4.3 第1课时 用平方差公式分解因式（A本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦用平方差公式分解因式，通过剪拼图形面积验证公式导入，衔接乘法公式与因式分解，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合学科特色（整体思想、易错题）与新考向（新定义、规律探究），通过多解法、代数推理题培养运算能力、推理意识和创新意识。如“和谐数”问题引导学生用数学思维分析，助力学生提升综合应用能力，为教师提供分层教学资源。

第4章　因式分解 4.3　用乘法公式分解因式 第1课时　用平方差公式分解因式 初中数学培优课堂  　用平方差公式分解因式 1.(2025衢州期末)如图所示的剪拼过程(由左向右)可以验证 的公式是 ( )     A     A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=(a-b)(a+2b) 初中数学培优课堂 解析　左图中①②③三部分的面积和可以看作两个正方形的 面积差,即a2-b2,由①②③三部分所拼成的右图是一个长为a +b,宽为a-b的长方形,因此面积为(a+b)(a-b),所以有a2-b2=(a+b)· (a-b),故选A.   初中数学培优课堂 2.(2025金华期末)下列多项式中,能用平方差公式分解因式的 是 ( ) A.-x2+ 　　　     B.-x2-  C.3x2-16y　　　    D.x2+16y     A     解析　能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的 差,-x2+ = -x2=  .故选A. 初中数学培优课堂 3.分解因式:4a2-1= ( ) A.(2a-1)(2a+1)　　　     B.(a-2)(a+2) C.(a-4)(a+1)　　　     D.(4a-1)(a+1)     A     解析    4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A. 初中数学培优课堂 4.【学科特色·整体思想】(2025山东青岛城阳月考)分解因式: a2-4(a+b)2= ( ) A.(3a+2b)(-a+2b) B.(5a+4b)(-3a-4b) C.-(5a+4b)(3a-4b) D.-(3a+2b)(a+2b)     D     解析    a2-4(a+b)2=[a+2(a+b)][a-2(a+b)]=(3a+2b)(-a-2b)=-(3a+ 2b)(a+2b).故选D. 初中数学培优课堂 5.(2025江西赣州期末)分解因式:-16x2+81y2=_________________.     (9y+4x)(9y-4x) 解析　-16x2+81y2=81y2-16x2=(9y+4x)(9y-4x). 初中数学培优课堂 6.(2025杭州上城期末)分解因式:x2y-4y=_______________.     y(x+2)(x-2)     解析    x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2). 初中数学培优课堂 7.【学科特色·易错题】若两个多项式有公因式,则称这两个 多项式为“关联多项式”.若x2-25与(x+b)2为“关联多项式”, 则b的值为__________.     ±5     解析    x2-25=(x+5)(x-5), 因为x2-25与(x+b)2为“关联多项式”,所以b=±5. 初中数学培优课堂 8.分解因式: (1)9x2-4y2.    (2)18a2b-8b. (3)9(a+b)2-25(a-b)2.    (4) x4-16y4. 初中数学培优课堂 解析    (1)原式=(3x+2y)(3x-2y). (2)原式=2b(9a2-4)=2b(3a+2)(3a-2). (3)原式=[3(a+b)]2-[5(a-b)]2 =[3(a+b)+5(a-b)][3(a+b)-5(a-b)] =(8a-2b)(8b-2a)=4(4a-b)(4b-a). (4)原式=   =   . 初中数学培优课堂 9.用简便方法计算: (1)3×852-3×152. (2)6212-1482-769×373. 解析    (1)原式=3×(852-152) =3×(85+15)×(85-15)=3×100×70=21 000. (2)原式=(621+148)×(621-148)-769×373 =769×473-769×373=769×(473-373) =769×100=76 900. 初中数学培优课堂 10.(2025杭州期中)已知代数式:①(a+b)2;②c2;③2c(a+b),请从 其中任意选择2个代数式用“-”号连接,并将连接的式子进 行因式分解. 解析　若选择①②,则有(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)或c2-(a+b)2= (c+a+b)(c-a-b). 若选择①③,则有(a+b)2-2c(a+b)=(a+b)(a+b-2c)或2c(a+b)-(a +b)2=(a+b)(2c-a-b). 若选择②③,则有c2-2c(a+b)=c[c-2(a+b)]=c(c-2a-2b)或2c(a+b)- c2=c[2(a+b)-c]=c(2a+2b-c). 初中数学培优课堂   11.【新考向·新定义题】(2024温州瓯海期末,★★☆)如果一 个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“和 谐数”,如:因为40=112-92,所以称40为“和谐数”.下面4个数 中,为“和谐数”的是( ) A.2 021　　　    B.2 022　　　    C.2 023　　　    D.2 024     D     初中数学培优课堂 解析　设两个连续奇数中较小的奇数为2n-1,较大的奇数为 2n+1(n为整数), 因为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n, 所以“和谐数”一定能被8整除. 各选项中只有2 024能被8整除,故选D. 初中数学培优课堂 12.(2025创新教育初中协作体月考,★★☆)计算:(a2+b2)2-(a2-b2)2= ( ) A.2ab　　　    B.4ab　　　    C.2a2b2　　　    D.4a2b2     D     解析　原式=[(a2+b2)+(a2-b2)][(a2+b2)-(a2-b2)]=2a2·2b2=4a2b2.故 选D. 初中数学培优课堂 13.(2025金华义乌、东阳期末,★★☆)若s+t=4,则s2-t2+8t的值 是 ( ) A.8　　　    B.12　　　    C.16　　　    D.32     C     解析　因为s+t=4,所以s2-t2+8t=(s+t)(s-t)+8t=4(s-t)+8t=4s-4t+8t =4s+4t=4(s+t)=4×4=16.故选C. 初中数学培优课堂 14.(2025金华义乌月考,★★☆)小强是一位密码编译爱好者, 在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2 分别对应下列六个字:乌、爱、我、义、游、美,现将a2(x2-y2)- b2(x2-y2)分解因式,结果呈现的密码信息可能是 ( ) A.我爱美　　    B.义乌游 C.我爱义乌　　  D.美我义乌     C     解析    a2(x2-y2)-b2(x2-y2)=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b),因为 x+y表示我,x-y表示爱,a+b表示义,a-b表示乌,所以结果呈现的 密码信息可能是我爱义乌.故选C. 初中数学培优课堂 15.(2025杭州期末,★★★)设n为自然数,代入代数式n3-n计算 其值时,四名同学算出了下列四个结果,其中正确的结果可能 是 ( ) A.521　　　    B.1 413　　　    C.3 721　　　    D.1 716     D     解析　原式=n(n-1)(n+1),所以n3-n可写成三个连续整数的积, 其中至少有一个因数为偶数,所以n3-n的结果是一个偶数.故 选D. 初中数学培优课堂 16.【学科特色·教材变式P120例2】(★★☆)分解因式:2m(m -n)+8m3(n-m)=_________________________.     2m(m-n)(1+2m)(1-2m)     解析　原式=2m(m-n)-8m3(m-n) =2m(m-n)(1-4m2) =2m(m-n)(1+2m)(1-2m). 初中数学培优课堂 17.【学科特色·多解法】(★★☆)分解因式:a3-a2-a+1= ___________. (a+1)(a-1)2     解析　【解法一】原式=(a3-a2)-(a-1)=a2(a-1)-(a-1)=(a-1)(a2-1) =(a-1)(a+1)(a-1)=(a+1)(a-1)2. 【解法二】原式=(a3-a)-(a2-1)=a(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a-1)=(a+1) (a-1)(a-1)=(a+1)(a-1)2. 初中数学培优课堂 18.(2024宁波奉化期中,★★★)已知m2=2n+1,4n2=m+1(m≠ 2n),那么m+2n=_______,4n3-mn+2n2=_________.     0     　-1     初中数学培优课堂 解析　因为m2=2n+1,4n2=m+1, 所以m2-4n2=2n+1-m-1,所以m2-4n2=2n-m,所以(m+2n)(m-2n)=2n- m,因为m≠2n,所以m+2n=-1, 因为4n2=m+1,所以4n3=mn+n,所以4n3-mn=n. 因为4n2=m+1,所以n2= (m+1),所以2n2= (m+1). 所以4n3-mn+2n2=(4n3-mn)+2n2=n+ (m+1)= (2n+m+1)= ×(-1+ 1)=0. 初中数学培优课堂 19.【新考向·规律探究题】(2025嘉兴期中,★★☆)观察下列 等式,找规律: ①32-12=4×2;②42-22=4×3;③52-32=4×4;④62-42=4×5. (1)第5个等式为___________. (2)第100个等式为___________. (3)第n个等式怎么表示?请用代数式的运算说明它的正确性. 初中数学培优课堂 解析    (1)72-52=4×6. (2)1022-1002=4×101. (3)第n个等式可表示为(n+2)2-n2=4(n+1). 说明:左边=(n+2+n)(n+2-n)=2(2n+2)=4(n+1)=右边,所以此等 式成立. 初中数学培优课堂   20.【新课标·运算能力】【新考向·代数推理】对于任意一个 四位正整数,我们可以记为 ,即 =1 000a+100b+10c+d. 若规定:对四位正整数 进行F运算,得到整数F( )=a4+b3 +c2+d.例如,F(1 049)=14+03+42+9=26. (1)计算:F(2 025). (2)当c=e+4时,证明:F( )-F( )的计算结果一定是8的倍 数. 初中数学培优课堂 解析    (1)F(2 025)=24+03+22+5=16+0+4+5=25. (2)证明:因为c=e+4, 所以F( )-F( ) =(a4+b3+c2+d)-(a4+b3+e2+d) =c2-e2=(e+4)2-e2 =(e+4+e)(e+4-e) =8(e+2), 所以F( )-F( )的计算结果一定是8的倍数. 初中数学培优课堂 $