重难点02 平行四边形和特殊平行四边形基础证明10类题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题02 平行四边形和特殊平行四边形基础证明 题型1 证明四边形是平行四边形（常考题） 题型4 证明四边形是菱形（高频题） 题型2 利用平行四边形的性质进行证明（常考题） 题型5 利用菱形的性质进行证明 题型3 利用三角形的中位线进行证明 题型4 证明四边形是正方形（高频题） 题型4 证明四边形是矩形（高频题） 题型5 利用正方形的性质进行证明 题型5 利用矩形的性质进行证明（重点题） 题型5 四边形的综合证明（重点题） 题型一 证明四边形是平行四边形（共6小题） 1．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【详解】（1）证明： 分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，将平行四边形的边延长至点E，使 ，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，进而利用已知得出，进而得出结论； （2）首先过点A作于点N，再利用平行四边形的性质结合直角三角形的性质得出的长，进而再由勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，F是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点A作于点N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 5．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线可得，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ， 的平分线交于点E， ， ， ． 题型二 利用平行四边形的性质进行证明（共6小题） 1．（25-26九年级下·江西九江·期中）在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 2．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性． （1）由平行四边形的中心对称性可得， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，由平行四边形对边平行可得，，由此可证，即可得出结论； （2）由可得，由可得，再由平行四边形的中心对称性可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点是平行四边形的对称中心， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上． 四边形是平行四边形， ． ， ． 又， ． ． （2）解：， ． ， ． ． ． ． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，请求出的周长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，与交于点，交于，交于． (1)证明：． (2)若，，交于，当时，求线段和的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)线段为、的长为 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等积变换等知识点，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，根据垂直的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由已知得，根据勾股定理得，再根据推出，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，与交于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，线段为、的长为． 5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，则，证明，即可证明； （2）由勾股定理得到，则可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：于点于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 6．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图在平行四边形中，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行四边形性质和全等三角形证明线段关系，再结合等腰三角形性质求角度． （1）利用平行四边形对边平行且相等，结合全等三角形判定证明，得出，再根据平行四边形，证得； （2）由（1）结论及推出，得到等腰三角形，结合，利用三角形内角和求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ， （2）由（1）知， ， ∴， ∴， ， 题型三 利用三角形的中位线进行证明（共6小题） 1．如图，在边长为的等边中，分别为的中点，于点，为的中点，连接． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用三角形中位线定理进而得出，且，再利用勾股定理即可得到结论； （）根据直角三角形的性质得出以及的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵在边长为的等边中，分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且，， ∵于点，， ∴，， ∴， ∴， （2）解：∵为的中点， ∴， ∴． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 4．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，D、E分别是，的中点，， (1)求证：四边形是菱形 (2)连接交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得出，进而可得出结论． （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长及面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，   ，点为的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，， 又∵点为的中点， 为的中位线， ， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，灵活应用以上知识是解题关键． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了三角形的高线与中线的性质，中位线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造中位线． （1）根据的周长比的周长大1，可得的长度比的长度大1，由此可求解； （2）作辅助线构造中位线，由中位线的性质可求解的长度并得到垂直关系，由此可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大1， ∴， ∵， ∴； （2）解：取中点记作点，连接，如图， ∵点为中点，点为中点， ∴，且， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 题型四 证明四边形是矩形（共6小题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6.5 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形的判定以及直角三角形斜中半定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行证明； （2）先根据勾股定理的逆定理，证得，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明： 中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 3．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 即平分． 4．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形． （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于点，过点作，交于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若四边形的面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，则，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形面积求出，得，由勾股定理得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）解：矩形的面积为， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 又 ． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解： ， ， 由（1）得：四边形为矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 题型五 利用矩形的性质进行证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 2．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，动点E从矩形的点B沿线段向点C运动，连接，以为边作矩形，使过点D． (1)求证：矩形与矩形的面积相等； (2)若，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)2或3或4 【分析】（1）连接，根据矩形的性质和三角形的面积公式可得，结合，，可证明结论； （2）分三种情况：、、，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，则； 当时，又∵，则， ∴； 当时，同理可得， ∴； 综上所述，当的值为2或3或4时，为等腰三角形． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在矩形中，，，由平行线的性质可得，由题意可得，再利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ． 在中，， ∴ ． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合矩形的性质得，则，根据，得，又因为，故，所以，即； （2）根据矩形的性质以及，得，运用勾股定理算出，则，结合在中，运用勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 题型六 证明四边形是菱形（共6小题） 1．（2026·云南·模拟预测）如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 2．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据D是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点D是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可求出，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∴菱形的面积的面积， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据平行线的判定定理得，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）连接，交于点，根据菱形的性质得到，设菱形的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积为． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形，， ， 设菱形的边长为，则，， ， ， ，即， 解得（舍去）， 经检验，是原分式方程的解， ， 在菱形中，，， ， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、性质及面积计算，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，点为中点，连接，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，角平分线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出相等的边和平行线，根据角平分线的性质和等角对等边得出，求出相关线段的长度即可求解． 【详解】（1）证明：∵，点为中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴四边形的周长为． 题型七 利用菱形的性质进行证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，菱形的对角线相交于点，点分别是边的中点． (1)请判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)等腰三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形性质及点分别是边的中点判定均是的中位线，由三角形中位线的性质得到即可证明； （2）由菱形性质，先证得是等边三角形，得出长，进而在中，由勾股定理求出，得出长，最后由三角形中位线性质求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 证明如下： ∵四边形是菱形， ∴，， 点分别是边的中点，为中点， 均是的中位线， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在菱形中，，，，， ∴， ， 是等边三角形，则， ∴， 在中，，则， ∵点分别是边的中点， 是的中位线， 则． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接，，点E在边上，连接． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②试探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【分析】（1）证明，可得． （2）①证明，结合，可得，可得，可得； ②延长至M，使，过点P作于，连接，如下图所示：证明，可得，证明，，结合在中，，，进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：①∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 延长至M，使，过点P作于，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理的应用等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、，连接交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，，然后证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：为菱形， ，， ∵ ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形； ． （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴在中，由勾股定理得 ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定，勾股定理． 4．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在矩形中，点，在对角线上，点在上，点在上，且四边形为菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可证，由菱形的性质可证，，根据证明，可证结论成立； （2）连接，，与相交于点．先证明，设，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴．∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴，即． ∴． ∴． （2）解：如图，连接，，与相交于点． ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴垂直平分． ∴． 设． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． 在中，， ． 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，在菱形中，，，点E，F分别是边上的动点，且始终保持． (1)求证：是等边三角形． (2)求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，推出，即可证明是等边三角形； （2）过点D作于点M，利用勾股定理求得的长，根据四边形的面积的面积求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点D作于点M， 由（1）可知，，是等边三角形， ∴四边形的面积的面积，，， ∴， ∴四边形的面积的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．作出合适的辅助线的解题的关键． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【详解】（1）∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 题型八 证明四边形是正方形（共7小题） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； (3)当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是菱形，说明见解析； (3)当时，四边形是正方形． 【分析】（1）根据矩形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）根据三角形中位线的性质，则，；，，根据菱形的判定，即可； （3）当时，四边形是正方形，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）解：当时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由（2）可得，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 4．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 5．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 6．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定． （）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 7．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，即；再根据矩形的性质可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论； （2）由矩形的性质以及已知条件可得，进而得到，根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵过点B作于点E．过点D作于点F， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九 利用正方形的性质进行证明（共5小题） 1．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2）解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得， ． 2．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意得，又因为，，可得，根据可证明全等； （2）由（1）得，从而有，再根据．据此解答． 【详解】（1）证明：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． （2）解：， ∴ ， 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是线段上一点（不与点O，C重合），连接，点Q在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形， ． ． （3）解：，理由如下： 作于点 由（2）知 ， 为等腰直角三角形， ； ． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析计算是解题的关键． （1）根据已知条件证明，利用证明三角形全等即可； （2）利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ，， 在和中， ，，， ． （2）在Rt中，， ， ，，， ，， 在Rt中，． 5．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 题型十 四边形的综合证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形，理由见解析 【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形 理由：∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，是一张矩形纸片，，．在矩形的边上取一点E，在上取一点F，且E、F不与矩形的顶点重合，将纸片沿折叠，使与交于点G，得到． (1)若，则________； (2)探究的形状，并说明理由； (3)如何折叠能够使面积最大？请你利用备用图探究并求出最大值． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，证明见解析 (3)当，G，D重合时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）根据折叠得出，求出，根据平行线的性质，得出答案即可； （2）根据平行线的性质得出， 根据折叠得出，从而得出，根据等腰三角形的判定，得出答案即可； （3）当，G，D重合时，的面积最大，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可得：， ∴， ∵矩形中，， ∴； （2）解：是等腰三角形；理由如下： ∵矩形， ∴， ∴， 又∵折叠 ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，当，G，D重合时，的面积最大， 由（2）得， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点 恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)①当满足时，四边形是矩形，详见解析；②当满足时，四边形是菱形，详见解析 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得，由证得，得出，由为的中线得出，进而得出，再根据平行四边形的判定定理(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)即可得证； （2）连接，如图，①先证出 ，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证，②先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵为的中线， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图， ①当满足时，四边形是矩形，理由如下， ∵是中线，且， ∴，即 ， 由（1）知，且， ∵是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，四边形是菱形，理由如下， ∵ ，是中线， ∴， 由（1）知，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江西鹰潭·月考）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析； (3) 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形和特殊平行四边形基础证明 题型1 证明四边形是平行四边形（常考题） 题型4 证明四边形是菱形（高频题） 题型2 利用平行四边形的性质进行证明（常考题） 题型5 利用菱形的性质进行证明 题型3 利用三角形的中位线进行证明 题型4 证明四边形是正方形（高频题） 题型4 证明四边形是矩形（高频题） 题型5 利用正方形的性质进行证明 题型5 利用矩形的性质进行证明（重点题） 题型5 四边形的综合证明（重点题） 题型一 证明四边形是平行四边形（共6小题） 1．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，将平行四边形的边延长至点E，使 ，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 5．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 题型二 利用平行四边形的性质进行证明（共6小题） 1．（25-26九年级下·江西九江·期中）在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 2．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，请求出的周长． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，与交于点，交于，交于． (1)证明：． (2)若，，交于，当时，求线段和的长度． 5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 6．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图在平行四边形中，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若，，求的度数． 题型三 利用三角形的中位线进行证明（共6小题） 1．如图，在边长为的等边中，分别为的中点，于点，为的中点，连接． (1)求的长； (2)求的长． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 4．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，D、E分别是，的中点，， (1)求证：四边形是菱形 (2)连接交于点O，若，，求四边形的面积． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 题型四 证明四边形是矩形（共6小题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 3．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 4．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于点，过点作，交于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若四边形的面积为24，，求的长． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 题型五 利用矩形的性质进行证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，动点E从矩形的点B沿线段向点C运动，连接，以为边作矩形，使过点D． (1)求证：矩形与矩形的面积相等； (2)若，直接写出为何值时，为等腰三角形． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 6．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型六 证明四边形是菱形（共6小题） 1．（2026·云南·模拟预测）如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 2．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形的面积． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，点为中点，连接，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，求四边形的周长． 题型七 利用菱形的性质进行证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，菱形的对角线相交于点，点分别是边的中点． (1)请判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求线段的长． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接，，点E在边上，连接． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②试探究与之间的关系，并说明理由． 3．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、，连接交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长． 4．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在矩形中，点，在对角线上，点在上，点在上，且四边形为菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，在菱形中，，，点E，F分别是边上的动点，且始终保持． (1)求证：是等边三角形． (2)求四边形的面积（结果保留根号）． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 题型八 证明四边形是正方形（共7小题） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； (3)当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 4．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 5．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 6．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 7．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 题型九 利用正方形的性质进行证明（共5小题） 1．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 2．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． (1)求证： (2)如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是线段 上一点（不与点O，C重合），连接，点Q在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究之间的数量关系，并说明理由． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型十 四边形的综合证明（共6小题） 1．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，是一张矩形纸片，，．在矩形的边上取一点E，在上取一点F，且E、F不与矩形的顶点重合，将纸片沿折叠，使与交于点G，得到． (1)若，则________； (2)探究的形状，并说明理由； (3)如何折叠能够使面积最大？请你利用备用图探究并求出最大值． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点 恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 6．（24-25九年级上·江西鹰潭·月考）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $