重难点01 勾股定理中最短路径问题12类题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题01 勾股定理中最短路径问题 题型1 圆柱中最短路径之绕半圈路程问题（常考题） 题型7 最短路径之地毯中的问题 题型2 圆柱中最短路径之内外壁问题（高频题） 题型8 最短路径中其他问题（常考题） 题型3圆柱中最短路径之绕多圈路程问题 题型9 最短路径之两线段和最短问题（常考题） 题型4 长方体中最短路径之绕一圈问题（常考题） 题型10 最短路径之三线段和最短问题 题型5 长方体中最短路径之绕半圈问题（分类讨论） （高频题） 题型11 最短路径之周长最短问题 题型6 长方体中最短路径之内外壁问题 题型12 短路径之探究实践问题（高频题） 题型一 圆柱中最短路径之绕半圈路程问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， 半周长为， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，把圆柱体展开，连接，由两点之间线段最短，可知线段即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形，连接，则线段即为爬行的最短路径， ，，， ∴， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是， 故选：． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A．4 B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）有一圆柱形油罐，底面圆的周长为，高为，一只老鼠从圆柱形油罐外侧的底端A处爬行到对角B处吃食物，求它爬行的最短路线长_____________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，勾股定理，正确画出平面图形是解题关键．根据题意画出平面图形，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：油罐的侧面展开图如图所示： 由题意可得：，， 则， 答：它爬行的最短路线长为． 故答案为： 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 题型二 圆柱中最短路径之内外壁问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________． 【答案】17 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图：作沿上沿B点的对称点，作于C， ∵高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点B处， ∴依题意得：， ， 连接，则即为最短距离， 故答案为：17． 2．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开−−−最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 题型三 圆柱中最短路径之绕多圈路程问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为______． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用-路径最短问题，熟练掌握知识点是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，圆柱的侧面展开图如图所示： 用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕4圈到B的运动最短路线是， ∵柱子底面圆的直径为，高， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：20． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 ______ 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，把圆柱体的侧面展开， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴（米），则这串装饰彩灯至少长为米． 故答案为：20． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，为了庆祝“元旦”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么最少应购买彩带的长度为________m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，把立体图转换成平面图是解题的关键，将圆柱的侧面展开得到一个矩形，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：将圆柱表面切开展开得到长方形如图所示： ∵圆柱高，底面周长为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴最少应购买彩带的长度为：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________． 【答案】29 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键； 由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决． 【详解】解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 题型四 长方体中最短路径之绕一圈问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是．若经过盒子4个侧面从A缠一条金线到，则所需金线的最小长度是______． 【答案】厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． 根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即长方体的长为，宽为，高为， 将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为（厘米）． 故答案为：厘米． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个侧面爬到点，则它爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 6．（25-26八年级上·全国·期中）如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 题型五 长方体中最短路径之绕半圈问题（分类讨论）（共7小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： 则， ∴ 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∴, ∵ ∴ 即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键． 将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再比较得出最短距离． 【详解】如图，展开侧面后， 在中，，，． ∴此时距离．    如图2，展开侧面后，    在中，，，． ∴． ∵， ∴最短距离为． 故选：． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，长方体木块长，宽，高．一只蚂蚁从点A处沿木块表面爬行到点G处的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用． 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析． 【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线． ①如图1， ∵，， ， ∴在中，，， ∴； ②如图2， ∵，， ， ∴， ∴， ∴． ②如图3， ∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴蚂蚁所行路程的最小值为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（    ）． A．25 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，长方体表面展开图，分类讨论是解答本题的关键． 先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质连接，结合勾股定理计算比较即得，即可． 【详解】解：如图，连接， 当小虫从处爬到处经过侧面时， 由于底面是正方形， ∴4个侧面相同． ∴经过前面和右面与经过左面和后面最短路径相等． 只计算经过前面和右面最短路径，如图1． ∵点C是中点，， ∴． ∵底面宽为8， ∴． ∵， ∴． 当小虫经过底面和侧面时，如图2， ， ∴． ∵， ∴最短路程是． 故选：B．    5．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，剪开，得图 ； （2）沿，，，，，剪开，得图 ； （3）沿，，，，，剪开，得图 ； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即． 故选：B． 7．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 【答案】25 【分析】把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，利用勾股定理分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的下表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 题型六 长方体中最短路径之内外壁问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径． 先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解． 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东青岛·开学考试）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接，小虫的爬行路径为最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 题型七 最短路径之地毯中的问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________． 【答案】13 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13． 故答案为： 2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 【答案】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 则沿台阶面由A到B的最短路程是． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是______． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 题型八 最短路径中其他问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是______米． 【答案】26 【分析】将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为22米，得到展开图的矩形长为米，宽为10米，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 本题主要考查勾股定理的应用，难度一般，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 【详解】解：根据题意，得展开图的矩形长为米，宽为10米， 故， 故答案为：26． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是做题的关键．根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接， 根据题意得到半圆的周长为：， ． 在长方形中，，，， 在中， 由勾股定理得，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是______． 【答案】米 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得负值舍去， 故他滑行的最短距离约为米； 故答案为：米． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是_______米（墙面与地面垂直） 【答案】 【分析】本题主要考查平面展开--最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将墙面与地面展开到同一平面，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是3米， 米， （米）， （米）， （米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：米． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为______cm． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可画出最短路径，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可得最短路径为，如图所示： 由图可知：，，， ∴是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 6．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走__________． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的木条平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 题型九 最短路径之两线段和最短问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·陕西·期中）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 2．（25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 3．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则 的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，因此点与点关于对称，将转化为；再根据垂线段最短，确定当时，取得最小值，即的长度；接着用勾股定理算出的长，进而得到的长；最后用三角形面积的两种不同表示方法，求出的长，即为的最小值． 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， 如图，根据“垂线段最短”，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度， 在中，，，由勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴， 的最小值为． 【点睛】这类“两动点+对称轴”的最短路径问题，核心是利用轴对称将同侧点转化为异侧点，再用“垂线段最短”求解，面积法是求斜边上高的常用技巧． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，Rt△ABC中，，点D、E分别在边和上，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】设，得出，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， 即表示点到点和点的距离的和， 如图： 当在线段上时，取得最小值，最小值为的长． 5．（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时，________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，构造对称点是解题的关键. 作点Q关于的对称点，连接，则交于点N，证明是等边三角形，当重合时，最小，此时在中求得最小. 【详解】解：作点Q关于的对称点，连接，则交于点N， 在等边中，， ， ， ，， 由轴对称的性质，得，， ， ， ， ， ，即， ， 是等边三角形， ， ， 当，即P，Q两点重合时，取得最小值， 此时，， 在中，， 当时，最小， ， ， 在中，， . 故答案为：. 题型十 最短路径之三线段和最短问题（共2小题） 1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，设，A为上一点，，D为上一点，，C为上任意一点，B是上任意一点，那么折线的长度最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，此题要考虑两个点的对称点，将折线转化为线段的问题，并转化到直角三角形内利用勾股定理解答是解题的关键．作A关于的对称点，D关于的对称点，作，连接，，求出，再求出，从而求出，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，D关于的对称点，作， 连接，，则，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在直角中，， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，，，点在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系．连接，作点关于的对称点，连接，则，以为边向外作等边三角形，作直线，证明，推出，推出点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，，交于点．求出可得结论． 【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系． 连接，作点关于的对称点，连接，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵是等边三角形，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴，可得， 以为边向外作等边三角形，作直线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接，，，交于点． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 题型十一 最短路径之周长最短问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在正六边形中，六条边均等于、六个角均等于，点在的中垂线上运动，连接，． 当的周长最小时，，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，由点在的中垂线上运动，所以，，，当的周长最小时，，则有点三点共线，此时的周长最小值为，然后通过勾股定理和直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点在的中垂线上运动， ∴，，， 当的周长最小时，，则有点三点共线，此时的周长最小值为， ∴， 过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故选：． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，，若点M、N分别在边，上，当四边形的周长最小时，则这个最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H，由勾股定理求出，推出，得出，再求出，过点作于K，在中，求出可得结论． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作于K， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质及勾股定理的应用，利用轴对称的性质，分别过点A和点B作关于x，y轴的对称点，，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P，此时点，Q，P，四点共线，从而得出四边形的周长最小值为，然后求出点，的坐标，再利用勾股定理求得和的长度即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴的对称点，过点B作关于x轴的对称点，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P， ∴当点，Q，P，四点共线时，则，即， ∵点A为，点B为， ∴点为，点， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，、是该直线上的两个动点，且，连接、，则周长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】如图作点O关于直线的对称点，作且，连接交于点D，连接， 则四边形为平行四边形，垂直平分，根据含30度的直角三角形性质得，得，由勾股定理得，即，即得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点O关于直线的对称点，作，且，连接交于点D，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， 即， ∴当点M到点D的位置时，即当、M、C三点共线，，取得最小值， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键． 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为_____． 【答案】12 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 题型十二 最短路径之探究实践问题（共6小题） 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 3．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理中最短路径问题 题型归纳·内容导航 题型1圆柱中最短路径之绕半圈路程问题（常考题）：题型7最短路径之地毯中的问题 题型2圆柱中最短路径之内外壁问题（高频题） 题型8最短路径中其他问题（常考题） 题型3圆柱中最短路径之绕多圈路程问题 题型9最短路径之两线段和最短问题（常考题） 题型4长方体中最短路径之绕一圈问题（常考题） 题型10最短路径之三线段和最短问题 题型5长方体中最短路径之绕半圈问题（分类讨论） 题型11最短路径之周长最短问题 (高频题) 题型6长方体中最短路径之内外壁问题 题型12短路径之探究实践问题（高频题） 题型通关·靶向提分 题型一圆柱中最短路径之绕半圈路程问题（共5小题） 1.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，圆柱的底面周长为24cm,高AB为5cm,BC是上底面的直径， 一只蚂蚁从点A出发，沿侧面爬行到点C,则爬行的最短路程为() A.29cm B.17cm C.13cm D.601cm 2.（25-26八年级上四川成都期中)如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只妈蚁， 它想吃到上底面与点A相对的食物B,则妈蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是() A.4 B.5 C.8 D.10 3.(25-26八年级上福建漳州期中)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为5，BC是上底的直径，一 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则爬行的最短路程是() 1/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4 B.V34 c.V61 D.13 3.(25-26八年级上四川成都期中)有一圆柱形油罐，底面圆的周长为24m,高为5m,一只老鼠从圆柱 形油罐外侧的底端A处爬行到对角B处吃食物，求它爬行的最短路线长 4.(25-26八年级上陕西渭南·期中)如图所示，己知圆柱的一个底面周长为36，高AB=5,点P在圆柱上 底面的圆周上，点B距点P在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的专，AC为下底面圆的直径，小虫在 圆柱外侧面爬行，从点A处爬到点P处，然后再从点P处爬到点C处，则小虫爬行的最短路程为 题型二圆柱中最短路径之内外壁问题（共3小题） 1.(25-26八年级上四川成都.期中)有一个圆柱形玻璃杯高9cm,底面周长为30cm,有一只蚂蚁在一侧 距下底3cm的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底7cm的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要 从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 cm. B 2.(25-26八年级上广东佛山月考)如图，圆柱形容器中，高为2.4m,底面周长为1.4m,在容器内壁离 容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处， 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m(容器厚度忽略不计). 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2一一===一一。 3.(24-25八年级下.四川南充期中)如图圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内离杯底5cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A,离杯口上沿4cm与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达 蜂蜜的最短距离为 cm. 蚂蚁A C蜂蜜 题型三圆柱中最短路径之绕多圈路程问题（共4小题） 1.(25-26八年级上河南郑州期中)国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下.如图，柱子 底面圆的直径为是m,高12m,若彩带从点A顺着圆柱侧面绕4圈到点B（A,B分别是圆柱两底面圆周上 的点)，则需要彩带的长度最短为 m B 2.(25-26八年级上·广东佛山期中)如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底 (点A)沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点C),B为AC的中点.己知装饰彩灯部分的柱身高约16 米，则这串装饰彩灯至少长为 米。 3.(25-26八年级上福建三明期中)如图，为了庆祝“元旦”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带， 己知柱子的底面周长为2m,高为6m.如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的B处（线段AB与地面垂直），那么最少应购买彩带的长度为 m. B-- 4.(25-26八年级上山东青岛期中)我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2 丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指 的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺)，则这根藤条长 题型四长方体中最短路径之绕一圈问题（共6小题） 1.（25-26八年级上四川达州期中)如图，长方体盒子的体积是432立方厘米，它的长、宽、高的比是 1:1:2:若经过盒子4个侧面从A缠一条金线到A,则所需金线的最小长度是一· A 2.(25-26八年级上山西运城期中)一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD,现已知AB=30m, AA=50m,欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点A处，则最短距离为() m. A.80 B.100 C.120 D.130 3.(25-26七年级上山东济宁.期中)如图，一只蚂蚊蚁需要从一个长宽高分别是3cm、1cm、6cm的长方体的 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 顶点A爬到顶点B,则它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程为() 6cm 1cm 3cm A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm 4.(25-26八年级上广东清远月考)如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个侧面 爬到点B,则它爬行的最短路径是() B A,6 B.2V2 c.35 D.210 5.（25-26八年级上·重庆月考)如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm,若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为() 5cm 2cm 4cm P A.11cm B.13cm C.15cm D.17cm 6.(25-26八年级上全国.期中)如下图所示，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂 蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为() 5cm 2cm 4cm A.V41cm B.5v5 cm C.13cm D.V89 cm 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型五长方体中最短路径之绕半圈问题（分类讨论）（共7小题） 1.(25-26八年级上陕西咸阳期中)如图，长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,D是BC边的中点， 在长方体下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最 短路程为() D B A.12cm B.14cm C.V221cm D.15cm 2.(25-26八年级上山西运城期中)如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为4cm,高为6cm ·若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点A处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为() A.14cm B.10cm c.（2W13+4)cmD.2y13cm 3,(25-26八年级上内蒙古包头期中)如图，长方体木块长AB=6,宽BC=5,高BF=2.一只蚂蚁从 点A处沿木块表面爬行到点G处的最短路径长为() H A.V89 B.V85 c.5v5 D.45 4.(25-26八年级上山东青岛·月考)如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是8cm,8cm,24cm, 在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有多种走法，则最短路程是()C. 6/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.25 B.20 C.24 D.28 5.（25-26八年级上河南平顶山·月考)如图，长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的正方形.现有一小 虫从顶点A出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是() A.29cm B.5cm C.V37cm D.V41cm 6.(24-25八年级下.湖北恩施.期末)如图，已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm,一只蚂蚁如果 沿长方体的表面从A点爬到B点，最短的路程是() D R D A.（1+2V5)cm B.5cm C.v29 cm D.v37 cm 7.(24-25八年级上.四川眉山期末)如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的 距离为5cm,一只妈蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B,妈蚊需要爬行的最短距离为 cm. B C5 cm 20 cm 15 cm 10 cm 题型六长方体中最短路径之内外壁问题（共4小题） 7/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上山东枣庄·期中)如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高 AB=60cm,水深AE=40cm.在水面EF上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm.一只蚂蚁 想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 cm B D 2.(25-26八年级上陕西咸阳.期末)如图是一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm(即AB=5dm, BC=4dm,AE=3dm)的无盖长方体木箱，在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴峰蜜，则 蚂蚁从点A爬到点C所经过的最短路程是dm.(木板的厚度忽略不计，结果保留根号) 3.(25-26八年级上.重庆期中)如图是一个长2cm、宽1cm、高1cm的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空， 用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴 峰蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚊蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧 面)，则小蚂蚁所走的最短路径长为 B 4.(25-26八年级上山东青岛开学考试)如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中AB=80cm,高 AD=60cm,水深ED=40cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁P处有一鱼饵，P在水面线EF上，且 EP=60cm·一只小虫想从鱼缸外的D点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁P处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 B A E 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型士最短路径之地毯中的问题（共4小题） 1.(25-26八年级上贵州贵阳期中)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中 AE=2,DE=4,BC=5.若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是 2.(25-26八年级上广东深圳·月考)如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 3.(25-26八年级上四川达州月考)如图，A和B是一个三级台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到 点B处去吃可口的食物.若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8,3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的 最短路程为 B 4.(25-26九年级上北京·月考)步行台阶每一层高20cm,宽40cm,长50cm.一只蚂蚁从点A爬到点B, 最短路程是 cm. 单位：cm 50 20 40 20 40 A 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型八最短路径中其他问题（共6小题） 1.(25-26八年级上·河南郑州期中)在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱 柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD,从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处 到C处需要走的最短路程是米。 B 2.(25-26八年级上陕西汉中.期中)如图所示，长方形地面ABCD上有一块地毯（阴影部分），地毯因使用时 间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径EF=HG=，且点B、F均在边AB上， 点G、H均在边CD上，已知AE=DH,BF=CG,AE+BF=17,BC=10,若一只蚂蚁要从A点爬 到C点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为 3.(25-26八年级上陕西西安期中)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以 看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为是米的半圆，其边缘 AB=CD=11米，点E在CD上，CE=1米.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是 三米 B 11米 E 4.(25-26八年级上江苏无锡·月考)如图，一只小蚂蚁在墙面ADEF上的点P处，若PA=√10米， AB=2米，点P到AF的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是米（墙面与地面ABCD垂 直) 5.(25-26八年级上广东深圳期末)如图①所示的正方体木块的棱长为√2cm,沿其相邻三个面的对角线 10/18