为，而点P、点Q在运动路线上相距的路程为，故点Q还要运动，求解即可； 【详解】（1）解：当时，，且，， 此时， 根据图象，得当时，， 故， 解得； 当时，运动路程为，此时， 根据图象，得当时，， 故， 解得； 当点P在上运动时，，恒成立， 此时运动时间为：， 故点P运动时，到达点C的位置上， 当点P在上运动时，运动速度为，运动路程为， 运动时间为：， 故运动时，到达终点D处， 根据图象的意义，得； （2）解：根据题意，得，， 当点P在上运动时，此时运动时间为：， 故当时，，此时， 根据题意，得当时，点Q的速度改变为每秒，此时点Q在上运动了， 运动路程为，此时距离终点的路程为，运动用时间为， 故运动速度为：； （3）解：设运动时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为， 根据题意，得， 解得； 当运动时，点P停止运动，此时P，Q相距的路程为， 而点P、点Q在运动路线上相距的路程为， 故点Q还要运动， 由于运动速度为：， 故还需运动时间为：， 故共需要运动时间为； 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）当时，利用三角形面积公式解答即可求解； （）分两种情况：①点在上；②点在上，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解； （4）延长至，使，连接交于，连接，此时△APD的周长最小，证出是等腰直角三角形，得出，由得到，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：当时，动点在线段上，如图所示： ∴， 即与之间的关系式为； （3）解：分两种情况： ①当点在上时，如图所示，则， 解得； ②当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （4）解：点使得的周长最小，理由如下： 延长至，使，连接交于，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，看懂函数图象是解题的关键． 3．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作与的直角边相交于点D，延长至点Q，使得，以、为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒（）． (1)当______时，点D与点C重合． (2)线段的长度表示为______（用含x的式子表示） (3)求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)2 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）由题意知，结合运动速度，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，利用等腰三角形的性质逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，利用等腰三角形的性质求解；当时，利用等腰三角形的性质和矩形的性质；当时，利用等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点D与点C重合时，， ∵，，， ∴， ∵动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动， ∴； （2）解：①当时，如图 ∵，， ∴， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴； ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 综上所述，当时，；当时，． （3）解：∵，，， ∴， ①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 则，， 同理，，， ∴ ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了动点问题与函数图象，画一次函数图像，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据函数图象可得时，，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而求得当点在上时，的关系式，即可求解； （3）根据题意画出一次函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得当点运动到点，即时，， 设点到的距离为， ∴， ∴ 解得：， 即点到的距离是， 故答案为：． （2）解：当时，； 如图，当点在上时，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，点到的距离是， ∴ 在中， ∴ ∴当时，在上， ∴，， 在中，， ∴ ∴ （3）解：当时，， 如图所示， 5．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)1 (2)2， (3) 【分析】（1）观察图2 可得时，的边经过点B； （2）由图2知，时，P、Q两点相遇，则可得，求得． 则可得R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位．设，，由图2知时，；时，．列方程求得，，进而可得． （3）由点P和点Q的运动情况可知， 和矩形的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可． 【详解】（1）解：由图2 知，时，的边经过点B； 故答案为：1 （2）解：由图2知，时，P、Q两点相遇． ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位． 由图2知时，；时，． 设与的交点为G点，设，． 如图，当时，是等腰直角三角形， ∴， 此时，， 如图，当时，过P点作于点H， 则，，， 此时，， 得， 解得，， ∴，， ∴． 故答案为：2，． （3）解：①当时，如图，设交于点G，过点P作于点H， 则，， ∴， ； ②当时，如图，设交于点G，交、于点S、T， 则 ， ， ∴ ． ③当时，如图，设与交于点T， 则，，． ∴ ． 综上所述，S关于t的函数关系式为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、函数与图像等；其中根据图像的变化情况对重合部分的面积进行分类讨论是解决此题的关键． 6．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． (1)当点H与点E重合时，x的值为_____． (2)求y与x的函数解析式； (3)当y的值为时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)3 (2) (3)x的值为或． 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、三角形的面积、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质，二次函数与四边形，解一元二次方程，解题关键是学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题． （1）当点与点重合时，由可得点与点重合，于是 ； （2）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，．分别画出不同情况下的图形，利用等边三角形的性质和含度角的直角三角形性质计算即可解答； （3）当时，分三种情况： ①，②，③，分别求解即可． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图，    ∵点D、E、F分别是、、边上的中点， ∴， ，点与点重合，点为的中点， 点与点重合， ， ∴； 故答案为：； （2）①当时，点P在线段上，点H在线段上，如图，   为等边三角形， ， ， ，， 为等边三角形， 动点从点出发，沿方向以的速度运动，点运动时间为， ， ，， 在中，， ， ②当时，如图，设与交于点，连接，过点作于点， 点、、分别是、、边上的中点， ，，，，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在中，，， ， ，， ，， 为等边三角形， ③当时，如图，设与交于点，过点作于点，   ， ， ， 为等边三角形，， ，， ，，， 为等边三角形， 在中，， ， ∴． （3）当时， ①， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ②， 即， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ③， 即， 解得（都不符合题意，舍去）； ∴该方程无解． 综上所述，x的值为或． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒匀速运动，一段时间后速度变为每秒匀速运动，b秒后恢复原速，相应的三角形的面积关于动点P运动的时间的关系图象如图2．若，，根据图象信息回答下列问题： (1)请求出 ， ， ； (2)当的面积等于，求点P运动的时间t； (3)当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求时，直接写出点P运动的时间t． 【答案】(1)6，4，8 (2)或 (3)和 【分析】本题考查了三角形面积，一元一次方程，函数图像和动点问题的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）通过分析图像可以得到当时，动点在点，当时，动点在点，当时，动点在点，根据三角形面积公式可求得，然后分析可得3秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，然后即可求得，； （2）根据图象可得：当的面积等于，存在两种情况，动点分别在线段和线段上，且动点速度都是每秒匀速运动，然后分别列一元一次方程方程即可求解； （3）先求得点到达终点时间，然后在分情况列式作答，即可求解； 【详解】（1）解：由题可得，当点P运动到线段、线段和线段，三角形的面积不变， ∴当时，动点在点，当时，动点在点，当时，动点在点， 当动点在上时，三角形的面积为， 即， 解得：， ∴， 由题可得：3秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动， 即， ∴， 解得：， 故答案为：6，4，8； （2）解：根据图象可得：当的面积等于，存在两种情况，动点分别在线段和线段上，且动点速度都是每秒匀速运动， ，解得：， 线段：， 线段：， ∴当的面积等于时，点P运动的时间或； （3）解：， ∴当时，点到达终点，即点和点同时停止运动， 由图像可得：当时，动点P速度为每秒匀速运动，当时，动点P速度为每秒匀速运动，当时，动点P速度为每秒匀速运动， 当点P在线段上时，，， 当点P在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 分情况讨论 ①当点在线段上时，点P也在线段上时，由， 即，解得：（符合），当时，，或，均不符合，当点在线段上时，点P在线段上时，，（符合）或（不符合）， 故当点在线段上时，存在2种情况和； ②当点在线段上时，当点P在线段上时，由，由于，故不存在； ③当点在线段上时，当点P在线段上时，由， 即，（不符合）或（不符合）； 综上所述： 当时，存在2种情况，点P运动的时间和； 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数图象中动点问题 题型1 根据题目叙述选择正确的图象（常考题） 题型5 根据图象得出信息求面积（高频题） 题型2 从图象中获取信息判断结论是否正确（常考题） 题型6 根据图象得出信息求周长（高频题） 题型3 根据图象得出信息求图中参数（高频题） 题型7 函数图象动点问题求最值 题型4 根据图象得出信息求线段长度 题型8 动点图象问题解答题综合 题型一 根据题目叙述选择正确的图象（共7小题） 1．（2026·湖北武汉·二模）如图，正三角形的顶点的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（     ） A． B． C． D．        2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在菱形中，，，动点M以每秒1个单位长度的速度自点A出发沿线段运动到点B，同时动点N以每秒2个单位长度的速度自点B出发沿折线运动到点D．若设动点M运动的时间为，的面积为y（当点B，M，N共线时，），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，正方形的边长为4，动点从点出发，沿的路线匀速移动，设点经过的路线长为，的面积为，则能大致反映与的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在长方形ABCD中，，，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D→A的路径运动，则的面积y（单位：）与点E运动的时间x（单位：s）的函数图象大致表示为（    ） A．B．C． D． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，沿的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A．B． C． D． 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点D．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 题型二 从图象中获取信息判断结论是否正确（共7小题） 1．（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 2．（2026·山东日照·一模）如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 3．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图一，在中，，点是中点，有一动点从A到B再到运动，其运动的路程为，点与点之间的距离为，如图二为关于的函数图像，下列表述不正确的是（） A．点的纵坐标为4 B．点的意义是当点运动到某一个位置时，最小 C．点的横坐标为5 D．点的横坐标为14 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 5．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（2026·广西南宁·一模）在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 7．（2026·浙江·模拟预测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图像如图所示．下列选项正确的是（   ） A．正方形的对角线长为 B．当时，重叠面积 C．当时，重叠面积 D．函数图像的最高点的坐标为 题型三 根据图象得出信息求图中参数（共7小题） 1．（2025·河南信阳·一模）如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 3．（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 4．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 5．（2025·吉林·模拟预测）如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为______． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 7．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 题型四 根据图象得出信息求线段长度（共7小题） 1．（2026·湖北黄冈·一模）如图1，在中，D是边上的定点，点P从点A出发，沿着折线的方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点，则（1）________，（2）点N的纵坐标是________． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设B，P两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则____________． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 5．（25-26九年级下·河南南阳·月考）如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图1，在中，，于点，动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C为止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 7．如图1，在正方形中，点是边的中点，连接，，动点在折线上运动，过点作于点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，到点时停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五 根据图象得出信息求面积（共7小题） 1．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图1，动点P从的顶点A出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的时间为，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．15 B．16 C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，点同时从点出发，匀速沿向点运动，两点同时到达点，并停止运动．设运动时间为，的面积为，与之间函数关系的图象如图，则矩形的面积为（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图1，中，，，分别是，的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．15 B．16 C． D． 题型六 根据图象得出信息求周长（共5小题） 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在四边形中，，，动点从点出发，沿方向运动，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的周长是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·一模）如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在平行四边形中，与相交于点O，，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点D，图2是点 P运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中 E，F分别是两段曲线的最低点，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 题型七 函数图象动点问题求最值（共3小题） 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图①，在Rt△ABC中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿B－C－A运动，设，点P运动的路程为，若y与x之间的函数图像如图②所示，则y的最大值为____． 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，点P从点A出发，沿以的速度运动．设的面积为，点P的运动时间为，变量S与t之间的关系如图2所示，则在运动过程中，S的最大值是______． 4．（2025·河南商丘·三模）如图1，矩形中，点E为的中点，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，到达点C时停止运动，连接，设为x，为y，y关于x的函数图象如图2，则的最大值为______． 题型八 动点图象问题解答题综合（共7小题） 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图①，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)求d的值； (3)当点Q出发______秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为． 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 3．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作与的直角边相交于点D，延长至点Q，使得，以、为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒（）． (1)当______时，点D与点C重合． (2)线段的长度表示为______（用含x的式子表示） (3)求y与x之间的函数关系式． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． 5．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 6．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． (1)当点H与点E重合时，x的值为_____． (2)求y与x的函数解析式； (3)当y的值为时，直接写出此时x的值． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒匀速运动，一段时间后速度变为每秒匀速运动，b秒后恢复原速，相应的三角形的面积关于动点P运动的时间的关系图象如图2．若，，根据图象信息回答下列问题： (1)请求出 ， ， ； (2)当的面积等于，求点P运动的时间t； (3)当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求时，直接写出点P运动的时间t． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $