第5章 分式 素养综合测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及应用，通过选择、填空、解答等题型将分式定义、化简、方程求解与实际问题串联，构建完整的分式知识网络，体现知识点间的逻辑递进。 其亮点在于融入实际情境题如加油、采矿问题培养数学眼光，分层题型设计（★☆☆到★★★）发展运算能力与推理意识，创新“和谐分式”等题型强化模型意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第5章·素养综合测试卷 时间：120分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. (2025杭州余杭、临平月考,★☆☆)下列代数式中,属于分 式的是 ( ) A. 　　　    B.- 　　　    C.2m-n　　　    D. mn     A     解析     表示两个整式相除,且除式中含有字母,属于分式. 故选A. 初中同步培优卷 2. (2025山西长治期中,★☆☆)下列分式中是最简分式的是  ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     解析    A. 的分子与分母没有公因式,不能约分,是最简分 式;B. = ,故不是最简分式;C. = ,故不是最简分 式;D. =a+1,故不是最简分式.故选A. 初中同步培优卷 3. (2025江苏徐州期末,★☆☆)下列各等式一定成立的是  ( ) A. = 　　　     B. =  C. = (c≠0)　　　    D. =      D     解析　当a=2,b=1时, = ≠ = ,故A错误;当a=2,b=1,c=1时,  = ≠ = ,故B错误;当a=1,b=2,c=3时, = ≠ =  ,故C错误; = ,故D正确.故选D. 初中同步培优卷 4. (2025浙派联盟模拟,★☆☆)已知分式 (a,b为常数)满 足如下表格,根据表格信息,下列结论中错误的是 ( )     D     x的取值 2 -2 3 d 分式的值 无意义 0 c -6 A.a=-2　　　    B.b=4　　　    C.c=10　　　    D.d=-1 初中同步培优卷 解析　因为当x=2时分式无意义,所以2+a=0,所以a=-2,故A正 确,不符合题意;因为当x=-2时,分式的值为0,所以-4+b=0,所以 b=4,故B正确,不符合题意;因为a=-2,b=4,所以原分式为 , 当x=3时,c= =10,故C正确,不符合题意;当x=d时,分式的 值为-6,所以 =-6,解得d=1,经检验,d=1是原方程的解,故D 错误,符合题意.故选D. 初中同步培优卷 5. (2025河南洛阳期中,★☆☆)如果A= ,B= - ,那么 代数式A与B之间的关系是 ( ) A.A+B=0　　　    B.A=B　　　    C.AB=0　　　    D.A=2B     A     解析　因为B= - = - = ,A=  ,所以A+B= + =0.故选A. 初中同步培优卷 6. (★★☆)已知公式 = + ,其中R,R1,R2均不为零,且R1+R2 ≠0.若用含有R1,R2的式子表示R,则R= ( ) A.R1+R2　　　    B. 　　　    C. 　　    D.      D     解析　因为 = + = + = , 所以R= .故选D. 初中同步培优卷 7. (2025杭州外国语学校期末,★★☆)代数式   的一项被污染,化简的结果为a+2,则被污染的项为  ( ) A.-1　　　    B.1　　　    C. 　　　    D.      B     初中同步培优卷 解析　设被污染的项为A, 则原式= ·  = ·  = ·  = , 因为化简的结果为a+2, 所以Aa-2A-1=a-3,所以A=1.故选B. 初中同步培优卷 8. (2024台州椒江月考,★★☆)若 +x=3,则 = ( ) A.8　　　    B. 　　　    C.8或 　　　    D.无法确定     B 解析　因为 +x=3,所以 =32, 整理得x2+ =7,因为x≠0,所以x2≠0, 所以 =x2+ +1=7+1=8, 所以 = ,故选B. 初中同步培优卷 9. (2025绍兴期末,★★☆)已知关于x的分式方程 -1= 无 解,则m的值是 ( ) A.-2或-3　　　    B.0或3　　　    C.-3或3　　　    D.-3或0     A     初中同步培优卷 解析　方程两边同乘x(x-3),得x(x+m)-x(x-3)=x-3,整理,得 (m+2)x=-3, 因为原分式方程无解,所以分两种情况: ①整式方程(m+2)x=-3无解,即m+2=0,解得m=-2. ②分式方程有增根,即x(x-3)=0,解得x=0或3,当x=0时,(m+2)x= -3无解,当x=3时,3(m+2)=-3,解得m=-3. 所以m的值是-2或-3.故选A. 初中同步培优卷 10. (2024舟山定海期末,★★☆)同学们在生活中都有过陪同 爸爸、妈妈去加油站加油的经历,小明发现一个有趣的现象: 爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅,给 我加300元的油”,而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”,这个 时候小明若有所思,如果爸爸、妈妈分别加油两次,第一次加 油时汽油的单价为x元,第二次加油时汽油的单价为y元(x≠y), 妈妈每次加满油箱,需加油a升,我们规定谁的平均单价低谁就 划算,请问爸爸、妈妈谁的加油方式更划算呢?( ) A.爸爸　　　    B.妈妈　　　    C.一样　　　    D.不确定     A     初中同步培优卷 解析　根据题意得妈妈两次共加2a升汽油,爸爸两次共加  + = 升汽油, 设爸爸两次加油的平均单价为M元,妈妈两次加油的平均单价 为N元,则M=600÷ = ,N= = , 所以N-M= - = >0,所以N>M, 所以爸爸的加油方式更划算,故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共18分) 11. (2025杭州外国语学校期末,★☆☆)代数式 +(x+3)0有 意义,则实数x的取值范围是____________.     x≠±3     解析　因为代数式 +(x+3)0有意义, 所以x-3≠0,x+3≠0,所以x≠±3. 初中同步培优卷 12. (★☆☆)化简: =_________. 解析　原式= = . 初中同步培优卷 13. (2025山西临汾月考,★☆☆)计算m2÷ ·m的结果是_______.     m4     解析　原式=m2·m·m=m2+1+1=m4. 初中同步培优卷 14. (★☆☆)下面的解题过程中,第①步出现了错误,但是最后 所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是_________.       5     初中同步培优卷 解析　由题意得 +1= =-1,解得x=5, 检验:当x=5时,x-4≠0, 所以题图中被污染的x的值是5. 初中同步培优卷 15. (2024台州路桥月考,★★☆)已知a+b=m,a-b=n,则 -  =_________(用含m,n的式子表示). 初中同步培优卷 解析     - = -  = =  = , 因为a+b=m,a-b=n, 所以m+n=a+b+a-b=2a,m-n=a+b-(a-b)=2b, 所以a= ,b= ,ab= , 初中同步培优卷 所以原式= =  = = . 初中同步培优卷 16. (2025江苏扬州期中,★★★)对于正数x,规定f(x)= ,例 如f(4)= = ,f = = ,则f(2 024)+f(2 023)+…+f(2)+f(1) +f +f +…+f =_________. 初中同步培优卷 解析　因为f(x)= ,f = = ,所以f(x)+f = +  = =1,所以原式=f(2 024)+f +f(2 023)+f + …+f(2)+f +f(1)=1+1+…+1+ =1×2 023+ = . 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (★☆☆)(8分)计算: (1) - .　　　    (2) ÷ . 解析    (1)原式= - = =- . (2)原式= ÷ = · = . 初中同步培优卷 18. (★☆☆)(8分)解分式方程: (1) = -2.　　　    (2) - = . 初中同步培优卷 解析    (1)方程两边同乘x-1,得x-2=-2-2(x-1), 去括号,得x-2=-2-2x+2.解得x= . 把x= 代入原方程检验:左边= =4,右边= -2=6-2=4,左 边=右边. 所以x= 是原方程的解. 初中同步培优卷 (2)方程两边同时乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-(x-1)2=4, 去括号,得x2+2x+1-x2+2x-1=4, 解得x=1, 把x=1代入原方程检验,结果使原方程中分式的分母的值为0, 分式没有意义,所以x=1不是原方程的根,原方程无解. 初中同步培优卷 19. (2025宁波期末,★☆☆)(8分)先化简 ÷ , 然后再从1,2,3中选一个合适的数作为x的值代入求值. 解析     ÷  = · = , 因为x-2≠0,x-1≠0,所以x≠2,x≠1, 所以x=3,当x=3时,原式= . 初中同步培优卷 20. (★☆☆)(8分)若代数式 的值比 的值大1,求x的 值. 解析　因为代数式 的值比 的值大1, 所以 - =1, 所以2x(3-2x)-3=9-4x2,解得x=2, 检验:当x=2时,9-4x2≠0, 故x=2是分式方程的解, 所以x的值为2. 初中同步培优卷 21. (★☆☆)(8分)新能源汽车有着动力强、能耗低的特点,逐 渐成为人们喜爱的交通工具.在制作新能源汽车的电池正极 的材料中,锰是重要的元素之一.现安排甲、乙两个采矿队开 采锰矿石,已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的1.5倍, 同样开采2 400吨锰矿石,甲队所用时间比乙队所用时间少4 天,问甲、乙两队每天各开采锰矿石多少吨? 初中同步培优卷 解析　设乙队每天开采锰矿石x吨,则甲队每天开采锰矿石 1.5x吨. 由题意,得 = -4, 解得x=200, 经检验,x=200是所列方程的解,且符合题意, 所以1.5x=1.5×200=300(吨). 答:甲队每天开采锰矿石300吨,乙队每天开采锰矿石200吨. 初中同步培优卷 22. (★★☆)(10分)【阅读材料】 已知实数x满足x+ =4,求分式 的值. 解:易知x≠0,观察所求式子的特征,我们可以先求出  的倒数的值,再求 的值. 因为 =x+3+ =4+3=7, 所以 = . 初中同步培优卷 【活学活用】 (1)已知实数a满足a+ =-5,求分式 的值. (2)已知实数x满足x+ =9,求分式 的值. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意知a≠0,因为a+ =-5,所以 =3a+5+  =3 +5=-15+5=-10,所以 =- . (2)由题意知x≠-1, 因为x+ =9,所以x+1+ =10, 所以 =  =x+1+ +3=10+3=13,所以 = . 初中同步培优卷 23. (2024金华义乌月考,★★☆)(10分)定义:如果一个分式能 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这 个分式为“和谐分式”.如: = = + =1+ ,  = = + =2+ ,则 和 都是 “和谐分式”. (1)下列式子中,属于“和谐分式”的是_______(填序号). ① ;② ;③ ;④ ;⑤ . 初中同步培优卷 (2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常 数的分式的和的形式为_______. (3)应用:先化简 - ÷ ,再求x取什么整数时,该式 的值为整数. 初中同步培优卷 解析    (1)①③④⑤. (2) = = + =a-1+ . (3)原式= - ·  = - = =  = =2x-3+ , 因为x为整数,原式的值为整数,所以 为整数, 所以x+1=±1或x+1=±5, 初中同步培优卷 所以x=0或x=-2或x=4或x=-6, 因为x+1≠0且x≠0且x-1≠0, 所以x≠-1且x≠0且x≠1, 所以当x=-2或x=4或x=-6时,该式的值为整数. 初中同步培优卷 24. (2025衢州期末,★★★)(12分)阅读下列信息: 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁,景色宜人,是市民散步、跑步的好地方 信息2 一天,甲、乙两人同时从绿道上的A地出发,经D,E两地到达B地,其中E,B两地相距600米 信息3 已知甲从A地到E地的速度是150米/分钟,用时t分钟;从E地到B地的速度是100米/分钟,用时 t分钟 初中同步培优卷 信息4 乙以v米/分钟的速度从A地跑到D地后,在D地休息了7分钟,在此期间,甲从乙的身边跑过,此时甲恰好跑了32分钟.乙休息结束后,立刻以 v米/分钟的速度追赶,最终与甲同时到达B地 解决问题: (1)试确定t的值,并求出A,B两地间的距离. (2)求v的值. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意,得100× t=600,解得t=36, 设A,B两地间的距离为x米,由题意,得x-600=150×36, 解得x=6 000. 答:t的值为36,A,B两地间的距离为6 000米. (2)由题意,得A,D两地之间的距离为32×150=4 800(米).所以  +7+ =36+36× ,解得v=160, 经检验,v=160是所列方程的解,且符合题意. 答:v的值为160. 初中同步培优卷 $