重难点03 勾股定理的应用压轴题专练6类题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题03 勾股定理的应用压轴题专练 题型6以弦图为背景的计算题（解答压轴） 题型4 用勾股定理构造图形解决问题（解答压轴） 题型2 利用勾股定理证明线段平方关系（解答压轴） 题型5 以直角三角形的三边为边长求面积（（解答压轴） 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（解答压轴） 题型6 勾股定理的证明（选填压轴） 题型一 以弦图为背景的计算题（共6小题） 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A．7 B．17 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理及完全平方公式的变形是解题的关键． 先根据个直角三角形的面积与白色区域面积求出五边形相关图形的面积，再结合勾股定理求出，进而得到的长度． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为，个直角三角形的面积为，白色部分面积为， ∴由图形可知． ∵由勾股定理得， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论： ； ；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，直角三角形性质等知识点，设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴，即， ∴， ∴，故正确； ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可得：正确， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是________．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键． 设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，在中，利用勾股定理表示出，从而得解． 【详解】解：设，则， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和整体代入是解题的关键，设，由题可得，，，，再利用勾股定理得，则，解出的值，即可得到长方形的面积． 【详解】解：如图所示： 设，则， ∴，，， ∵， ∴由勾股定理得：，则， 解得：， ∴， ∴长方形的面积为：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是_______ ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 题型二 利用勾股定理证明线段平方关系（共6小题） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 【答案】（1）的值为；（2）杆子底部滑动的距离为；（3）证明见解析；（4）的值为20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）在中，运用勾股定理求解即可； （2）根据题意求出的值，再在中，运用勾股定理求出，进而求解即可； （3）在和和和中，运用勾股定理即可求证； （4）延长、交于点，运用（3）中的结论即可求解． 【详解】（1）在中， ； （2）由题意可知， 在中， ， ， 即杆子底部滑动的距离为； （3）证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ；； ； （4）如图，延长、交于点， ， ， 则由（3）中结论可知 ． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2 【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形的面积为：． 4．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点D为的中点，进行等量代换求得，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴ ； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴根据实际意义，即骑行小道的长为． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知：在中，，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，，∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是___________． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【尝试应用】 （3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的面积． 【拓展探究】 （4）如图4，，．为外一点，，，，则___________． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解析；（3）或；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理. （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可； （4）作于点C，使，连接，，可得是等腰直角三角形，所以，证明（），可得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点D在线段上时，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②当点D在线段的延长线上时，如图，    由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （4）如图，作于点C，使，连接，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，根据勾股定理，得： ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：. 6．（25-26八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】本题是勾股定理证明平方关系． （1）①由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ②过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着用逆向思考的方式进行如下项目研究． 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明； 【理解内化】（2）请直接应用“情境建模”中小明探索出的结论解决问题： 如图2，在四边形中，平分，，，， ，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，是江苏省锡中锡西分校位于岔路口的绿化施工区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建地下排水和地上宣传广告等设施，则需要 的围挡才能将围成一圈（即求的周长）．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）证出，则可得出结论； （2）延长，交的延长线于点M，根据证明，得到，，即，根据求出，根据求出，即可求出的长； （3）延长交于点H，延长交于点G，同（2）可得，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：延长，交的延长线于点M， ∵平分，， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∵，， ∴， 即， 解得（负值舍去）， 则； （3）解：延长交于点H，延长交于点G， 同（2）可得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长 ． 即围挡的长度为． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确找到全等三角形是解题的关键． （1）①有三组全等三角形，分别为，，；②由即可证明；③由，得，而由勾股定理得，即可求证； （2）则，，在中，由勾股定理得，再等量代换即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，，可得，再证明，则，在中有，则． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴为等腰直角三角形，， ∵O为斜边的中点， ∴，即， 则均为等腰直角三角形， 则，， 在与中， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∴， 同理可证：， ∴①错，应该有3对全等的三角形； ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的面积等于四边形的面积的2倍， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， 在等腰中，，由勾股定理得， ∴， ∴③正确， 故答案为：②③； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴； （3）解：成立，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)82 (3)米 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，可得出，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （3）在的外侧作，使，连接，就可以得出，就有，由勾股定理就可以求出的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于点O，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （3）解：在的外侧作，使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系是解决问题的关键． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)线段的长为或 (3)见解析 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型四 用勾股定理构造图形解决问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 2.（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则 线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【详解】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； （3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；（2）13；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）根据题意，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形，则，，利用勾股定理即可求得答案； （2）同（1）解决问题即可； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，则线段的长为的最大值． 【详解】解：（1）如图1，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图2，取线段，分别过B、D作，，且，，连接， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小， ∴线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为13； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，点C为的延长线的一点，连接，， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最大， ∴线段的长即为的最大值， 过点A作交于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， 根据勾股定理得，， ∴最大值为． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ② (2) (3)①  ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 题型五 以直角三角形的三边为边长求面积（共6小题） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 【答案】（1）625； （2）；（3）129 【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得出， ，然后根据勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，然后得到，，然后利用勾股定理求解即可； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，，，然后由（2）得a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积，进而求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积为225，正方形的面积为400， ∴， ∵ ∴正方形的面积； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∴正方形的面积； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，， ∴由（2）得，a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积， ∴a，b，c三个正方形的面积和． 3．（25-26八年级上·广东梅州·月考）综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积． 【独立思考】（1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长． 【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值． 【答案】（1）阴影面积1；（2）正方形Ⅲ边长；（3）值为 【分析】本题主要考查了勾股定理、算术平方根、立方根等知识， （1）设，由勾股定理可得，且有，结合可解得，然后计算阴影面积即可； （2）根据题意，可得，结合勾股定理可得，，然后计算正方形Ⅲ的边长即可； （3）连接，在和中可得，结合，可解得，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）如下图，设， ∵， ∴， 根据题意，可得， 又∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴阴影面积； （2）根据题意，可得， ∴， ∴， ∴正方形Ⅲ的边长为； （3）如下图，连接， ∵，且面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d， ∴在和中，可有， 又∵， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴ ． 4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1） 为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)风车的面积为393 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，通过证明即可判断得出，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴. ∴； 由题意，第一种方法： ； 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于， ∴风车的面积为：． 6．（25-26八年级上·福建三明·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，若，，求空白部分的面积； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积； (4)如图4，将八个直角边分别为、，斜边为的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则________． 【答案】(1)； (2)28； (3)24； (4) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． （1）分别求得小正方形的面积和大正方形的面积，进而可求解； （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可； （3）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】（1）解：当，时， 小正方形的面积为，大正方形的面积为， ， 故答案为：． （2）解：由题意得： 空白部分的面积为； （3）解：如图3，由题意，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 则， 解得， ∴该风车状图案的面积是 ； （4）解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形的一个三角形的面积设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 题型六 勾股定理的证明（共6小题） 1．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3）解：设 的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了勾股定理的推导与应用、方程思想（利用勾股定理列方程）．熟练掌握“双求法”表示图形面积、勾股定理的实际应用是解题的关键． （1）用“双求法”表示梯形面积，一方面直接用梯形面积公式，另一方面拆分为三个三角形面积和，列等式推导勾股定理． （2）设，利用勾股定理列方程求，再计算． （3）设，用勾股定理表示（分别通过和），列方程求，再求． 【详解】解：（1）梯形面积：，三个三角形面积和：， ∵梯形面积三个三角形面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴千米， 故答案为：； （3）设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积 的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积 的面积， ∴ ∴． （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)的长为 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解即可． 【详解】（1）另一种是个直角三角形和中间小正方形的面积和为，根据面积相等得， 故答案为：，； （2）方法一： 在中，∵， ∴， 的面积有两种求法：一种是的面积为， 另一种是的面积为， 根据面积相等得：， 解得：， 方法二：在中， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得，， 的长为． （3）设， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 的长为． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 【答案】（1）①见解析②（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）①根据三角形面积公式得，，则，据此即可得出结论； ②在和中，由勾股定理得，，则，在和中，由勾股定理得，，则，由此得，再根据，，即可得的长； （2）先证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，进而得，再由（1）①的结论得，则，据此即可得出结论． 【详解】解：（1）①证明：∵， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴均为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）证明：，垂足为M，，垂足为E， ∴， ∴和都是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 由（1）①的结论得：， ∴， 即． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 【答案】（1）见解析；（2）中转站应建在离点37.5千米处；（3）三个等腰三角形的面积分别为、和 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）梯形的面积为 ， ， 所以； （2）设千米，则千米， 由题意，得，即， 由勾股定理，得，， 所以， 解得 所以中转站应建在离点37.5千米处； （3）①如图1，，等腰三角形的面积； ②如图2，由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积 ③如图3，， 由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积， 综上所述，三个等腰三角形的面积分别为、和． 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的应用压轴题专练 题型6以弦图为背景的计算题（解答压轴） 题型4 用勾股定理构造图形解决问题（解答压轴） 题型2 利用勾股定理证明线段平方关系（解答压轴） 题型5 以直角三角形的三边为边长求面积（（解答压轴） 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（解答压轴） 题型6 勾股定理的证明（选填压轴） 题型一 以弦图为背景的计算题（共6小题） 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A．7 B．17 C． D． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论： ； ；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是________．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 5．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为____________． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是_______ ． 题型二 利用勾股定理证明线段平方关系（共6小题） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 4．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知：在中，，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，，∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是___________． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【尝试应用】 （3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的面积． 【拓展探究】 （4）如图4，，．为外一点，，，，则___________． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着用逆向思考的方式进行如下项目研究． 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明； 【理解内化】（2）请直接应用“情境建模”中小明探索出的结论解决问题： 如图2，在四边形中，平分，，，， ，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，是江苏省锡中锡西分校位于岔路口的绿化施工区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建地下排水和地上宣传广告等设施，则需要 的围挡才能将围成一圈（即求的周长）．（步道宽度忽略不计） 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 题型四 用勾股定理构造图形解决问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 2.（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则 线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 题型五 以直角三角形的三边为边长求面积（共6小题） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 3．（25-26八年级上·广东梅州·月考）综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积． 【独立思考】（1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长． 【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值． 4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 6．（25-26八年级上·福建三明·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，若，，求空白部分的面积； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积； (4)如图4，将八个直角边分别为、，斜边为的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则________． 题型六 勾股定理的证明（共6小题） 1．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且． ①求证：； ②若，，，则的长为______； （2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $