4.3 第2课时 用完全平方公式分解因式（B本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“用完全平方公式分解因式”，从识别完全平方式切入，通过基础题搭建学习支架，衔接乘法公式基础，逐步过渡到公式应用、综合变形及简便计算，构建完整知识脉络。 其亮点在于融入整体思想、易错题辨析和新考向题型，结合“完美数”等实例培养运算能力与创新意识。分层设计满足不同学生需求，学生能提升解题与思维能力，教师可实现差异化教学，提高课堂效率。

第4章　因式分解 4.3　用乘法公因分解因式 第2课时　用完全平方公式分解因式 初中数学培优课堂  　完全平方式 1.(2025金华义乌月考)下列各式中,可以用完全平方公式进行 因式分解的是 ( ) A.a2-1　　 　    B.a2+2a-1 C.x3+x2+x　　　    D.a2-8a+16     D     解析　因为a2-8a+16=a2-2×4a+42,所以a2-8a+16是完全平方式, 可以用完全平方公式进行因式分解.故选D. 初中数学培优课堂 2.(2025温州期中)如果4x2+12x+k(k是常数)是一个完全平方式, 那么k的值为_________.     9     解析　因为4x2+12x+k=(2x)2+2×2x×3+k, 所以k=32=9. 初中数学培优课堂  　用完全平方公式分解因式 3.(2025杭州余杭月考)把a2-2a+1分解因式正确的是 ( ) A.a(a-2)+1　　　     B.(a+1)2 C.(a+1)(a-1)　　　    D.(a-1)2     D 解析    a2-2a+1=(a-1)2.故选D. 初中数学培优课堂 4.(2025湖州五中期中)下列因式分解正确的是( ) A.-a+a3=-a(1+a2)　　　     B.2a-4b+2=2(a-2b) C.4a2-4a+1=(2a-1)2　　　    D.a2-4=(a-2)2     C     解析　-a+a3=-a(1-a2)=-a(1+a)(1-a),故A因式分解错误;2a-4b+2 =2(a-2b+1),故B因式分解错误;4a2-4a+1=(2a-1)2,故C因式分解 正确;a2-4=(a-2)(a+2),故D因式分解错误.故选C. 初中数学培优课堂 5.(2025甘肃中考)分解因式:x2-6x+9=__________.     (x-3)2     解析    x2-6x+9=(x-3)2. 初中数学培优课堂 6.(2024江苏扬州中考)分解因式:2x2-4x+2=____________.     2(x-1)2     解析    2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2. 初中数学培优课堂 7.(2024山东威海中考)分解因式:(x+2)(x+4)+1=___________.     (x+3)2     解析　原式=x2+4x+2x+8+1=x2+6x+9=(x+3)2. 初中数学培优课堂 8.【学科特色·整体思想】(2025福建泉州期末)分解因式:(a-b)2- 2(a-b)b+b2=___________.     (a-2b)2     解析    (a-b)2-2(a-b)b+b2=(a-b-b)2=(a-2b)2. 初中数学培优课堂 9.分解因式:(x2+2x)2+2(x2+2x)+1=___________.     (x+1)4     解析　原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·教材变式P122例3】分解因式: (1)4x2-4xy+y2. (2)12xy-x2-36y2. (3) a2-2ab+ b2. 解析    (1)原式=(2x)2-2·2x·y+y2=(2x-y)2. (2)原式=-(x2-12xy+36y2)=-[x2-2·x·6y+(6y)2]=-(x-6y)2. (3)原式= -2· a· b+ = . 初中数学培优课堂 11.用简便方法计算: (1) -2× × + . (2)2342-468×134+1342. 解析    (1)原式= =52=25. (2)原式=2342-2×234×134+1342=(234-134)2=1002=10 000. 初中数学培优课堂   12.(2025杭州期中,★★☆)分解因式a4-2a2+1的结果是 ( ) A.(a2+1)2　　　     B.(a2-1)2 C.a2(a2-2)　　　    D.(a+1)2(a-1)2 D     解析    a4-2a2+1=(a2-1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a+1)2·(a-1)2.故选D. 初中数学培优课堂 13.(2025杭州锦绣育才教育集团月考,★★☆)已知a=m+2 024, b=m+2 025,c=m+2 026,则代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为  ( ) A.5　　　    B.6　　　    C.3　　　    D.8     C     初中数学培优课堂 解析　因为a=m+2 024,b=m+2 025,c=m+2 026,所以a-b=-1,b-c =-1,a-c=-2,所以a2+b2+c2-ab-bc-ac = ×(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac) = ×[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2] = ×[(-1)2+(-2)2+(-1)2] =3.故选C. 初中数学培优课堂 14.(2025绍兴柯桥月考,★★☆)已知xy=-1,x+y=2,则 x3y+x2y2+  xy3=_______. 　-2     解析　因为xy=-1,x+y=2, 所以 x3y+x2y2+ xy3= xy(x2+2xy+y2)= xy·(x+y)2= ×(-1)×22=-2. 初中数学培优课堂 15.【新考向·结论开放题】(2025四川成都中考,★★☆)多项 式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加 上的单项式可以是_________________(填一个即可).     4x(答案不唯一)     解析　因为4x2+4x+1=(2x+1)2, 所以加上的单项式可以是4x(答案不唯一). 初中数学培优课堂 16.【学科特色·易错题】(2025杭州期末,★★☆)已知多项式 x2+(1-m)x+9是一个完全平方式,则实数m的值是_________.     7或-5     解析　因为多项式x2+(1-m)x+9是一个完全平方式,所以1-m= ±2×1×3,即1-m=±6,解得m=7或m=-5,故答案为7或-5. 初中数学培优课堂 17.(2025初中名校发展共同体期中,★★☆)在一次数学课上, 老师提出问题:如何将代数式x2-8x+7进行因式分解呢? 小季同学经过思考后作如下解答: x2-8x+7=x2-8x+16-16+7=(x2-8x+16)-9=(x-4)2-32=(x-4+3)(x-4-3)= (x-1)(x-7). 小戴同学在仔细研读上述解答过程后,获得如下结论:x2-8x+7 =(x-4)2-9,在代数式(x-4)2-9中,(x-4)2≥0,即无论x取何值,(x-4)2都 大于或等于0,所以(x-4)2-9≥-9,则x2-8x+7有最小值,为-9. 初中数学培优课堂 (1)请仿照小季的解答过程,将代数式m2-14m+24分解因式. (2)求代数式-m2+12m-18的最大值. 解析    (1)原式=m2-14m+49-49+24 =(m-7)2-52 =(m-7+5)(m-7-5) =(m-2)(m-12). (2)原式=-(m2-12m+36-36)-18=-(m-6)2+18, 因为无论m取何值,-(m-6)2都小于或等于0, 所以-(m-6)2+18≤18,则-m2+12m-18有最大值,为18. 初中数学培优课堂 18.(2025杭州拱墅月考,★★★)如果两个整式M,N满足关系:M +k=kN(k为整数),则称M为N的k级式. 例如:M=3x2-6x+9,N=x2-2x+4, ∵M+3=3x2-6x+9+3=3(x2-2x+4)=3N,∴M为N的三级式. (1)若M=5x2-5x+a,N=x2+bx-7,且M为N的k级式,则a=_______, b=_______. (2)若N=x2+kx+1且N为完全平方式,M为N的k级式且MN= ,求 代数式M2+4N2的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)-40;-1. 详解:因为M=5x2-5x+a,N=x2+bx-7,且M为N的k级式,所以M+k= kN,即5x2-5x+a+k=k(x2+bx-7)=kx2+bkx-7k, 所以 所以  (2)因为N=x2+kx+1且N为完全平方式, 所以k=±2. 初中数学培优课堂 当k=2时,M+2=2N,即M-2N=-2, 所以M2+4N2=(M-2N)2+4MN=5; 当k=-2时,M-2=-2N,即M+2N=2, 所以M2+4N2=(M+2N)2-4MN=3. 综上,M2+4N2的值为5或3. 初中数学培优课堂   19.【新课标·运算能力】若一个整数能表示成 a2+b2(a,b 是整 数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,13=32+22,所以13是 “完美数”.再如,M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y 是整数),所以M 也是“完美数”. (1)请直接写出一个小于10的“完美数”,这个“完美数”是 ______;判断:45______(填“是”或“不是”)“完美数”. 初中数学培优课堂 (2)已知 s=x2+4y2-6x+4y+k (x,y是整数,k是常数),要使s为“完美 数”,试写出一个符合条件的k值,并说明理由. (3)如果m,n(m,n是整数,m≠n)都是“完美数”,试说明   也是“完美数”. 初中数学培优课堂 解析    (1)5(答案不唯一);是. (2)k的值可以为10. 理由:s=x2+4y2-6x+4y+k =(x2-6x+9)+(4y2+4y+1)+k-10 =(x-3)2+(2y+1)2+k-10, 因为s为“完美数”, 所以k-10=0, 所以k=10. 初中数学培优课堂 (3) = =mn, 设m=a2+b2,n=c2+d2,其中a,b,c,d是整数, 所以mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2, 所以mn是“完美数”, 即 是“完美数”. 初中数学培优课堂 $