1.1 第2课时 垂线（B本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中的垂线知识，涵盖垂直定义、垂线段最短、点到直线距离等核心内容，通过实例导入，从基础概念到性质应用逐步递进，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于融入分类讨论思想（如第11题射线位置讨论）和实际应用（如引水管最短路径），培养学生推理能力与应用意识。通过分层习题设计，学生能提升几何直观与问题解决能力，教师可利用其实现高效分层教学。

第1章　相交线与平行线 1.1　直线的相交 第2课时　垂线 初中数学培优课堂  　垂直 1.(2025河北石家庄平山月考)如图,已知直线AB与CD相交于 点O,为了说明AB⊥CD,甲、乙、丙分别添加了一个条件,下 列判断正确的是 ( ) 甲:∠AOC=90°;乙:∠AOC=∠BOC; 丙:∠AOC+∠BOD=180°.     C     A.只有乙不正确　　　    B.只有丙不正确 C.甲、乙、丙都正确　    D.甲、乙、丙都不正确 初中数学培优课堂 解析　因为∠AOC=90°,所以AB⊥CD,故甲正确; 因为∠AOC=∠BOC,∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠AOC=∠BOC=90°,所以AB⊥CD,故乙正确; 因为∠AOC+∠BOD=180°,∠AOC=∠BOD, 所以∠AOC=∠BOD=90°,所以AB⊥CD,故丙正确. 综上所述,甲、乙、丙都正确,故选C. 初中数学培优课堂 2.P为直线l上的一点,Q为直线l外一点.甲说:“过P可画直线垂 直于l.”乙说:“过Q可画直线l的垂线.”丙说:“直线l的垂线 有无数条.”其中说法正确的有 ( ) A.0个　　　    B.1个　　　    C.2个　　　    D.3个     D     解析　在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直 于已知直线,故甲、乙的说法正确;直线l上、直线l外有无数 点,故直线l的垂线有无数条,故丙的说法正确.故选D. 初中数学培优课堂 3.(2024四川雅安中考)如图,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB于O, 若∠1=35°,则∠2的度数是 ( )   A.55°　　　    B.45°　　　    C.35°　　　    D.30°     A     初中数学培优课堂 解析　因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°, 因为∠1=35°, 所以∠AOC=∠AOE-∠1=55°, 所以∠2=∠AOC=55°, 故选A. 初中数学培优课堂 4.(2025河南郑州四中期中)如图,AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A, B,C三点在同一直线上,理由是___________________________ __________________________. 有一条直线与已知直线垂直     　在同一平面内,过一点有且只 初中数学培优课堂 5.如图,直线AB,CD相交于点O,Q是CD上一点. (1)过点Q画AB的垂线,E为垂足. (2)过点O画CD的垂线.   初中数学培优课堂 解析    (1)如图,直线QE是所求的直线. (2)如图,直线OF是所求的直线.   初中数学培优课堂  　垂线段最短 6.(2025绍兴新昌期中)如图,要把河中的水引到农田P处,若PB ⊥河岸a,垂足为点B,则沿着线段PB铺设管道能使水管最短, 其中蕴含的数学道理是____________. 　垂线段最短     解析　根据垂线段的性质(连结直线外一点与直线上各点的 所有线段中,垂线段最短)可知,蕴含的数学道理是垂线段最短. 初中数学培优课堂  　点到直线的距离 7.(2025温州期中)如图,AE⊥AC,AB⊥CE,点A到直线CE的距 离是以下哪条线段的长 ( ) A.AB　　　    B.AC　　　    C.AE　　　    D.BC     A     解析　因为AB⊥CE,所以点A到直线CE的距离是线段AB的 长.故选A. 初中数学培优课堂 8.【学科特色·教材变式P12T4】如图,AC⊥BC,AC=9,BC=12, AB=15. (1)点A到直线BC的距离为_______,点B到直线AC的距离为 _______. (2)求点C到直线AB的距离. 初中数学培优课堂 解析    (1)9;12.详解:点A到直线BC的距离为线段AC的长,为9. 点B到直线AC的距离为线段BC的长,为12. (2)如图,过点C作CD⊥AB于点D. 因为AC⊥BC,CD⊥AB, 所以S三角形ABC= AC·BC= AB·CD, 所以AC·BC=AB·CD. 所以CD= = = , 所以点C到直线AB的距离为 . 初中数学培优课堂   9.(2025河南南阳邓州期末,★★☆)下列选项中,过点P画直线l 的垂线MN,用三角尺或量角器操作正确的是 ( )     C     解析　过点P画直线l的垂线MN,用三角尺或量角器操作正确 的是C选项中的图形,故选C. 初中数学培优课堂 10.(2025丽水期中,★★☆)河道l的一侧有A,B两个村庄,现要 铺设一条引水管道把河水引向A,B两村,下列四种方案中最节 省材料的是     ( )                      B     解析　依据垂线段最短,以及两点之间,线段最短,可得最节省 材料的是B选项中的方案,故选B. 初中数学培优课堂 11.【学科特色·分类讨论思想】(2025上海嘉定期中,★★☆) 已知点O在直线AB上,以点O为端点的两条射线OC,OD互相垂 直,若∠AOC=30°,则∠BOD的度数是______________.     60°或120°     解析　因为OC,OD互相垂直, 所以∠COD=90°. 如图1,当OC与OD在AB的同侧时, 因为∠AOC=30°, 所以∠BOD=180°-90°-30°=60°; 初中数学培优课堂 如图2,当OC与OD在AB的两侧时, 因为∠AOC=30°, 所以∠AOD=90°-30°=60°, 所以∠BOD=180°-60°=120°. 故答案为60°或120°. 初中数学培优课堂 12.【学科特色·易错题】(2025广东韶关南雄中学期中,★★ ☆)已知直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC∶∠BOC=2∶1, 射线OE⊥CD,则∠BOE的度数为________________.     30°或150°     解析　如图1,当点E在∠BOD内部时, 因为∠AOC∶∠BOC=2∶1, 所以∠BOC= ×180°=60°, 因为OE⊥CD,所以∠COE=90°, 所以∠BOE=90°-60°=30°. 初中数学培优课堂 如图2,当点E在∠AOC内部时, 同理可得∠BOE=∠COE+∠BOC =90°+60°=150°. 综上,∠BOE的度数为30°或150°. 易错警示　本题易因不分类讨论致错.OE⊥CD有两种情况, 先根据题意画出图形,再分情况讨论. 初中数学培优课堂 13.(2025宁波鄞州第二实验中学月考,★★☆)如图,直线AB, CD相交于O,OE⊥CD,且∠BOD的度数是∠AOD度数的5倍. (1)求∠AOD,∠BOD的度数. (2)求∠BOE的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)因为∠BOD+∠AOD=180°,∠BOD的度数是∠AOD 度数的5倍,所以∠AOD= ×180°=30°,∠BOD= ×180°= 150°. (2)因为OE⊥CD,所以∠EOC=90°, 因为∠BOC=∠AOD=30°, 所以∠BOE=∠EOC-∠BOC=90°-30°=60°. 初中数学培优课堂 14.(2025台州书生中学期中,★★☆)如图,直线AB,CD相交于 点O,OM⊥AB. (1)若∠1=∠2,判断ON与CD的位置关系. (2)若∠AOC=2∠1,求∠BOC的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°, 即∠1+∠AOC=90°, 又因为∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°, 即∠CON=90°,所以ON⊥CD. (2)由(1)知,∠1+∠AOC=90°, 因为∠AOC=2∠1,所以∠1+2∠1=90°, 解得∠1=30°,所以∠AOC=60°, 所以∠BOC=180°-∠AOC=120°. 初中数学培优课堂   15.【新课标·推理能力】如图1,点O为直线AB上一点,射线OC ⊥AB于点O,将一直角三角尺的60°角的顶点放在点O处,斜边 OE在射线OB上,直角顶点D在直线AB的下方. (1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2所示的位置,使 斜边OE在∠BOC的内部,当∠BOE为多少度时,OD所在直线 恰好平分∠AOC?请说明理由. 初中数学培优课堂 (2)将图1中的三角尺绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转一周, 在旋转的过程中,第t秒时,OD所在直线恰好平分∠AOC,则t的 值为_______. (3)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图3所示的位置, 使OD在∠AOC的内部,请探究∠AOE与∠DOC之间的数量关系. 初中数学培优课堂 解析    (1)如图,当∠BOE=15°时,OD所在直线恰好平分∠AOC.   理由:当OD所在直线恰好平分∠AOC时,∠AOM=45°,则∠BOD=∠AOM=45°, 所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=60°-45°=15°. 初中数学培优课堂 (2)易知OD与OE的旋转角度相同. 当DO的延长线平分∠AOC时,由(1)知∠BOE=15°,即逆时针旋 转15°时,OD所在直线平分∠AOC, 由题意得15t=15,解得t=1; 当射线OD平分∠AOC时,∠DOA=45°, 则∠EOA=∠EOD-∠DOA=60°-45°=15°, 所以∠EOA+∠AOB=195°, 所以15t=195,解得t=13. 初中数学培优课堂 综上所述,t的值为1或13. 故答案为1或13. (3)因为∠DOE=60°,∠AOC=90°, 所以∠AOE=∠DOE-∠AOD=60°-∠AOD,∠DOC=∠AOC- ∠AOD=90°-∠AOD, 所以∠DOC-∠AOE=(90°-∠AOD)-(60°-∠AOD)=30°, 所以∠AOE与∠DOC之间的数量关系为∠DOC-∠AOE=30°. 初中数学培优课堂 $