专项突破1 平行线拐点问题中的常见模型（B本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线拐点问题，系统梳理“猪蹄”“铅笔”“锯齿”等常见模型，通过导入小题、问题链设计，从基础角度计算过渡到复杂模型应用，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以模型为载体，通过作辅助线转化角度关系，培养学生几何直观与推理意识，如“猪蹄模型”中过拐点作平行线推导角度关系。采用例题解析与变式训练结合，帮助学生形成模型观念，提升解决问题能力，也为教师提供结构化教学资源。

专项突破1　平行线拐点问题中的常见模型 初中数学培优课堂  　“猪蹄”模型 1.(2025金华义乌月考)如图,一块含60°角的直角三角尺放置 在两条平行线上,若∠1=42°,则∠2的度数为 ( )   A.18°　　　    B.28°　　　    C.38°　　　    D.48°     A     初中数学培优课堂 解析　如图,过点A作AB∥CD, 由题意得CD∥EF,所以CD∥AB∥EF, 所以∠1=∠DAB,∠2=∠EAB, 所以∠1+∠2=∠DAB+∠EAB=∠DAE=60°, 又因为∠1=42°,所以42°+∠2=60°, 所以∠2=18°.故选A. 初中数学培优课堂 2.几何模型在解题中有着重要作用,例如平行线中的“猪蹄模 型”. (1)导入:如图1,已知AB∥CD∥EF,如果∠A=26°,∠C=34°, 那么∠AEC=_______°. (2)发现:如图2,已知AB∥CD,请判断∠AEC与∠A,∠C之间的 数量关系,并说明理由. (3)运用:(i)如图3,已知AB∥CD,∠AEC=88°,点M,N分别在AB, CD上,MN∥AE,如果∠C=28°,那么∠MND=_______°. 初中数学培优课堂 (ii)如图4,已知AB∥CD,点M,N分别在AB,CD上,ME,NE分别平 分∠AMF和∠CNF.如果∠E=116°,那么∠F=______°.               初中数学培优课堂 解析    (1)60. (2)∠AEC=∠A+∠C. 理由:如图,过点E作EF∥AB,所以∠A=∠AEF. 因为AB∥CD,所以CD∥EF,所以∠C=∠CEF. 所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C.   初中数学培优课堂 (3)(i)120.详解:由(2)可得∠AEC=∠A+∠C. 因为∠AEC=88°,∠C=28°,所以∠A=60°. 因为MN∥AE,所以∠BMN=∠A=60°. 因为AB∥CD,所以∠BMN+∠MND=180°, 所以∠MND=180°-∠BMN=120°. (ii)128.详解:由(2)可得∠E=∠AME+∠CNE,∠F=∠BMF+ ∠FND.因为ME,NE分别平分∠AMF和∠CNF, 所以∠AME= ∠AMF,∠CNE= ∠CNF. 初中数学培优课堂 所以 ∠AMF+ ∠CNF=∠E=116°. 所以∠AMF+∠CNF=232°. 因为∠AMF+∠BMF+∠CNF+∠FND=360°, 所以∠BMF+∠FND=128°. 所以∠F=∠BMF+∠FND=128°. 初中数学培优课堂  　“铅笔”模型 3.(2025四川凉山州中考)如图,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE= 100°,则∠CED= ( )   A.30°　　　    B.40°　　　    C.60°　　　    D.80°     B     初中数学培优课堂 解析　如图,过点C作CG∥AB, 因为DF∥AB, 所以DF∥AB∥CG, 所以∠1+∠BAC=180°,∠2=∠CED, 因为∠BAC=120°,所以∠1=60°, 所以∠2=∠ACE-∠1=100°-60°=40°, 所以∠CED=∠2=40°.故选B. 初中数学培优课堂 4.(2024江苏扬州期中) (1)发现问题:如图1,AB∥CD,试写出∠ABE,∠E,∠CDE之间的 数量关系. (2)解决问题:已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE的平分线相交于 点F. ①如图2,若∠BED=80°,求∠BFD的度数. ②如图3,若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,试写出∠BMD 与∠BED之间的数量关系,并证明你的结论. 初中数学培优课堂 ③若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,∠BED=m°,请直接 用含有n,m°的代数式表示∠BMD的度数.             初中数学培优课堂 解析    (1)如图,过点E作EG∥AB,   所以∠B+∠1=180°, 因为AB∥CD,所以EG∥CD,所以∠2+∠D=180°, 所以∠B+∠1+∠2+∠D=360°, 所以∠B+∠D+∠BED=360°. 初中数学培优课堂 (2)①如图,过点F作FH∥AB,   所以∠ABF=∠BFH, 因为AB∥CD,所以FH∥CD,所以∠CDF=∠DFH, 因为∠BFD=∠BFH+∠DFH, 所以∠BFD=∠ABF+∠CDF, 初中数学培优课堂 由(1)可得,∠ABE+∠CDE+∠BED=360°, 因为∠BED=80°, 所以∠ABE+∠CDE=360°-∠BED=360°-80°=280°, 因为BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABF= ∠ABE,∠CDF= ∠CDE, 所以∠BFD=∠ABF+∠CDF= ∠ABE+ ∠CDE= (∠ABE+ ∠CDE)= ×280°=140°. ②6∠BMD+∠BED=360°. 初中数学培优课堂 证明:由(1)可得,∠ABE+∠CDE+∠BED=360°, 所以∠ABE+∠CDE=360°-∠BED, 由①可得∠BFD= (∠ABE+∠CDE)= (360°-∠BED)=180°-   ∠BED, 易知∠BMD=∠ABM+∠CDM,∠BFD=∠ABF+∠CDF, 因为∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF, 所以∠BMD=∠ABM+∠CDM= (∠ABF+∠CDF)= ∠BFD=   =60°- ∠BED, 初中数学培优课堂 所以6∠BMD+∠BED=360°. ③∠BMD= . 详解:因为∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,∠BED=m°,所以∠BMD=∠ABM+∠CDM= (∠ABF+∠CDF)= ∠BFD=  = -  = , 即∠BMD= . 初中数学培优课堂  　“鹰嘴”模型 5.(2025上海闵行期中)如图,AB∥CD,∠D=58°,∠B=38°,则∠E =__________°.       20     初中数学培优课堂 解析　如图,过点E作EG∥AB, 所以∠BEG+∠B=180°, 因为∠B=38°, 所以∠BEG=180°-∠B=142°, 因为AB∥CD,所以EG∥CD, 所以∠GED+∠D=180°, 因为∠D=58°,所以∠GED=180°-∠D=122°, 所以∠BED=∠BEG-∠GED=20°. 初中数学培优课堂 6.(2025天津滨海新区期中)如图,已知AB∥CD,E,F是直线AB 上方两点,连结AE,CE,AF,CF,已知AF平分∠BAE,且∠ECF=  ∠ECD.若∠E=15°,∠ECD=75°,则∠F的度数为______°.       20     初中数学培优课堂 解析　如图,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB.   因为∠ECD=75°,∠ECF= ∠ECD, 所以∠ECF=25°,所以∠1=50°. 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EM∥FN, 初中数学培优课堂 所以∠4+∠AEC=∠ECD=75°. 因为∠AEC=15°,所以∠4=60°. 因为EM∥AB,所以∠BAE=∠4=60°. 因为AF平分∠BAE,所以∠3= ∠BAE=30°. 因为FN∥AB,所以∠2=∠3=30°. 因为FN∥CD,所以∠2+∠AFC=∠1=50°. 所以∠AFC=50°-30°=20°. 初中数学培优课堂 7.(2025宁波北仑期中)如图,已知AB∥DE,点C在AB上方,连结BC,CD. (1)如图1,若∠ABC=145°,∠EDC=116°,求∠BCD的度数. (2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,直接写出 ∠ABC和∠F之间的数量关系:_________. (3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线FG交CD于点G,连结 GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD-∠CGF的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图,过点C作CM∥AB,   所以∠BCM=∠ABC=145°, 因为AB∥DE,所以CM∥DE, 所以∠DCM=∠EDC=116°, 因为∠BCM=∠BCD+∠DCM, 初中数学培优课堂 所以∠BCD=∠BCM-∠DCM=145°-116°=29°. (2)∠ABC=90°+∠F. 详解:如图,过点C作CN∥AB,   所以∠ABC=∠BCN,因为AB∥DE,所以CN∥EF, 初中数学培优课堂 所以∠F=∠FCN, 因为∠BCN=∠BCF+∠FCN,所以∠ABC=∠BCF+∠F, 因为CF⊥BC,所以∠BCF=90°, 所以∠ABC=90°+∠F. (3)如图,延长HG交EF于点Q,过点G作GP∥EF交CF于点P,   初中数学培优课堂 所以∠BGD=∠CGQ, 所以∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ, 因为AB∥DE,所以∠ABH=∠EQG, 因为GP∥EF,所以∠EQG=∠PGQ,∠EFG=∠PGF, 所以∠PGQ=∠ABH, 因为∠FGQ=∠PGQ-∠PGF, 所以∠FGQ=∠ABH-∠EFG, 因为BH平分∠ABC,FG平分∠CFD, 初中数学培优课堂 所以∠ABH= ∠ABC,∠EFG= ∠CFD, 所以∠FGQ= ∠ABC- ∠CFD= (∠ABC-∠CFD), 由(2)可得∠ABC=90°+∠CFD, 所以∠ABC-∠CFD=90°, 所以∠FGQ= ×90°=45°, 即∠BGD-∠CGF=45°. 初中数学培优课堂  　“锯齿”模型 8.(2025金华东阳期末)如图,直线a∥b,当x,y的值变化时,下列 各式的数值不变的是 ( )   A.x-y　　    B.x+y C.2x-y　　　   D.x+2y     A     初中数学培优课堂 解析　如图,分别过B,C,D,E作直线a的平行线BM,CN,DO,EP,   所以∠ABM=∠BAG=20°, 所以∠CBM=∠ABC-∠ABM=x-20°, 因为BM∥CN,所以∠BCN=∠CBM=x-20°, 初中数学培优课堂 所以∠DCN=∠BCD-∠BCN=60°-(x-20°)=80°-x, 同理可得,∠ODC=∠DCN=80°-x,∠ODE=50°-(80°-x)=x-30°, 因为DO∥EP,所以∠DEP=∠ODE=x-30°, 因为a∥b,所以b∥EP, 所以∠PEF=∠EFH=25°, 因为∠PEF+∠DEP=∠DEF=y, 所以25°+x-30°=y,所以x-y=5°, 所以当x,y的值变化时,x-y的数值不变.故选A. 初中数学培优课堂 9.(2025山东青岛三十九中期中) (1)如图1,将长方形纸片剪两刀,其中AB∥CD,则∠AEC与∠1, ∠2之间有何等量关系?请说明你的理由. (2)如图2,将长方形纸片剪四刀,其中AB∥CD,则∠1,∠2,∠3, ∠4,∠5之间的等量关系是____________. (3)如图3,直线AB∥CD,∠EFA=30°,∠FGH=90°,∠HMN=30°, ∠CNP=50°,则∠GHM=_______°. (4)如图4,直线AB∥CD,点M,N分别是AB,CD上的点,点G在AB, CD之间,连结MG,NG.点P是CD下方一点,连结MP,NP,MG平分 初中数学培优课堂 ∠BMP,ND平分∠GNP,已知∠BMG=30°,则∠MGN+∠MPN= ______°.               初中数学培优课堂 解析    (1)∠AEC=∠1+∠2. 理由:如图,过点E作EF∥AB, 因为AB∥CD,所以EF∥CD, 所以∠1=∠AEF,∠2=∠CEF, 所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠1+∠2, 初中数学培优课堂 即∠AEC=∠1+∠2. (2)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5. 详解:如图,过点G作GH∥AB.   由(1)可得,∠2=∠1+∠EGH,∠4=∠5+∠FGH, 因为∠EGH+∠FGH=∠3, 初中数学培优课堂 所以∠2+∠4=∠1+∠3+∠5. (3)40.详解:如图,过点G,H分别作KG∥AB,HQ∥AB,MN与HQ 交于点T.   因为AB∥CD,所以AB∥KG∥HQ∥CD, 初中数学培优课堂 所以∠FGK=∠EFA=30°,∠HTN=∠TND=∠CNP=50°, 所以∠HTM=130°, 又因为∠M=30°, 所以∠QHM=180°-∠M-∠HTM=20°, 因为∠FGH=90°,∠FGK=30°, 所以∠KGH=60°,所以∠GHQ=∠KGH=60°, 所以∠GHM=∠GHQ-∠QHM=40°. 故答案为40. 初中数学培优课堂 (4)90.详解:如图,过点P作PQ∥AB,   所以∠BMP=∠MPQ,即∠1+∠2=∠5+∠6, 因为MG平分∠BMP,ND平分∠GNP, 所以∠1=∠2,∠3=∠4, 初中数学培优课堂 所以∠1+∠2=2∠1, 因为AB∥CD,PQ∥AB, 所以CD∥PQ,所以∠4=∠5, 所以∠1+∠2=∠4+∠6=2∠1, 由(1)可得∠MGN=∠1+∠3, 所以∠MGN+∠MPN=∠1+∠3+∠6=∠1+∠4+∠6=3∠1=90°. 故答案为90. 初中数学培优课堂 $