专题02一元二次方程（期中复习讲义，必备知识+14题型+分层验收）八年级数学下学期新教材浙教版

专题02 一元二次方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01由一元二次方程的定义求参数 题型02由一元二次方程的解求参数 题型03配方法的应用 题型04选择合适的方法解一元二次方程 题型05根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 题型06由一元二次方程根的情况求参数 题型07一元二次方程根与系数的关系 题型08换元法解多次方程 题型09一元二次方程解传播问题 题型10一元二次方程增长率问题 题型11一元二次方程解几何问题 题型12一元二次方程解销售问题 题型13一元二次方程解动点问题 题型14一元二次方程解工程/行程问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 由一元二次方程的定义求参数 理解一元二次方程的定义，掌握根据方程定义求参数的方法。 常考根据一元二次方程的定义求参数，注重定义理解和代入技巧。 由一元二次方程的解求参数 通过给定的一元二次方程的解，求出相关参数。 要求能够从一元二次方程的解中提取参数，注重求解的步骤与方法。 配方法的应用 掌握配方法，并能够运用配方法解一元二次方程。 配方法常用于解题，注重过程与技巧的掌握，常见于实际应用题。 选择合适方法解一元二次方程 根据问题的特点，选择最适合的方法来解一元二次方程。 选择方法解方程是考查学生灵活性的重点，通常会设计较为复杂的情境题。 根据跟的判别式判断一元二次方程根的情况 通过判别式分析一元二次方程根的个数与性质。 判别式的应用是重点，考查学生对根的个数及性质的理解。 由一元二次方程根的情况求参数 根据已知的一元二次方程根的情况求出参数。 根的情况与参数的关系是常考的考点，注意分析与计算的严谨性。 一元二次方程根与系数的关系 掌握一元二次方程根与系数之间的关系，并加以应用。 一元二次方程的根与系数的关系是基础知识，考查学生对公式的熟练应用。 换元法解多次方程 运用换元法解多次方程，掌握换元法的技巧与方法。 换元法主要考查学生的代数思维和抽象能力，要求能准确找到换元的契机。 一元二次方程解传播问题 解决传播问题，尤其是涉及速率与时间的数学模型。 传播问题常考时间与速率的关系，解决实际问题时需要严密的推理。 一元二次方程解增长率问题 理解增长率问题，能够应用公式解决实际增长率问题。 增长率问题考查学生对比例关系的理解，注重公式的应用与推导。 一元二次方程解几何问题 通过几何问题的解答，培养空间想象与解题能力。 几何问题常考解空间几何问题与平面几何问题，要求有一定的图形思维能力。 一元二次方程解销售问题 处理销售问题，了解如何应用数学模型解决销售相关问题。 销售问题往往涉及数学模型的建立和运用，考查实际问题的数学化能力。 一元二次方程解动点问题 解答动点问题，理解动点问题中的几何与运动关系。 动点问题考查几何与运动规律，要求学生具备良好的空间推理能力。 一元二次方程解工程/行程问题 掌握工程和行程问题的解法，能够灵活运用方程进行求解。 行程与工程问题主要考查应用方程解决实际问题，注重步骤与逻辑推理。 知识点01 一元二次方程有关概念 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 知识点02 解一元二次方程 方法一：直接开平方法 概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】1) 若b0，方程有两个不相等的实数根； 2）若b0，方程有两个相等的实数根； 3)若b<0，方程无解。 方法二 配方法 概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q≥0）的形式； 【注意】：1）当q <0时，方程无解 2）如q≥0时，方程的根是x=-p± 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 方法三：公式法 概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。 一元二次方程 根的判别式： 1） 方程有两个不相等的实根:（） 2）方程有两个相等的实根： 3）方程无实根 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： 4）最后求出x1，x2 方法四：因式分解法 概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。） 用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）： 1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解。 知识点03 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系： +＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 1）； 2）； 3）； 4）； 知识点04 一元二次方程有关应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题 销售类问题思路： 1）增长率等量关系： ①增长率＝×100%； ②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b； 【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。 2）利润等量关系： ①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格； ②标价：商家出售时标注的价格； ③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90℅出售。 ④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。 ⑤利润率=。 几何图形类问题：如几何图形面积模型、勾股定理等； 题型一 由一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是． 【典例1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 【变式1-1】若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 【变式1-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 【变式1-3】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 题型二 由一元二次方程的解求参数 【典例2】若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：因为是一元二次方程的解， 将代入原方程得， ， 化简得， 整理得 解得． 【变式2-1】已知a是方程的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由一元二次方程解的定义，推出的值，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ 【变式2-2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 3 【分析】根据一元二次方程的根的定义，得到满足的关系式，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程，得，整理，得， ∴． 【变式2-3】已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 题型三 配方法的应用 【典例3】方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3-1】用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项得， 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式得，选项符合题意． 【变式3-2】已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 【变式3-3】把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 【变式3-4】当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 题型四 选择合适的方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法 （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法 （3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法 （4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法 【典例4】解方程： (1)；（用公式法解） (2)．（用配方法解） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）根据配方法求解即可； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据求根公式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， 即，． 【变式4-2】解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： ∴，， ∴ ∴ 解得： 【变式4-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用一元二次方程求根公式即可计算求解； （2）用直接开平方法，先移项再开方即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ，， ∴，． 题型五 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 解｜题｜技｜巧 熟练运用判别式的公式 ∆ = b² - 4ac 来判断方程根的情况。根据判别式的值来推断根的个数、实数性和重根情况。 【典例5】下列一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得出答案. 【详解】解：A选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D选项， ，方程有两个相等的实数根，符合题意. 【变式5-1】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：中， ， 令，解得或， 时，有两个相等的实数根； 当时，，没有实数根； 当时，，有两个不相等的实数根． 综上可得，无法判断根的情况． 【变式5-2】已知关于的方程 (1)当该方程的一个根为时，求的值； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】（1）根据方程的根的定义，将已知的根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值； （2）对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个实数根． 【详解】（1）解：∵关于的方程的一个根为， ∴，解得． （2）解：对于一元二次方程， 根的判别式， ∴不论取何实数，该方程都有两个实数根． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程 (1)证明：此方程一定有两个实数根． (2)若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 见解析 (2) 12 【分析】（1）利用根的判别式即可证明； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【详解】（1）证明：对于一元二次方程， ， 化简得， 因为，即， 因此，此方程一定有两个实数根． （2）解：由，得， 此方程的两根为，， 若，则，此等腰三角形的三边分别为，，不能构成三角形； 若，则，此等腰三角形的三边分别为，，能构成三角形，周长为； 若，则，此时，三角形边长为负数，不符合题意； 综上，这个等腰三角形的周长为12． 题型六 由一元二次方程根的情况求参数 【典例6】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，先列出需满足的条件：二次项系数不为0，且判别式，求出的取值范围，再逐一验证选项，选出符合条件的答案． 【详解】解： 方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根 ， ， ， 即的取值范围是且， 选项A： ，，且，满足取值范围， A项正确，符合题意； 选项B：， ，不满足， B项错误，不符合题意； 选项C：， ，不满足， C项错误，不符合题意； 选项D： ，，不满足 ， D项错误，不符合题意． 【变式6-1】若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式为．若，则该方程有两个不相等的实数根；若，则该方程有两个相等的实数根；若，则该方程没有实数根． 【详解】解：若关于x的方程无实数根，则判别式， 即，解得． 【变式6-2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 其中，，，代入得：， 整理得， 解得． 【变式6-3】若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 【变式6-4】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 题型七 一元二次方程根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根与系数关系的两类应用 （1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果 （2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程 【典例7】已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，先根据方程有两个实数根得判别式非负，确定k的取值范围，再利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知条件求解k，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】解：∵ 方程有两个实数根 ∴ 解得 ， 由根与系数的关系可得 ， 由题意得，代入得： 整理，得， 解得或 ∵ ∴ 不符合要求，舍去 因此． 【变式7-1】已知关于x的一元二次方程．若，是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（   ） A．2或 B．或4 C．3或 D．或4 【答案】A 【分析】先结合，是该方程不相等的两个实数根，得出，以及再整理得，然后将用表示的与的代数式代入该展开式中计算，最后验算，当时，则；当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，是该方程不相等的两个实数根， ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 则 ∴ ∴ ∴ 解得 当时，则； 当时，则； ∴a的值为2或． 【变式7-2】已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2022 【分析】由一元二次方程的根可知，由韦达定理可知，将变形成，然后代入式子计算即可． 【详解】解：由可知，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， 【变式7-3】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值是____． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到、，利用平方差公式化简所求式子，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：m、n是一元二次方程的两个根, 根据韦达定理得：、， 则 ． 题型八 换元法解多次方程 【典例8】请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式8-1】【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可转化为； （2）解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； （3）解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 【变式8-2】【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 【变式8-3】综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】(1) (2) (3)3和5 【分析】（1）用题干提供的方法进行求解即可； （2）用题干提供的方法进行求解即可； （3）将新方程变形为，对比原方程得出，根据原方程的两根为1和3，得出新方程的两个根即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 化简得：； （2）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； （3）解：将新方程变形整理：， ， ， 对比原方程，可得代换关系： ，即， ∵原方程的两根为1和3， ∴新方程的两根为，， 即所求两根为3和5． 题型九 一元二次方程解传播问题 【典例9】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 【变式9-1】有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 【变式9-2】小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选：B． 【变式9-3】有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____人 【答案】5 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，先得到第一轮传染后患流感的总人数，再推导得到第二轮传染后总的患流感人数，根据两轮后共人患流感列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人． 根据题意列方程得， 解得：，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去， 因此每轮传染中平均一个人传染了人． 题型十 一元二次方程解增长率问题 解｜题｜技｜巧 熟练掌握二次根式成立的条件，包括根式的被开方数要求大于或等于零。 【典例10】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市汽油价格一月底是7.66元/升，三月底汽油价格调整为8.58元/升．假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，从一月底到三月底共经过两次增长，利用增长率关系即可推导． 【详解】解：假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x， 根据题意得，． 【变式10-1】2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初始售价，月均下降率，推导出经过两次降价后的最终售价，据此列出正确方程． 【详解】解：∵1月售价为22万元，月均下降率为， ∴2月售价为万元， ∴3月售价在2月基础上再次下降，可得3月售价为万元， 又∵3月实际售价为17.6万元， ∴列方程得． 【变式10-2】2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意得： ， 解得：，（舍去）， ∴访问人次的月平均增长率为． 题型十一 一元二次方程解几何问题 【典例11】如图为一个“”形水槽的横截面，外框与内框均为矩形，外框矩形的长为，宽为，内框矩形的面积为，水槽三面厚度相等，设厚度为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为内框矩形面积为，根据矩形面积公式，那么可列出关于的方程． 【详解】解：水平方向左右两侧各有厚度，因此内框的水平长度为 ； 竖直方向仅底部有厚度，因此内框的竖直长度为 ； ∵内框矩形面积为， ∴可列方程： ． 【变式11-1】任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为______． 【答案】7 【分析】设它的减半矩形的其中一边的长度是，可得其相邻边的长度是，从而列出方程，解方程得到减半矩形的相邻两边长，其中更大的是减半矩形的长． 【详解】解：设它的减半矩形的其中一边的长度是， ∵原矩形的周长为48，面积为70， ∴它的减半矩形的周长为：，面积为：， ∴边长为的边的邻边长度是：， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∴减半矩形的相邻两边分别是5和7， ∴减半矩形的长为7． 【变式11-2】如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【分析】把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽为， ∴由题意得，． 【变式11-3】2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米． 【分析】设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得，， 解得：（舍去）， 答：过道的宽应该设计米． 题型十二 一元二次方程解销售问题 【典例12】中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)涨价5元 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 【变式12-1】根据以下素材，探索完成任务． 探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题 素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱． 素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）； 任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】任务一：；任务二：90元 【分析】任务一：利用待定系数法求解，结合不考虑亏本出售的情况得到自变量的取值范围； 任务二：根据任务一所求关系式，结合利润（售价成本价）日销售量，得到一元二次方程，再根据市场规定得到售价的范围，即可解得答案． 【详解】解：任务一：根据题意，设与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∵不考虑亏本出售的情况，成本价为80元/盒， ∴ ∴与之间的函数关系式为； 任务二：根据题意，， 解得，， ∵市场规定：该茶叶获利不得高于， ∴， ∴， ∴若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为90元． 【变式12-2】某商店经销一批小商品，每件商品的成本为元．据市场分析，销售单价定为元时，每天能售出件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨元，每天的销售量就减少件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】销售单价应定为元 【分析】分别表示每件利润和销售量，由利润每件利润销售数量建立方程求出其解即可． 【详解】解：设销售单价应定为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要使顾客得到实惠， ， 答：销售单价应定为元． 【变式12-3】某湿地风景区特色旅游项目：水上游艇，旅游人员消费后风景区可盈利10元/人，每天消费人员为500人，为增加盈利，准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，消费人员就减少20人．现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元？ 【答案】票价应涨价5元 【分析】设票价应涨价x元，则每天可售出张票，然后根据题意易得方程，进而问题可求解． 【详解】解：设票价应涨价x元，则每天可售出张票，根据题意得： ， 解得：． ∵又要让旅游者得到实惠， ∴． 答：票价应涨价5元． 题型十三 一元二次方程解动点问题 【典例13】如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 【变式13-1】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据两直角边相等列方程求解； （2）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据直角三角形面积公式列方程求解，得到符合条件的时间． 【详解】（1）解：设经过秒后，是等腰三角形， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， ，解得秒． （2）解：设经过秒后，的面积等于， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， 的面积为， ， 解得，， 故经过或秒后，的面积等于． 【变式13-2】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式13-3】如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 题型十四 一元二次方程解工程/行程问题 【典例14】某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【变式14-1】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 【变式14-2】学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式14-3】一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵月平均上升率为，月初人数为， ∴月初人数为， ∴月初人数为， ∵月初人数为， ∴可得方程． 2.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 3.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）把方程配方转化成的形式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法步骤整理方程，即可得到对应结果． 【详解】解：∵原方程为 ． 移项得 ． 根据配方法，方程两边需加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数为，一半的平方为． ∴方程两边同时加，得 ． 整理得 ． 因此正确结果为A选项． 4.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 5.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 2.（25-26八年级下·浙江·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，． 3.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解，熟练掌握解一元二次方程——因式分解法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答； （2）先将原方程进行化简整理可得，然后利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）， ， ， 或， 解得：，． 5.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 2.（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 3.（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 4.（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 5.（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01由一元二次方程的定义求参数 题型02由一元二次方程的解求参数 题型03配方法的应用 题型04选择合适的方法解一元二次方程 题型05根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 题型06由一元二次方程根的情况求参数 题型07一元二次方程根与系数的关系 题型08换元法解多次方程 题型09一元二次方程解传播问题 题型10一元二次方程增长率问题 题型11一元二次方程解几何问题 题型12一元二次方程解销售问题 题型13一元二次方程解动点问题 题型14一元二次方程解工程/行程问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 由一元二次方程的定义求参数 理解一元二次方程的定义，掌握根据方程定义求参数的方法。 常考根据一元二次方程的定义求参数，注重定义理解和代入技巧。 由一元二次方程的解求参数 通过给定的一元二次方程的解，求出相关参数。 要求能够从一元二次方程的解中提取参数，注重求解的步骤与方法。 配方法的应用 掌握配方法，并能够运用配方法解一元二次方程。 配方法常用于解题，注重过程与技巧的掌握，常见于实际应用题。 选择合适方法解一元二次方程 根据问题的特点，选择最适合的方法来解一元二次方程。 选择方法解方程是考查学生灵活性的重点，通常会设计较为复杂的情境题。 根据跟的判别式判断一元二次方程根的情况 通过判别式分析一元二次方程根的个数与性质。 判别式的应用是重点，考查学生对根的个数及性质的理解。 由一元二次方程根的情况求参数 根据已知的一元二次方程根的情况求出参数。 根的情况与参数的关系是常考的考点，注意分析与计算的严谨性。 一元二次方程根与系数的关系 掌握一元二次方程根与系数之间的关系，并加以应用。 一元二次方程的根与系数的关系是基础知识，考查学生对公式的熟练应用。 换元法解多次方程 运用换元法解多次方程，掌握换元法的技巧与方法。 换元法主要考查学生的代数思维和抽象能力，要求能准确找到换元的契机。 一元二次方程解传播问题 解决传播问题，尤其是涉及速率与时间的数学模型。 传播问题常考时间与速率的关系，解决实际问题时需要严密的推理。 一元二次方程解增长率问题 理解增长率问题，能够应用公式解决实际增长率问题。 增长率问题考查学生对比例关系的理解，注重公式的应用与推导。 一元二次方程解几何问题 通过几何问题的解答，培养空间想象与解题能力。 几何问题常考解空间几何问题与平面几何问题，要求有一定的图形思维能力。 一元二次方程解销售问题 处理销售问题，了解如何应用数学模型解决销售相关问题。 销售问题往往涉及数学模型的建立和运用，考查实际问题的数学化能力。 一元二次方程解动点问题 解答动点问题，理解动点问题中的几何与运动关系。 动点问题考查几何与运动规律，要求学生具备良好的空间推理能力。 一元二次方程解工程/行程问题 掌握工程和行程问题的解法，能够灵活运用方程进行求解。 行程与工程问题主要考查应用方程解决实际问题，注重步骤与逻辑推理。 知识点01 一元二次方程有关概念 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 知识点02 解一元二次方程 方法一：直接开平方法 概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】1) 若b0，方程有两个不相等的实数根； 2）若b0，方程有两个相等的实数根； 3)若b<0，方程无解。 方法二 配方法 概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q≥0）的形式； 【注意】：1）当q <0时，方程无解 2）如q≥0时，方程的根是x=-p± 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 方法三：公式法 概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。 一元二次方程 根的判别式： 1） 方程有两个不相等的实根:（） 2）方程有两个相等的实根： 3）方程无实根 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： 4）最后求出x1，x2 方法四：因式分解法 概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。） 用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）： 1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解。 知识点03 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系： +＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 1）； 2）； 3）； 4）； 知识点04 一元二次方程有关应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题 销售类问题思路： 1）增长率等量关系： ①增长率＝×100%； ②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b； 【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。 2）利润等量关系： ①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格； ②标价：商家出售时标注的价格； ③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90℅出售。 ④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。 ⑤利润率=。 几何图形类问题：如几何图形面积模型、勾股定理等； 题型一 由一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是． 【典例1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【变式1-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【变式1-3】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 题型二 由一元二次方程的解求参数 【典例2】若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式2-1】已知a是方程的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2-2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【变式2-3】已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 题型三 配方法的应用 【典例3】方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【变式3-4】当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 题型四 选择合适的方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法 （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法 （3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法 （4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法 【典例4】解方程： (1)；（用公式法解） (2)．（用配方法解） 【变式4-1】解方程： (1) (2) 【变式4-2】解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【变式4-3】解方程： (1) (2) 题型五 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 解｜题｜技｜巧 熟练运用判别式的公式 ∆ = b² - 4ac 来判断方程根的情况。根据判别式的值来推断根的个数、实数性和重根情况。 【典例5】下列一元二次方程有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式5-2】已知关于的方程 (1)当该方程的一个根为时，求的值； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个实数根． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程 (1)证明：此方程一定有两个实数根． (2)若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 题型六 由一元二次方程根的情况求参数 【典例6】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【变式6-4】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 题型七 一元二次方程根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根与系数关系的两类应用 （1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果 （2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程 【典例7】已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 【变式7-1】已知关于x的一元二次方程．若，是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（   ） A．2或 B．或4 C．3或 D．或4 【变式7-2】已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【变式7-3】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值是____． 题型八 换元法解多次方程 【典例8】请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式8-1】【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【变式8-2】【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【变式8-3】综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 题型九 一元二次方程解传播问题 【典例9】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【变式9-1】有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____人 题型十 一元二次方程解增长率问题 解｜题｜技｜巧 熟练掌握二次根式成立的条件，包括根式的被开方数要求大于或等于零。 【典例10】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市汽油价格一月底是7.66元/升，三月底汽油价格调整为8.58元/升．假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 题型十一 一元二次方程解几何问题 【典例11】如图为一个“”形水槽的横截面，外框与内框均为矩形，外框矩形的长为，宽为，内框矩形的面积为，水槽三面厚度相等，设厚度为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为______． 【变式11-2】如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【变式11-3】2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 题型十二 一元二次方程解销售问题 【典例12】中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【变式12-1】根据以下素材，探索完成任务． 探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题 素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱． 素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）； 任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【变式12-2】某商店经销一批小商品，每件商品的成本为元．据市场分析，销售单价定为元时，每天能售出件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨元，每天的销售量就减少件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【变式12-3】某湿地风景区特色旅游项目：水上游艇，旅游人员消费后风景区可盈利10元/人，每天消费人员为500人，为增加盈利，准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，消费人员就减少20人．现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元？ 题型十三 一元二次方程解动点问题 【典例13】如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【变式13-1】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 【变式13-2】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式13-3】如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 题型十四 一元二次方程解工程/行程问题 【典例14】某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【变式14-1】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【变式14-2】学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【变式14-3】一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 3.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）把方程配方转化成的形式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 5.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 2.（25-26八年级下·浙江·期中）解方程： (1)； (2)． 3.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 5.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2.（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 3.（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 4.（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 5.（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $