专项突破2 平行线中求角度问题的五种题型（A本）-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线中求角度问题，涵盖直接应用性质判定、方向角、三角尺、折叠、抽象模型五种题型，以基础题型为起点，逐步过渡到复杂情境，搭建从简单到综合的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合生活情境（如方向角行走、纸带折叠）和学科模型（铅笔、飞燕模型），通过逻辑推理（数学思维）和规范解析（数学语言），培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。实例丰富，如方向角调整、三角尺摆放问题，助力学生构建知识体系，教师可高效开展教学，学生提升解题与应用意识。

专项突破2　平行线中求 角度问题的五种题型 初中数学培优课堂  　直接利用平行线的性质和判定求角度 1.(2025四川德阳期中)如图,∠BCD的平分线交∠ABC的平分 线于点M,交AB于点N,若∠1+∠2=90°. (1)试说明:AB∥CD. (2)若∠1=30°,求∠ANC的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)因为∠DCB和∠ABC的平分线交于点M, 所以∠DCB=2∠2,∠ABC=2∠1. 又因为∠1+∠2=90°, 所以∠DCB+∠ABC=2∠2+2∠1=2(∠2+∠1)=2×90°=180°, 所以AB∥CD. (2)因为∠1=30°,∠1+∠2=90°,所以∠2=90°-∠1=90°-30° =60°.因为CN平分∠DCB,所以∠DCN=∠2=60°. 又因为AB∥CD,所以∠ANC=180°-∠DCN=180°-60°=120°. 初中数学培优课堂 2.(2025杭州萧山期中)如图,已知∠1+∠BDE=180°,∠2+∠4= 180°. (1)试说明:AD∥EF. (2)若∠3=90°,∠4=140°,求∠BAC的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)因为∠1+∠BDE=180°, 所以AC∥DE,所以∠2=∠ADE, 因为∠2+∠4=180°, 所以∠ADE+∠4=180°, 所以AD∥EF. (2)因为AD∥EF,所以∠BAD=∠3=90°, 因为∠2+∠4=180°,∠4=140°,所以∠2=40°, 所以∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50°. 初中数学培优课堂 3.(2025杭州期中)如图,已知∠ABC=∠C,∠A=∠E. (1)试说明:AD∥BE. (2)若∠1=∠2=69°,∠DBE=2∠CBD,求∠A的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)因为∠ABC=∠C,所以AB∥CE,所以∠A=∠ADC, 又因为∠A=∠E,所以∠ADC=∠E,所以AD∥BE. (2)因为AD∥BE,所以∠CBE=∠2=69°, 因为∠DBE=2∠CBD,所以∠DBE+∠CBD=3∠CBD=69°, 所以∠CBD=23°,所以∠DBE=46°, 因为AD∥BE,所以∠ADB=∠DBE=46°, 因为AB∥CE,所以∠A+∠ADE=180°, 所以∠A=180°-∠ADE=180°-(∠1+∠ADB)=65°. 初中数学培优课堂  　以方向角为背景求角度 4.(2025初中山海联盟协作学校期中)如图,小明从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,此时需把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是 ( )   A.右转70°　　　     B.左转70° C.右转110°　　　    D.左转110°     A 初中数学培优课堂 解析　如图,延长AB至点D,延长BC至点M,设小明调整后沿CE 方向前进,因为AF∥BG,所以∠1=∠A=50°, 当CE∥AB时,∠MCE=∠CBD=∠CBG+∠1=20°+50°=70°, 故需右转70°,故选A. 初中数学培优课堂 5.(2025河北石家庄一模)如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,在 B岛的北偏西35°方向,则∠ACB的度数是 ( )   A.35°　　　    B.50°　　　    C.85°　　　    D.90°     C     初中数学培优课堂 解析　如图,过点C作CF∥AD,   所以∠ACF=∠DAC=50°, 因为AD∥BE,所以CF∥BE, 所以∠BCF=∠EBC=35°, 所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=85°.故选C. 初中数学培优课堂  　借助三角尺的特征求角度 6.【学科特色·铅笔模型】(2025温州苍南期中)一个三角尺和 一把直尺按如图所示的方式放置,∠AHF=65°,则∠FIC的度数 是 ( ) A.15°　　　    B.25°　　　    C.32.5°　　　    D.35°     B     初中数学培优课堂 解析　如图,过点F作FM∥AB,   所以∠EFM=∠AHF=65°, 所以∠MFI=90°-∠EFM=90°-65°=25°. 因为AB∥CD,所以FM∥CD, 所以∠FIC=∠MFI=25°.故选B. 初中数学培优课堂 7.(2025金华义乌期中)如图,GA∥FD,一副三角尺按如图所示 的方式摆放,∠EDF=60°,∠BAC=45°,若BC∥DE,下列结论: ①EF∥AB;②∠GAB=30°;③EC平分∠FED;④∠AED=135°. 其中正确的是 ( )     D     A.①②③　　　    B.①②④ C.②③④　　　    D.①②③④ 初中数学培优课堂 解析　如图,设BC与EF交于点M,   因为BC∥DE,所以∠CME+∠DEF=180°, 因为∠DEF=90°,所以∠CME=90°, 因为∠B=90°,所以∠B=∠CME,所以EF∥AB, 初中数学培优课堂 故①正确,符合题意. 因为BC∥DE,∠EDF=60°, 所以∠FCM=∠EDF=60°, 因为∠BCA=45°,所以∠ACF=60°+45°=105°, 因为GA∥FD,所以∠GAC+∠ACF=180°, 所以∠GAC=75°, 因为∠BAC=45°,∠GAB+∠BAC=∠GAC, 所以∠GAB=30°,故②正确,符合题意. 初中数学培优课堂 因为AB∥EF,所以∠FEC=∠BAC=45°, 因为∠DEF=90°,所以∠DEC=45°, 所以∠FEC=∠DEC,所以EC平分∠FED, 故③正确,符合题意. 因为∠AED+∠DEC=180°,∠DEC=45°, 所以∠AED=135°, 故④正确,符合题意.故选D. 初中数学培优课堂 8.(2025金华义乌稠州中学月考)如图,已知a∥b,直线c分别与a,b相交于D,A两点,把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放,若∠3=106°,∠2=∠1+2°,则∠1的度数为_____.       21°     初中数学培优课堂 解析　如图.   因为∠3=106°,所以∠4=∠3=106°, 因为a∥b,所以∠4+∠1+∠2+30°=180°, 因为∠2=∠1+2°,所以106°+∠1+∠1+2°+30°=180°, 所以∠1=21°. 初中数学培优课堂  　折叠问题中求角度 9.(2025杭州滨江期末)将一条两边互相平行的纸带(AD∥BC) 按如图所示的方式折叠,折痕分别为AB,CD,且满足CD∥BE. 若∠1增大10°,则∠2 ( )     D     A.增大10°B.增大20° C.减小10°D.减小20° 初中数学培优课堂 解析　如图, 由折叠的性质可得∠3=∠4, 所以∠2+∠3+∠4=∠2+2∠3=180°, 因为AF∥BE,AD∥BC,CD∥BE, 所以∠1=∠5=∠EBC=∠3, 所以∠2+2∠1=180°,所以∠2=180°-2∠1, 所以若∠1增大10°,则∠2减小20°.故选D. 初中数学培优课堂 10.(2025杭州上城月考)如图,把一张长方形纸片沿EF折叠后, 点D,C分别落在D',C'的位置,若∠EFB=75°,则∠AED'的度数 为___________.       30°     初中数学培优课堂 解析　因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC, 所以∠DEF=∠EFB, 因为∠EFB=75°,所以∠DEF=75°, 由折叠的性质得∠D'EF=∠DEF=75°, 因为∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°, 所以∠AED'=30°. 初中数学培优课堂 11.(2025杭州期中)如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠,折线 EF交AD于E,交BC于F,点C,D的对应点分别是C',D',ED'交BC 于G,再将四边形C'D'GF沿FG折叠,点C',D'的对应点分别 是C″,D″,GD″交EF于H,下列四个结论:①∠GEF=∠GFE; ②2∠EFC=∠EGC+180°;③∠EGD″=2∠EFG;④∠EHG= 3∠EFB.其中正确的结论是________(填写序号). 　①②④     初中数学培优课堂 解析　因为AD∥BC,所以∠DEF=∠GFE, 由折叠的性质得∠GEF=∠DEF, 所以∠GEF=∠GFE,故①正确,符合题意. 因为AD∥BC, 所以∠EGC+∠GED=180°,∠EFC+∠DEF=180°, 所以∠GED=180°-∠EGC,∠EFC=180°-∠DEF, 所以2∠EFC=2(180°-∠DEF)=360°-2∠DEF=360°-∠GED= 360°-(180°-∠EGC)=∠EGC+180°, 初中数学培优课堂 故②正确,符合题意. 由①知∠GEF=∠GFE, 因为AD∥BC,所以∠D'GF=∠DEG=2∠GEF=2∠EFG, 由折叠的性质得∠D″GF=∠D'GF, 无法得到∠EGD″=2∠EFG, 故③错误,不符合题意. 如图,过点H作HP∥AD,则AD∥HP∥BC, 所以∠EFB=∠DEF, 初中数学培优课堂 因为∠D″GF=∠D'GF=∠EGB=∠GED=2∠EFB, 所以∠EHG=∠EFB+∠D″GF=∠EFB+2∠EFB=3∠EFB, 故④正确,符合题意.故答案为①②④.   初中数学培优课堂  　抽象出平行线模型求角度 12.(2024山东潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部 支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°. 顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°,则EF与FG所成锐角 的度数为 ( ) A.60°　　　    B.55°　　　    C.50°　　　    D.45°     A     初中数学培优课堂 解析　如图,过点E作EH∥AB. 因为AB∥FG,所以AB∥EH∥FG. 所以∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°. 因为β=45°,所以∠FEH=180°-45°-15°=120°. 所以∠EFG=180°-∠FEH=60°. 所以EF与FG所成锐角的度数为60°, 故选A. 初中数学培优课堂 13.【学科特色·飞燕模型】(2025温州期中)小盟利用几何图 形画出螳螂简笔画,如图,CF,BG交于点A,FG∥DE∥BC, ∠FAG=40°,AC平分∠BAD,若设∠ADE=x°,∠G=y°, 则x与y之间的关系是 ( )           C     A.x+2y=180　　　    B.x-2y=60 C.x-y=80　　　     D.x+y=150 初中数学培优课堂 解析　如图,过点A作AM∥DE,   所以∠MAD+∠ADE=180°, 因为∠ADE=x°, 所以∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°, 初中数学培优课堂 因为FG∥DE,所以AM∥FG, 所以∠GAM=∠G=y°, 因为∠FAG=40°,所以∠BAC=∠FAG=40°, 因为AC平分∠BAD, 所以∠BAD=2∠BAC=80°, 所以∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°, 因为∠GAM+∠MAD=∠GAD, 所以y+(180-x)=100,即x-y=80.故选C. 初中数学培优课堂 14.(2025J12共同体联盟月考)如图所示的是路政工程车的工 作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=30°,∠2=50°, 则∠3的度数为____________.     160°     初中数学培优课堂 解析　如图,过点A作直线m平行于工作篮底部, 所以∠3+∠4=180°, 因为工作篮底部平行于支撑平台, 所以直线m平行于支撑平台, 所以∠1=∠5=30°, 因为∠2=∠4+∠5=50°, 所以∠4=50°-∠5=20°, 所以∠3=180°-∠4=160°. 初中数学培优课堂 $