专项突破6 因式分解的其他方法（A本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦因式分解的分组分解法、十字相乘法、拆(添)项法及换元法，通过典型例题（如2025金华兰溪期末题）衔接已学基础方法，构建从提公因式、公式法到进阶技巧的学习支架，帮助学生逐步掌握复杂多项式的分解思路。 其亮点在于以数学眼光引导学生观察多项式结构特征，通过分组、换元等方法培养数学思维中的推理与转化能力，如换元法中令t=m²-3m将复杂式转化为二次三项式。同时规范符号表达强化数学语言运用，助力学生提升因式分解能力与创新意识，为教师提供系统分层的教学资源。

专项突破6　因式分解的其他方法 初中数学培优课堂  　分组分解法 1.(2025金华兰溪期末)在对多项式a2-4ab+4b2-1进行因式分解 时,我们可以把它先分组再分解:原式=(a2-4ab+4b2)-1=(a-2b)2- 1=(a-2b+1)(a-2b-1),这种方法叫作分组分解法.请你用以上方 法,写出多项式4x2+4x-y2+1因式分解的结果为_______________.     (2x+1-y)(2x+1+y) 解析    4x2+4x-y2+1=(4x2+4x+1)-y2 =(2x+1)2-y2=(2x+1-y)(2x+1+y). 初中数学培优课堂 2.观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解: 甲:x2-xy+4x-4y =(x2-xy)+(4x-4y)(分成两组) =x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式) =(x-y)(x+4). 乙:a2-b2-c2+2bc =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组) =a2-(b-c)2(运用完全平方公式) =(a+b-c)(a-b+c)(运用平方差公式). 初中数学培优课堂 请你在他们解法的启发下,把下列各式分解因式: (1)m3-2m2-4m+8. (2)x2-2xy+y2-9. (3)x2-2ax-b2+2ab. 初中数学培优课堂 解析    (1)m3-2m2-4m+8 =(m3-2m2)+(-4m+8) =m2(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m+2). (2)x2-2xy+y2-9=(x2-2xy+y2)-9=(x-y)2-32 =(x-y+3)(x-y-3). (3)x2-2ax-b2+2ab=(x2-b2)+(-2ax+2ab) =(x-b)(x+b)-2a(x-b)=(x-b)(x+b-2a). 初中数学培优课堂  　十字相乘法 3.某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分解因 式.十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左 上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角 和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.如: 将式子x2+3x+2和2x2+x-3分解因式,如图, 初中数学培优课堂 由图可得,x2+3x+2=(x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3). 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式: (1)x2+5x+6. (2)2x2-7x+3. (3)x2+(2-m)x-2m. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图,   由上图可知,x2+5x+6=(x+2)(x+3). (2)如图,   初中数学培优课堂 由上图可知,2x2-7x+3=(2x-1)(x-3). (3)如图, 由上图可知,x2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m). 初中数学培优课堂  　拆(添)项法 4.(2024绍兴新昌期末)小林和小王碰到了一个难题:将a4+4分解因式. 小林:这题既不能提取公因式,也不能用乘法公式,不能进行因 式分解吧! 小王:我们可以尝试先将它配上中间项,如a4+4b4=a4+4b4+4a2b2 -4a2b2,使其前面三项变成一个完全平方式,得到(a2+2b2)2-4a2b2, 再尝试用平方差公式分解因式. (1)根据小王的方法将a4+4分解因式. (2)依照上述方法将m4-m2n2+16n4分解因式. 初中数学培优课堂 解析    (1)a4+4 =a4+4a2+4-4a2 =(a2+2)2-4a2 =(a2+2+2a)(a2+2-2a). (2)m4-m2n2+16n4 =m4+8m2n2+16n4-9m2n2 =(m2+4n2)2-9m2n2 =(m2+4n2+3mn)(m2+4n2-3mn). 初中数学培优课堂  　换元法 5.(2025广东深圳期中改编)“换元法”是初中数学中经常用 到的一种方法.在因式分解中,我们可以将多项式的某些项用 字母替换,将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式, 达到“化繁为简”的目的.某班的几名同学在对多项式(m2-3m +2)(m2-3m-4)+9用“换元法”进行因式分解时发现了几种方法: 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路. 解:令t=m2-3m,得(t+2)(t-4)+9=t2-2t+1=(t-1)2,即原式=(m2-3m-1)2. 初中数学培优课堂 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路. 解:令t=m2-3m+2,得t(t-6)+9=t2-6t+9=(t-3)2,即原式=(m2-3m+2-3)2 =(m2-3m-1)2. 【解法三】小明同学给出了另一种较为简洁的换元法,称为 平均代换.相较于上一种换元方法,平均代换保留了相同的部 分,取两个因式常数部分的平均值,构成新元. 解:因为 [(m2-3m+2)+(m2-3m-4)]=m2-3m-1, 所以令t=m2-3m-1,得(t+3)(t-3)+9=t2,即原式=(m2-3m-1)2. 初中数学培优课堂 请你阅读材料,利用“换元法”的思想,解决以下问题: (1)分解因式:①(x2+4x-4)(x2+4x+6)+25. ②4  +1. (2)小天同学发现多项式(a+1)(a+3)(a+5)·(a+7)+16也可以用换 元法的思想进行因式分解. 解:原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16 …… 初中数学培优课堂 请你根据小天同学的思路,把上述因式分解的过程补充完整. (3)①分解因式:(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)-360=_______. ②分解因式:(x2-1)(x+3)(x+5)+16=_______. 初中数学培优课堂 解析    (1)①设y=x2+4x, 则原式=(y-4)(y+6)+25 =y2+2y+1 =(y+1)2, 将y=x2+4x代回,得原式=(x2+4x+1)2. ②设t= x2+x, 则原式=4t(t+1)+1 =4t2+4t+1 初中数学培优课堂 =(2t+1)2, 将t= x2+x代回,得原式=  =(x2+2x+1)2 =[(x+1)2]2 =(x+1)4. (2)(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+16 =[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16 =(a2+8a+7)(a2+8a+15)+16, 初中数学培优课堂 因为 [(a2+8a+7)+(a2+8a+15)]=a2+8a+11, 所以令t=a2+8a+11,得(t-4)(t+4)+16=t2, 所以原式=(a2+8a+11)2. (3)①x(x+9)(x2+9x+38). 详解:(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)-360 =[(x+3)(x+6)][(x+4)(x+5)]-360 =(x2+9x+18)(x2+9x+20)-360, 令t=x2+9x+18, 初中数学培优课堂 得t(t+2)-360 =t2+2t+1-361 =(t+1)2-192 =(t+1+19)(t+1-19) =(t+20)(t-18), 将t=x2+9x+18代回,得原式=(x2+9x+18+20)(x2+9x+18-18)=x(x+ 9)(x2+9x+38). 初中数学培优课堂 ②(x2+4x-1)2. 详解:(x2-1)(x+3)(x+5)+16 =(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)+16 =[(x+1)(x+3)][(x-1)(x+5)]+16 =(x2+4x+3)(x2+4x-5)+16, 令t=x2+4x, 得(t+3)(t-5)+16=t2-2t-15+16 =t2-2t+1=(t-1)2, 将t=x2+4x代回,得原式=(x2+4x-1)2. 初中数学培优课堂 $