专题05 平行线的判定和性质（期中复习专项训练）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题05 平行线的判定和性质 题型1 判定是否能使直线平行（常考点） 题型4利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（难点） 题型2 利用平行线的性质求角（重点） 题型5 利用平行线的判定与性质确定角度定值问题（难点） 题型3 平行线的判定和性质（重点） 题型6 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定是否能使直线平行（共5小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在下列四组条件中① ② ③  ④ ⑤能判断的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 利用平行线的性质求角（共5小题） 6．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，直线被直线所截，，则是______． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接，若，的度数为______． 10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 题型三 平行线的判定和性质（共5小题） 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 14．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 题型四 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（共5小题） 16．（25-26七年级下·全国·期中）已知三角形和在同一平面内的点． (1)如图①，点在边上，过点作交于点，交于点． ①根据题意，在图①中补全图形； ②判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点在的延长线上，，．判断与之间的位置关系，并说明理由． 17．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 18．（24-25七年级下·福建漳州·期中）（1）如图1，，，，则的度数______，的度数____． （2）如图2，，当点P在线段上运动时，，，请直接写出与、之间的数量关系________． （3）在（2）的条件下，如果点P在直线上运动，请你求出与、之间的数量关系？ 19．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 20．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 题型五 利用平行线的判定与性质确定角度定值问题（共5小题） 21．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)【问题初探】 如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________； 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程． (3)【拓展延伸】 如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 24．（24-25七年级上·福建泉州·期末）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 25．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 题型六 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（共5小题） 26．（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 27．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 28．（24-25七年级下·河南三门峡·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动． (1)如图1，________； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和． (1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °． (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值； ②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 30．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． $专题05 平行线的判定和性质 题型1 判定是否能使直线平行（常考点） 题型4利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（难点） 题型2 利用平行线的性质求角（重点） 题型5 利用平行线的判定与性质确定角度定值问题（难点） 题型3 平行线的判定和性质（重点） 题型6 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定是否能使直线平行（共5小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．平行线的判定定理：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；根据这三个判定定理逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不能判定，符合题意； B、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不符合题意； C、由，根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意； D、由，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到平行直线，从而可以解答本题． 【详解】①，不能判定 ，故本项不符合题意； ②，，故本项符合题意； ③，，故本项符合题意； ④，，故本项符合题意； ⑤如图，过点B作， ， 又， ， ， ， 故本项符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A、，能判定直线a与b平行，故A不符合题意； B、，能判定直线a与b平行，故B不符合题意； C、，能判定直线a与b平行，故C不符合题意； D、，不能判定直线a与b平行，故D符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解∶A．∵，∴，不能判断，故选项A不符合题意； B．∵，∴，不能判断，故选项B不符合题意； C．∵，∴，能判断，故选项C符合题意； D．根据无法证明两直线平行，故选项D不符合题意； 故选∶C． 5．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在下列四组条件中① ② ③  ④ ⑤能判断的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线判定的方法． 利用平行线判定方法逐一进行判定即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故符合题意； ②∵， ∴， 故不符合题意； ③∵， ∴， 故符合题意； ④由，不能推出， 故不符合题意； ⑤∵， ∴， 故不符合题意； 综上，①，③符合题意， 故选：B． 题型二 利用平行线的性质求角（共5小题） 6．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，直线被直线所截，，则是______． 【答案】 【分析】先利用邻补角的和为求出的邻补角的度数，再根据“两直线平行，内错角相等”，进而求出的度数． 【详解】解：∵，与是邻补角， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，正确辨析方向角，平行线的性质是解题的关键．根据方向角，平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图，根据题意，得， ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接，若，的度数为______． 【答案】/45度 【分析】先求出，进而可证，设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证． 【详解】解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 题型三 平行线的判定和性质（共5小题） 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据，可证明，从而得到，从而得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证； （2）先求出，再求得，根据，从而得出，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定与性质证明，结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵（已知） ∴，（同位角相等，两直线平行）   ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴；（同旁内角互补，两直线平行）； （2）证明：由（1）得， ∴，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∵，（已证） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴，（等量代换） ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由补角性质得，即得，进而即可求证； （）由根据平行线的性质得到，再结合题中的条件得到，然后根据平分和平行线的性质得到，进而得到，最后根据邻补角的性质即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，补角性质，角平分线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行由，，得到，根据平行线的性质得，由于，则，然后根据内错角相等，两直线平行可判断； （2）根据垂直的定义、平角的定义求出，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 题型四 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（共5小题） 16．（25-26七年级下·全国·期中）已知三角形和在同一平面内的点． (1)如图①，点在边上，过点作交于点，交于点． ①根据题意，在图①中补全图形； ②判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点在的延长线上，，．判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②．理由见解析； (2)．理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的综合证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）①根据题干描述，补全图形；②根据平行的性质得到两角相等； （2）根据“两直线平行，同位角相等”得出角相等，再通过角相等和“内错角相等，两直线平行”得出平行． 【详解】（1）解：①补全的图形如图①所示． ②．理由如下： ∵，， ，， ； （2）解：．理由如下： 如图②，延长交直线于点． ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·福建漳州·期中）（1）如图1，，，，则的度数______，的度数____． （2）如图2，，当点P在线段上运动时，，，请直接写出与、之间的数量关系________． （3）在（2）的条件下，如果点P在直线上运动，请你求出与、之间的数量关系？ 【答案】（1），（2）（3）当P在延长线上时，；当P在延长线上时，，理由见解析 【分析】此题考查平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；作平行线构造内错角是解题的关键． （1）过点作，通过平行线性质来求． （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）分情况讨论，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过作， ， ， ，， ，， ，， ； （2）如图2，过作，交于， ， ， ，， ； （3）解：①如图所示，当在运动时，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图所示，当在运动时， ∵， ∴， ∴， ③当在运动时， ，证明见第2问． 综上所述：当在运动时，；当在运动时，．当在运动时，． 19．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过点作，得到，推出，，得到； （2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此． 【详解】（1）如图1，过点作， ， ． ，， ， ， ，，之间的数量关系为：， 故答案为：； （2）①如图2，，理由如下： ，， ， 由（1）知：， ； ②如图3，由（1）得：，     平分， ， ， ， ， 平分， ， ． 20．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 题型五 利用平行线的判定与性质确定角度定值问题（共5小题） 21．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)【问题初探】 如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________； 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程． (3)【拓展延伸】 如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图所示，过点作，过点作，则，可得，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下， 证明：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出； （3）由角平分线的定义可得出，．根据平行线的性质可得出，从而得出，结合（1）的结论可求得． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， .∵平分，平分，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 24．（24-25七年级上·福建泉州·期末）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 25．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（），；（），是定值，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到点，过点作，由平行线的性质即可求解； （）由，，则，，，然后通过角平分线定义可得，，再代入求值即可； 由可得，则，又平分，故有，然后代入即可求解． 【详解】解：（）延长到点，过点作， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴； 是定值，且这个定值为，理由如下： 由可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是定值，且这个定值为． 题型六 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（共5小题） 26．（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 27．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 28．（24-25七年级下·河南三门峡·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动． (1)如图1，________； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的相关计算，根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）利用平角的定义求解即可． （2）利用平行的性质得出，即可求出，再结合已知条件利用平角的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵，． ∴， 故答案为：； （2）解：三角板的位置如下图： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和． (1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °． (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值； ②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)120；30 (2)①或；②的值为，，， 【分析】（1）根据，，求出，根据角平分线定义求出；根据平行线的性质求出． （2）①分两种情况：当在右方时，当在左方时，分别画出图形进行求解即可； ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； ∵， ∴． （2）解：①当在右方时，如图所示： 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：； 当在左方时，如图所示： 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知：此时或； ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， $