第2章 二元一次方程组 素养综合测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法及应用，通过基础题（如方程定义判断）、中档题（如消元法解题）到综合题（如实际应用与新定义问题）的递进，结合例题与变式构建知识网络，体现知识点的内在逻辑。 其亮点在于采用分层设计（★☆☆到★★★难度）和素养导向，如新能源汽车安装等实际应用题培养数学眼光，同解方程组推理题发展数学思维，新定义“友好方程”题提升数学语言表达，助力学生巩固知识，教师精准实施分层教学。

第2章·素养综合测试卷 时间：120分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. (★☆☆)下列方程中,是二元一次方程的是 ( ) A.3x+y=2　　　    B.xy=1　　　    C. -y=1　　　   D.x2-x-1=0     A     解析　方程3x+y=2是整式方程,含两个未知数x和y,且x和y的 次数均为1,是二元一次方程,故A符合题意;方程xy=1中,xy的 次数是2,不是二元一次方程,故B不符合题意;方程 -y=1不是 整式方程,故C不符合题意;方程x2-x-1=0仅含一个未知数x,且x2 项的次数为2,不是二元一次方程,故D不符合题意.故选A. 初中同步培优卷 2. (2025绍兴新昌期末,★☆☆)下列各组数中,可以作为方程2 x=3y的一个解的是 ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　   D.      C     解析　分别将各选项中x,y的值代入方程2x=3y中,只有C选项 能使方程两边的值相等.故选C. 初中同步培优卷 3. (2025金华义乌期末,★☆☆)解方程组 时,下列 步骤能消元的是 ( ) A.①×2-②　　　     B.①×2-②×3 C.①×2+②×3　　　    D.①-②×3     B     解析　利用加减消元法解二元一次方程组 时要 消去未知数y,则需①×2+②,要消去未知数x,则需①×2-②×3. 故选B. 初中同步培优卷 4. (2025江苏苏州期中,★☆☆)若关于x,y的方程组  的解是 则a+b= ( ) A.2　　　    B.-2　　　    C.0　　　    D.4     C     解析　把 代入方程组  得 解得  所以a+b=2+(-2)=0.故选C. 初中同步培优卷 5. (2024绍兴新昌期中,★★☆)关于x,y的二元一次方程3x+y=7 的正整数解的个数为 ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     B     解析　因为3x+y=7,所以y=7-3x, 又因为x,y为正整数,所以当x=1时,y=4,当x=2时,y=1, 所以二元一次方程3x+y=7的正整数解为   共2个.故选B. 初中同步培优卷 6. (★★☆)某中学七(1)班45名同学参加班级“爱心捐款”活 动,共捐款400元,捐款情况记录表中捐款8元和10元的人数不 小心被墨迹覆盖住了.若设捐款8元的有x名同学,捐款10元的 有y名同学,依题意可列方程组为 ( ) 捐款/元 5 8 10 人数 10     初中同步培优卷 A. 　　　    B.  C. 　　　    D.  答案　A 解析　捐款5元的有10人,共计50元,即剩余人数为35,剩余捐 款总额为350元,捐款8元的有x名同学,捐款10元的有y名同学, 所以可列方程组为 故选A. 初中同步培优卷 7. (2025陕西铜川月考,★★☆)已知关于x,y的二元一次方程组  和 有相同的解,则a-5b的值为 ( ) A.4　　　    B.5　　　    C.6　　　    D.7     A     解析　将第一个方程组中的x+y=-1和第二个方程组中的x-y= 3联立,组成新的方程组  解得 将 代入ax+5y=4和5x+by=1,得a-10=4,5-2b= 1,解得a=14,b=2,所以a-5b=14-10=4.故选A. 初中同步培优卷 8. (2025重庆北碚期末,★★☆)若关于x,y的方程组  的解是 则关于m,n的方程组  的解为 ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　   D.       C     初中同步培优卷 解析　把关于m,n的方程组整理为  因为关于x,y的方程组 的解是 所以  解得 即方程组 的解为  故选C. 初中同步培优卷 9. (2025金华东阳期末,★★☆)若关于x,y的方程组  有无数个解,则a与b的值分别是 ( ) A.4,-1　　　    B.4,1　　　    C.2,1　　　    D.8,-      D     初中同步培优卷 解析      ①×b,得abx-by=2b,③ ②+③,得(4+ab)x=2b+1, 因为原方程组有无数个解, 所以4+ab=0,2b+1=0, 所以a=8,b=- .故选D. 初中同步培优卷 10. (★★★)对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=ax+by-5(其中 a,b均为非零常数).例如T(0,1)=a×0+b×1-5=b-5,若T(2,3)=2,T(1, -4)=-7,则下列结论:①a=2,b=1;②若T(m,n)=0,则m= ;③若T (m,n)=0,则m,n有且仅有1组正整数解;④若T(kx,y)=T(ky,x)对任 意有理数x,y都成立,则k=1.其中正确的个数为 ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     B     初中同步培优卷 解析　因为T(x,y)=ax+by-5,T(2,3)=2,T(1,-4)=-7,所以  解得 故结论①正确. 因为a=2,b=1,T(m,n)=0, 所以2m+n-5=0.所以m= ,故结论②正确. 由②知当T(m,n)=0时,m= , 因为m,n均为正整数,所以 或  初中同步培优卷 所以m,n有2组正整数解,故结论③错误. 因为T(kx,y)=T(ky,x), 所以2kx+y-5=2ky+x-5,整理,得2kx-2ky=x-y. 所以2k(x-y)=x-y. 因为对任意有理数x,y都成立,所以2k=1,所以k= ,故结论④错 误.综上,正确的有2个,故选B. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共18分) 11. (2025江苏盐城期中,★☆☆)若- x|m-2|+(m-3)y=7是关于x,y 的二元一次方程,则m的值为_________.     1     解析　由题意得 解得m=1. 初中同步培优卷 12. 【学科特色·整体思想】(2025金华金东二模,★☆☆)方程 组 的解是_________. 初中同步培优卷 解析      把①代入②,得x+ ×10=5,解得x=3, 把x=3代入①,得3×3+2y=10,解得y= , 所以原方程组的解是  初中同步培优卷 13. (★☆☆)在图①的天平上,物块A的质量等于物块B加上物 块C的质量;在图②的天平上,物块A加上物块B的质量等于3 个物块C的质量,已知1个物块A的质量为10 g,则1个物块B的 质量是_________g.       5     初中同步培优卷 解析　设1个物块B,C的质量分别是x g,y g, 根据题意得  ①×3-②,得20-x=3x,解得x=5. 即1个物块B的质量是5 g.故答案为5. 初中同步培优卷 14. (2025温州期中,★★☆)若实数x,y满足|2x+y+1|+(y+4x)2=0, 则x8y8的值是_________.     1     解析　因为|2x+y+1|+(y+4x)2=0, 所以 由②得y=-4x③, 把③代入①,得2x-4x+1=0,解得x= , 把x= 代入③,得y=-2, 所以x8y8= ×(-2)8=1. 初中同步培优卷 15. (★★☆)如图,周长为42 m的长方形ABCD中刚好铺满6个 完全相同的小长方形,则每个小长方形的面积为________m2.       18     初中同步培优卷 解析　设每个小长方形的长为x m,宽为y m, 由题意得 解得  所以每个小长方形的面积为xy=6×3=18(m2). 故答案为18. 初中同步培优卷 16. 【新考向·新定义题】(2025杭州钱塘期末,★★★)若二元 一次方程组的解 满足a=2b或b=2a,则称该方程组为“二 倍解方程组”.已知关于x,y的方程组 是“二倍 解方程组”,则m的值为___________.     4或3     初中同步培优卷 解析　解关于x,y的方程组 得 因为关于 x,y的方程组 是“二倍解方程组”,所以m-2=2(5- m)或5-m=2(m-2),解得m=4或m=3. 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (★☆☆)(8分)解方程组: (1) 　　　    (2)  初中同步培优卷 解析    (1)  把①代入②,得x+2x-4=-1,解得x=1, 把x=1代入①,得y=2×1-4=-2,所以原方程组的解为  (2)原方程组整理得  ①×2+②,得5x=15,解得x=3,把x=3代入①,得3+2y=7,解得y=2, 所以原方程组的解为  初中同步培优卷 18. (2025台州期中,★☆☆)(8分)对于未知数为x,y的二元一次 方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说方程组的解x 与y具有“邻好关系”. (1)关于x,y的方程组 的解x与y是否具有“邻好关 系”?说明你的理由. (2)若关于x,y的方程组 的解x与y具有“邻好关 系”,求m的值. 初中同步培优卷 解析    (1)x与y具有“邻好关系”. 理由:  ①-②,得x-y=-1,所以|x-y|=1. 所以该方程组的解x与y具有“邻好关系”. (2) ②-①,得2x-2y=6-4m,所以x-y=3-2m. 因为方程组的解x与y具有“邻好关系”, 所以|x-y|=1,所以3-2m=1或3-2m=-1. 所以m=1或m=2. 初中同步培优卷 19. (2025河北石家庄月考,★★☆)(8分)解方程组  时,两位同学的解法(部分)如下: 甲:由①-②,得3x=-3.…… 乙:由②得3x+(x-2y)=5③, 把①代入③得3x+2=5.…… (1)反思:上述两种解题过程中你发现_______的解题过程有 错误(填“甲”或“乙”).解二元一次方程组的基本思想是___. (2)请选择你喜欢的方法解方程组  初中同步培优卷 解析    (1)甲;消元. (2)原方程组整理得  ②-①,得x=3, 把x=3代入①,得3-3y=4,解得y=- , 所以原方程组的解为  初中同步培优卷 20. (2025宁波余姚期中,★★☆)(8分) (1)已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y =4,求a的值. (2)在(1)的条件下,求出方程组的解. 初中同步培优卷 解析    (1)  ①-②,得x+y=a+1,因为x+y=4,所以a+1=4,所以a=3. (2)当a=3时,原方程组为  ①×2-②,得5x=13,解得x= , 把x= 代入①,得4× -y=9,解得y= , 所以原方程组的解是  初中同步培优卷 21. (2025江苏宿迁期末,★★☆)(8分)甲、乙两人同时解关 于x,y的方程组 甲看错了b的值,求得的解为  乙看错了a的值,求得的解为 求原方程组的解. 初中同步培优卷 解析　因为甲看错了b的值,所以 是方程①的解,所以将  代入①,得2a-5=3,解得a=4, 因为乙看错了a的值,所以 是方程②的解,所以将  代入②,得-2-3b=1,解得b=-1, 所以原方程组是  初中同步培优卷 ③-④,得2x=2,解得x=1, 将x=1代入④,得2+y=1,解得y=-1, 所以原方程组的解是  初中同步培优卷 22. (2025台州期中,★★☆)(10分)随着“低碳生活,绿色出 行”理念的普及,新能源汽车成为人们喜爱的交通工具.某汽 车制造商开发了一款新能源汽车,计划一年生产安装360辆.由 于抽调不出足够的技术熟练的老员工来完成安装任务,工厂 决定招聘部分新员工,他们经过培训后也能独立进行新能源 汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名老员工和3名新员 工每月可以安装12辆新能源汽车;2名老员工和5名新员工每 月可以安装22辆新能源汽车. 初中同步培优卷 (1)每名老员工和新员工每月分别可以安装多少辆新能源汽 车? (2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新员工,使得招聘的新员工和抽 调的老员工刚好能完成一年(12个月)的安装任务,那么工厂有 哪几种招聘新员工的方案? 初中同步培优卷 解析    (1)设每名老员工每月可以安装x辆新能源汽车,每名新 员工每月可以安装y辆新能源汽车,由题意得 解得   答:每名老员工每月可以安装6辆新能源汽车,每名新员工每月 可以安装2辆新能源汽车. (2)设工厂有a名老员工, 由题意得12(6a+2n)=360, 初中同步培优卷 整理得n=15-3a, 又因为a,n都是正整数且0<n<10, 所以当a=2时,n=9; 当a=3时,n=6;当a=4时,n=3, 即工厂共有3种招聘新员工的方案: 方案一:若抽调的老员工有2名,则招聘新员工9名; 方案二:若抽调的老员工有3名,则招聘新员工6名; 方案三:若抽调的老员工有4名,则招聘新员工3名. 初中同步培优卷 23. (2025金华期末,★★☆)(10分)定义:关于x,y的二元一次方 程ax+by=c(abc≠0,a≠c)中的常数项c与未知数x的系数a互换, 得到的新方程叫作原方程的“友好方程”,例如:方程ax+by=c 的“友好方程”为cx+by=a. (1)求方程x+2y=3与它的“友好方程”组成的方程组的解. (2)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0, 求方程ax+by=c与它的“友好方程”组成的方程组的解. (3)已知关于x,y的二元一次方程(3m-t)x+2 025y=m+2t是(2+n)x +2 025y=m-1的“友好方程”,求 的值. 初中同步培优卷 解析    (1)方程x+2y=3的“友好方程”为3x+2y=1, 所以组成的方程组为  ②-①,得2x=-2,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1+2y=3,解得y=2,所 以组成的方程组的解为  (2)方程ax+by=c的“友好方程”为cx+by=a, 所以组成的方程组为  ①-②,得(a-c)x=c-a,解得x=-1, 初中同步培优卷 把x=-1代入①,得-a+by=c,所以by=a+c, 因为a+b+c=0,即a+c=-b,所以by=-b, 所以y=-1, 所以组成的方程组的解为  (3)由题意,得  由①,得t=2m+1,把t=2m+1代入②,得2+n=m+2(2m+1), 整理,得5m=n,所以 = . 初中同步培优卷 24. 【新考向·项目探究题】(2025绍兴期中,★★★)(12分)根 据以下素材,探索完成任务. 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛,分别设置一等奖、二等奖 和三等奖若干名,需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元,购买3盒水笔和2包笔记本需要520元 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品 初中同步培优卷 素材3 (1)1盒水笔有12支,1包笔记本有16本. (2)计划设置一等奖a人,二等奖30人,三等奖b人,且a<30<b. (3)一等奖:1支水笔和1本笔记本,二等奖:1支水笔,三等奖:1本笔记本 问题解决 初中同步培优卷 任务1 确定单价:求1盒水笔和1包笔记本各多少元 任务2 确定购买数量:将880元全部用完,可以购买水笔多少盒?笔记本多少包 任务3 确定获奖人数:任务2中购买的奖品刚好全部发完,则a=    　　    ,b=　　　     初中同步培优卷 解析　任务1:设1盒水笔x元,1包笔记本y元, 由题意,得 解得  答:1盒水笔120元,1包笔记本80元. 任务2:设购买水笔m盒,笔记本n包, 由题意,得120m+80n=880,整理,得n=11- m, 因为m,n均为正整数, 所以 或 或  初中同步培优卷 故有3种购买方案: 方案一:购买水笔2盒,笔记本8包; 方案二:购买水笔4盒,笔记本5包; 方案三:购买水笔6盒,笔记本2包. 任务3:18;62. 详解:由题意可知,共需笔记本(a+b)本,水笔(a+30)支, 方案一中,水笔有2×12=24(支),笔记本有8×16=128(本), 由题意,得 解得 (不符合题意,舍去); 初中同步培优卷 方案二中,水笔有4×12=48(支),笔记本有5×16=80(本), 由题意,得 解得 符合题意; 方案三中,水笔有6×12=72(支),笔记本有2×16=32(本), 由题意,得 解得 (不符合题意,舍去). 综上,a=18,b=62. 初中同步培优卷 $