5.5 第1课时 分式方程及其解法（A本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦分式方程核心内容，涵盖概念辨析、解法步骤及增根问题，通过整式方程到分式方程的过渡实例，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合中考真题与分层题目，以规范解法步骤培养运算能力，通过增根及无解分析发展推理意识，新定义运算题提升应用意识。学生能夯实基础并拓展思维，教师可直接用于分层教学，提高教学效率。

第5章　分式 5.5　分式方程 第1课时　分式方程及其解法 初中数学培优课堂  　分式方程的概念及解 1.(2025山东枣庄月考)下列关于x的方程是分式方程的是  ( ) A. =1- 　　　    B. =2+x C. + =1　　　    D. =1     D     解析     =1的分母中含有未知数,符合分式方程的概念,是 分式方程.故选D. 初中数学培优课堂 2.(2025温州二中月考)如果关于x的分式方程 = 的解 是x=2,那么a的值是_________. 解析　把x=2代入原方程中可得 = ,解得a= . 初中数学培优课堂  　分式方程的解法及分式方程的增根 3.(2025湖南中考)将分式方程 = 去分母后得到的整式方 程为 ( ) A.x+1=2x　　　    B.x+2=1 C.1=2x　　　     D.x=2(x+1)     A     解析　原方程两边同乘x(x+1)得x+1=2x,故选A. 初中数学培优课堂 4.(2025台州路桥期末)若关于x的方程 - =1有增根,则m 的值为 ( ) A.2　　　    B.1　　　    C.-1　　　    D.-2     A     解析　方程两边同乘x-1,得m-2=x-1, 因为原分式方程有增根,所以x=1,所以m-2=0, 解得m=2.故选A. 初中数学培优课堂 5.关于方程 + = 的根的情况,说法正确的是  ( ) A.x=0是它的增根 　　　　　 　　    B.x=-1是它的增根 C.原分式方程无解 　　　　　　　    D.x=1是它的根     C     解析　原方程化为 -  = , 方程两边同乘x(x+1)(x-1),得3(x+1)-6x=7(x-1),解得x=1, 检验:当x=1时,x(x+1)(x-1)=0,即x=1是原方程的增根,所以原分 式方程无解.故选C. 初中数学培优课堂 6.(2025北京中考)方程 + =0的解为___________.     x=2     解析　方程两边同乘x(x-6),得2x+x-6=0, 解得x=2, 检验:当x=2时,x(x-6)=-8≠0, 所以x=2是原方程的解. 初中数学培优课堂 7.(2025四川凉山州中考)若关于x的分式方程 + =3无 解,则m=_______. 　-1     解析　方程两边同乘x-2,得x+m-1=3x-6, 移项、合并同类项,得-2x=-5-m,解得x= , 因为原方程无解, 所以x= 是原方程的增根, 所以 =2,所以m=-1. 初中数学培优课堂 8.解分式方程: (1)(2025浙江中考) - =0. (2)(2025宁波慈溪期末) -1= . 初中数学培优课堂 解析    (1)方程的两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号,得3x-3-x-1=0, 移项、合并同类项,得2x=4, 解得x=2, 把x=2代入原方程检验: 左边= - =1-1=0=右边. 所以x=2是原方程的根. 初中数学培优课堂 (2)原分式方程化为 -1= , 方程两边同乘x-1,得x+1-(x-1)=2x, 去括号,得x+1-x+1=2x, 移项、合并同类项,得2x=2, 解得x=1, 把x=1代入原方程检验,结果使原方程中分式的分母为0,分式 没有意义, 所以x=1不是原方程的根,原方程无解. 初中数学培优课堂   9.(2025山东烟台期中,★★☆)对于有理数a,b,定义一种新运 算¤:a¤b= ,这里等式的右边是有理数运算.例如:1¤3=  =- .那么方程(-2)¤x= -3的解为 ( ) A.x=4　　　    B.x=5　　　    C.x=6　　　    D.x=7     C     初中数学培优课堂 解析　因为(-2)¤x= -3,所以 = -3, 方程两边同乘x-4,得-1=5-3(x-4),解得x=6, 检验:当x=6时,x-4≠0, 所以x=6是原方程的根,故选C. 初中数学培优课堂 10.(2024江西上饶期末,★★☆)关于x的分式方程 = 有 解,则字母a的取值范围是 ( ) A.a≠3　　　     B.a≠0 C.a≠0且a≠3　　　    D.a<3且a≠0     C     初中数学培优课堂 解析　方程两边同乘x(x-4),得3(x-4)=ax, 整理,得(3-a)x=12, 因为原分式方程有解, 所以3-a≠0,x(x-4)≠0, 所以a≠3,x≠0,x-4≠0, 所以x= ≠0,x= ≠4, 所以a≠0且a≠3,故选C. 初中数学培优课堂 11.(2025杭州月考,★★☆)若关于x的分式方程 - =1的 解为正数,则m的取值范围是 ( ) A.m>-3　　　     B.m≠1 C.m>-3且m≠-2　　　    D.m>-3且m≠1     C     初中数学培优课堂 解析　方程两边同乘x-1,得m+2=x-1, 所以x=m+3, 因为分式方程的解为正数, 所以x>0,即m+3>0,解得m>-3, 因为x-1≠0,所以x≠1, 即m+3≠1,解得m≠-2, 所以m的取值范围是m>-3且m≠-2.故选C. 初中数学培优课堂 12.(2024黑龙江牡丹江中考,★★☆)若分式方程 =3-  的解为正整数,则整数m的值为_______. 　-1     解析     =3- , 整理得 =3+ , 方程两边同乘x-1,得x=3(x-1)+mx,解得x= , 由方程的解是正整数,得到x为正整数,则2+m=1或2+m=3, 解得m=-1或m=1(舍去,会使得分式无意义).所以m=-1. 初中数学培优课堂 13.【学科特色·易错题】(2025金华义乌月考,★★★)已知关 于x的分式方程 - =0无解,则a的值为____________.     0或 或-1 初中数学培优课堂 解析　方程两边同乘x(x+1),得ax-2a+x+1=0. 关于x的分式方程 - =0无解,分两种情况: ①分式方程有增根, 即x(x+1)=0, 解得x=-1或x=0, 当x=-1时,-a-2a-1+1=0,解得a=0, 当x=0时,-2a+1=0,解得a= . 初中数学培优课堂 ②去分母后的整式方程无解, 即方程ax-2a+x+1=0无解, 整理,得(a+1)x=2a-1无解, 所以a+1=0,所以a=-1. 综上,a的值为0或 或-1. 初中数学培优课堂 14.【学科特色·教材变式P148例2】(2025宁波模拟,★★☆)佳 佳计算分式方程 = -2的过程如下: 解方程:   =  -2. 去分母,得1-x=-1-2, ① 移项,得-x=-1-2+1, ② 合并同类项,得-x=-2, ③ 系数化为1,得x=2, ④ 经检验,x=2是该分式方程的解. 初中数学培优课堂 (1)佳佳在计算过程中,第一次出现错误的步骤是_______(填 序号). (2)请你写出正确的解答过程. 初中数学培优课堂 解析    (1)①. (2)方程两边同乘x-3,得1-x=-1-2(x-3), 去括号,得1-x=-1-2x+6, 移项,得-x+2x=-1+6-1, 合并同类项,得x=4, 把x=4代入原方程检验:左边= =-3,右边= -2=-1-2=-3, 左边=右边, 所以x=4是原分式方程的解. 初中数学培优课堂 15.【新考向·新定义题】(2025金华永康期末,★★☆)定义关 于☆的一种新运算:x☆y= (x,y是实数,且x≠y),例如:(-1)☆ 2= = . (1)求(-3)☆(-2)的值. (2)是否存在x,使得x☆1=1☆x+3成立?若存在,请求出x的值;若 不存在,请说明理由. 初中数学培优课堂 解析    (1)(-3)☆(-2)= =-6. (2)存在.由题意,得 = +3, 方程两边同乘x-1,得x=-x+3(x-1),解得x=3. 把x=3代入原方程检验:左边= = , 右边= +3=- +3= ,左边=右边, 所以x=3是原分式方程的解. 所以当x=3时,使得x☆1=1☆x+3成立. 初中数学培优课堂   16.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025金华期 末)定义:形如x+ =a+b(ab≠0),两个解分别为x1=a,x2=b的方 程称为“十字分式方程”.如x+ =3,其中a=2,b=1. (1)试判断x+ =-5是不是“十字分式方程”.若是,求该方程的解. (2)若“十字分式方程”x- =3的解为x1=a,x2=b,求下列代数式的值: ①a2+3b. ② + . 初中数学培优课堂 解析    (1)方程x+ =-5可整理为x+ =(-2)+(-3), 假设其是“十字分式方程”,则其解为x1=-2,x2=-3. 经检验,x=-2,x=-3都是方程的解,假设成立, 所以方程x+ =-5是“十字分式方程”, 原分式方程的解为x=-2或x=-3. (2)因为x- =3是“十字分式方程”,其解为x1=a,x2=b, 所以a- =3,a+b=3,ab=-1. 初中数学培优课堂 ①因为a- =3, 所以a2=3a+1, 又a+b=3, 所以a2+3b=3a+1+3b=3(a+b)+1=3×3+1=10. ② + = = = -2= -2=-11. 初中数学培优课堂 $