第2章 实数 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了实数的概念、运算及应用，涵盖平方根、立方根、无理数识别、实数与数轴关系等核心内容，通过基础题、综合题、探究题的递进设计，串联知识点逻辑脉络，帮助学生构建完整的实数知识网络。 其亮点在于融入“新定义运算”“规律探究”等创新题型，如第8题定义“※”运算考查实数混合运算，第24题通过等式规律培养推理意识，分层题目设计（★☆☆到★★★）满足不同学生需求，有效提升数学抽象能力与应用意识，助力教师精准把握学情，提高复习效率。

第2章　素养提优测试卷 时间：120分钟 满分：150分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. (★☆☆)化简 等于 (        ) A. ±2　　    B. 2　　    C. -2　　    D.   B 解析     =2,故选B. 初中同步培优卷 2. (★☆☆)估算 的值在 (        ) A. 1和2之间　　    B. 2和3之间 C. 3和4之间　　    D. 4和5之间 C 解析　因为 < < , 所以 在3和4之间.故选C. 初中同步培优卷 3. (2025湖南怀化溆浦期中,★☆☆)下列说法正确的是(        ) A.  的平方根是±4　　    B. 8的立方根是±2 C. (-3)2的算术平方根是3　　    D.  =±8 C 解析     =4,4的平方根是±2,故A错误;8的立方根是2,故B错 误;(-3)2=9,9的算术平方根是3,故C正确; =8,故D错误.故选 C. 初中同步培优卷 4. (★☆☆)在实数 , , , , ,0.101 001 000 1…(每相 邻两个1之间依次多一个0)中,无理数的个数是 (        ) A. 3　　    B. 4　　    C. 5　　    D. 6 A 初中同步培优卷 解析　因为π是无理数,所以 是无理数; =9,是有理数;  是无理数; 是分数,是有理数; =3,是有理数;0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间依次多一个0)是无限不循环小数,是无 理数.综上,无理数有3个.故选A. 初中同步培优卷 5. (2025湖南湘潭期中,★★☆)若 与 互为相反 数,则xy的值是 (        ) A. 6　　    B. -6　　    C. 8　　    D. -8 D 解析　因为 与 互为相反数,所以 +  =0,所以x+2=0,y-3=0,解得x=-2,y=3,所以xy=(-2)3=-8.故选D. 初中同步培优卷 6. (2025广西桂林期末,★★☆)如图,某港口有一个体积为27m3 的正方体集装箱,为存放更多的货物,现准备将其改造为一个 体积为216m3的正方体集装箱,改造后正方体的棱长是原来正 方体棱长的 (        ) A. 2倍　　    B. 3倍 A C. 6倍　　    D. 9倍 初中同步培优卷 解析　由题意得改造前集装箱的棱长为 =3(m),改造后集 装箱的棱长为 =6(m),因为6÷3=2,所以改造后正方体的棱 长是原来正方体棱长的2倍.故选A. 初中同步培优卷 7. (2024浙江绍兴期中,★★☆)有下列说法:①任何无理数都 是无限小数;②实数与数轴上的点一一对应;③在1和3之间的 无理数有且只有 , , , , , 这6个;④ 是分数,它是 有理数.其中正确的个数是 (        ) A. 1　　    B. 2　　    C. 3　　    D. 4 B 初中同步培优卷 解析　任何无理数都是无限小数,故①说法正确;实数与数轴 上的点一一对应,故②说法正确;在1和3之间的无理数有无数 个,故③说法错误; 是无理数,故④说法错误.综上,说法正确 的个数是2.故选B. 初中同步培优卷 8. 【新考向·新定义题】(2025湖北荆州期末,★★☆)现对实 数a,b定义一种运算:a※b=ab-b,则 ※ 等于 (        ) A. -6　　    B. -10　　    C. 10　　    D. 6 A 解析     ※ = × - =4×(-2)+2=-8+2=-6.故选A. 初中同步培优卷 9. (2025湖南邵阳期中,★★★)如果[x]表示最接近x的整数(x ≠n+0.5,n为整数),那么[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]的值为  (        ) A. 132　　    B. 146　　    C. 164　　    D. 176 D 初中同步培优卷 解析　因为1.52=2.25,2.52=6.25,3.52=12.25,4.52=20.25,5.52=30. 25,6.52=42.25,[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数), 所以[ ]=[ ]=1; [ ]=[ ]=[ ]=[ ]=2; [ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=3; [ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=4; [ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ] =[ ]=5; [ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ]=[ ] 初中同步培优卷 =[ ]=[ ]=6, 所以[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]=1×2+2×4+3×6+4×8+5× 10+6×11=2+8+18+32+50+66=176,故选D. 初中同步培优卷 10. 【新考向·规律探究题】(2025浙江温州期末,★★★)如图, 通过画边长为1的正方形,就能准确地找到在数轴上表示 的 点A1,记A1右侧最近的整数点为B1,以点B1为圆心,A1B1的长为半 径画半圆,交数轴于点A2,记A2右侧最近的整数点为B2,以点B2 为圆心,A2B2的长为半径画半圆,交数轴于点A3,……,如此继续 画下去,则A8B8的长为 (        ) A A.  -1　　    B.  　　    C.  +1　　    D. 2-  初中同步培优卷 解析　由题意可得A1B1=2- ,所以A2表示的数为2+2- =4- , 因为2<4- <3,所以B2表示的数为3, 所以A2B2=3-(4- )= -1,同理可得A3B3=2- ,A4B4= -1,A5B5 =2- ,A6B6= -1,A7B7=2- ,A8B8= -1.故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共24分) 11. (★☆☆)0的平方根是_______, =______, =_______. 　-4         0.3         0     解析    0的平方根是0, =0.3, =-4.故答案为0;0.3;-4. 初中同步培优卷 12. (2025湖北咸宁期末,★☆☆)若一个数的算术平方根是它 本身,则这个数为___________.     0或1     解析    0的算术平方根是0,1的算术平方根是1.故答案为0或1. 初中同步培优卷 13. (2025湖南长沙期末,★☆☆) 的倒数是_______. - 解析     =-2,-2的倒数是- ,故答案为- . 初中同步培优卷 14. 【学科特色·教材变式·P47T1】(★☆☆)用乘法公式计算 ( x+ )( x- )=_____________.     2x2-3     解析　原式=( x)2-( )2=2x2-3. 初中同步培优卷 15. (2025江西赣州期末,★☆☆)如图所示的是一个简单的数 值运算程序,若输入x的值为- ,则输出的值是_________.     1     解析    (- )2-6=7-6=1.故答案为1. 初中同步培优卷 16. (★★☆)已知 <x< ,则|x-3|+|x-2|=_________.     1     解析　∵ <x< ,∴2<x<3, ∴x-3<0,x-2>0, ∴|x-3|+|x-2|=3-x+x-2=1, 故答案为1. 初中同步培优卷 17. (★★☆)数轴上点A表示的数是-2,点B,C分别位于点A的两 侧,且到点A的距离相等.若点B表示的数是 ,则点C表示的数 是_________. -4- 初中同步培优卷 解析　由题意,画出数轴如下:   因为数轴上点A表示的数是-2,点B表示的数是 , 所以AB= -(-2)= +2, 因为点B,C分别位于点A的两侧,且到点A的距离相等, 所以AC=AB= +2, 所以点C表示的数是-2-( +2)=-4- .故答案为-4- . 初中同步培优卷 18. 【新课标·推理能力】(★★★)下列关于a,b的结论:①a=  ,b= ;② =3,b的立方根等于2;③正实数b的两个不 同平方根分别是a-7和 a-8;④a是 +1的整数部分,b是 - 1的整数部分.其中满足a>b的是________(填序号). ①③④  初中同步培优卷 解析　①因为a= ,b= , 所以a-b= - = >0,满足a>b; ②因为 =3,b的立方根等于2, 所以a+1=9,b=8,即a=b=8,不满足a>b; ③因为正实数b的两个不同平方根分别是a-7和 a-8, 所以a-7+ a-8=0,所以a=10,所以b=(a-7)2=32=9,满足a>b; ④因为4< <5,所以5< +1<6, 初中同步培优卷 因为a是 +1的整数部分,所以a=5, 因为5< <6,所以4< -1<5, 因为b是 -1的整数部分,所以b=4, 满足a>b. 综上,满足a>b的结论是①③④. 初中同步培优卷 三、解答题(共66分) 19. (★☆☆)(6分)计算: (1)-22× - + ×(-1)2 025. (2)-12 020+ - +|2- |. 解析    (1)原式=-4× -2+3×(-1)=-2-2-3=-7. (2)原式=-1+2-3+2- =- . 初中同步培优卷 20. (★☆☆)(6分)已知|a-3|+ =0,求( )2和ba的值. 解析　因为|a-3|+ =0, 所以a-3=0,a+b-1=0,解得a=3,b=-2, 所以( )2=( )2=5,ba=(-2)3=-8. 初中同步培优卷 21. (★☆☆)(8分)已知某数的平方根是a+3和2a-12,b的立方根 是2,c是 的整数部分,求b-a-c的平方根. 解析　因为某数的平方根是a+3和2a-12,所以a+3+2a-12=0,所 以a=3,因为b的立方根是2,所以b=8,因为 < < ,所以2<  <3,所以 的整数部分是2,所以c=2,所以b-a-c=8-3-2=3,因 为3的平方根是± , 所以b-a-c的平方根是± . 初中同步培优卷 22. (2025重庆九龙坡期末,★★☆)(8分)有两个正方形纸片,它 们的面积分别为6和3,将两个正方形的一条边放在数轴上,且 两个正方形落在数轴上的边都有一端点与原点重合,另一个 端点分别在数轴上的点A和点B处(如图所示). (1)点A,点B在数轴上表示的实数分别为______,______. (2)小红想用面积为6的正方形纸片裁出一块面积为4的长方 形纸片,且长方形的长与宽的比为2∶1,小红能裁出符合条件 的长方形纸片吗?请帮她判断并说明理由.(参考数据: ≈1.4 1, ≈1.73, ≈2.45) 初中同步培优卷 解析    (1)- ; .详解:对于面积为6的正方形,其边长为 , 因为点A在数轴的负半轴上,所以点A表示的实数是- ,对于 面积为3的正方形,其边长为 ,因为点B在数轴正半轴上,所 以点B表示的实数是 . (2)不能.理由如下:设长方形的宽为x,则长为2x, 所以长方形面积=2x·x=2x2=4,所以x2=2. 因为x>0,所以x= , 所以长方形的长为2x=2 ≈2×1.41=2.82, 初中同步培优卷 因为面积为6的正方形的边长为 ≈2.45,2.82>2.45, 所以长方形的长大于正方形的边长, 所以小红不能裁出符合条件的长方形纸片. 初中同步培优卷 23. (2025北京五中分校期中,★★☆)(9分)如图所示的是一个 数值转换器(|x|<25).   (1)当输入的x的值为-14时,输出的y的值是_______. (2)若输入实数x后,始终输不出y值,则所有满足要求的x的值为 _________. (3)若输出的y的值是 ,求x的负整数值. 初中同步培优卷 解析    (1) . 详解:当x=-14时,|x-2|=|-14-2|=16, =4,4是有理数,继续运算 得 =2,2是有理数,继续运算得 ,是无理数,所以当输入的x 的值为-14时,输出的y的值是 . (2)1,2,3. 详解:因为0和1的算术平方根是它本身,所以|x-2|=0或|x-2|=1, 解得x=2或x=3或x=1,所以所有满足要求的x的值为1,2,3. (3)若第1次运算输出 ,则|x-2|=( )2=5,解得x=7或x=-3, 初中同步培优卷 又因为x为负整数,所以输入的x的值为-3; 若第2次运算输出 ,因为( )2=5,52=25,所以|x-2|=25,解得x=2 7或x=-23,因为x为负整数,所以输入的x的值为-23.因为|x|<25, 所以x的负整数值为-3或-23. 初中同步培优卷 24. (2025安徽池州青阳期末,★★☆)(9分)观察下列等式: 第1个等式: =1+ ; 第2个等式: =1+ ; 第3个等式: =1+ ; …… 按照以上规律,解决下列问题. (1)写出第4个等式:_____________. 初中同步培优卷 (2)写出你猜想的第n个等式:___________(用含n的等式 表示). (3)请用(2)中发现的规律计算: + +  +…+ . 初中同步培优卷 解析    (1) =1+ . (2) =1+ . 详解:由题意得, 第1个等式: =1+ ; 第2个等式: =1+ ; 第3个等式: =1+ ; 初中同步培优卷 …… 所以第n个等式为 =1+ . (3)原式=1+ +1+ +1+ +…+1+  =2 024+   =2 024+1- =2 024 . 初中同步培优卷 25. (2025湖南娄底涟源期中,★★☆)(10分)阅读下面的文字, 解答问题:大家知道 是无理数,而无理数是无限不循环小数, 因此 的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用 -1 来表示 的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小 明的表示方法是有道理的,因为 的整数部分是1,将这个数 减去其整数部分,差就是小数部分.例如: < < ,即2< < 3,所以 的整数部分为2,小数部分为 -2. (1)如果 的小数部分为a, 的整数部分为b,则a=___,b=____. 初中同步培优卷 (2)已知5+ 的小数部分为a,5- 的小数部分为b.求a+b的 值. (3)已知a是 的整数部分,b是它的小数部分,求a+(b+3)2的 值. 初中同步培优卷 解析    (1) -2;3. 详解:因为2< <3,所以a= -2,因为3< <4,所以b=3. (2)因为3< <4,所以a=5+ -5-3= -3,b=5- -1=4- ,所 以a+b= -3+4- =1. (3)因为3< <4,所以a=3,b= -3,所以a+(b+3)2=3+( -3+ 3)2=3+10=13. 初中同步培优卷 26. 【新课标·推理能力】(★★★)(10分)我国数学家华罗庚 在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上 有一道智力题:求59 319的立方根.华罗庚立即说出答案,众人 十分惊奇,忙问计算的奥妙,你知道他是怎样迅速准确地计算 出结果的吗?下面是小明的探究过程,请补充完整. (1)求 . ①由103=1 000,1003=1 000 000,可以确定 是______位数. ②由59 319的个位上的数字是9,可以确定 的个位上的 初中同步培优卷 数字是_______. ③如果划去59 319后面的三位319,得到数59,而33=27,43=64,可 以确定 的十位上的数字是______,由此求得 = _______. (2)请你根据(1)中小明的方法,计算并填空: ① =________. ② =________. 初中同步培优卷 解析    (1)①两. 详解:因为103=1 000,1003=1 000 000,1 000<59 319<1 000 000, 所以10< <100,所以 是两位数. ②9. 详解:因为59 319的个位上的数字是9,而93=729, 所以 的个位上的数字是9. ③3;39. 详解:因为33=27,43=64,27<59<64,所以 的十位上的数 字是3,又因为 的个位上的数字是9,所以 =39. 初中同步培优卷 (2)①-49. 详解:-117 649的立方根是负数, 因为103=1 000,1003=1 000 000,1 000<117 649<1 000 000,所以 10< <100, 所以可以确定 是两位数, 因为117 649的前三位为117,后三位为649,43=64,53=125,64<11 7<125,所以 的十位上的数字为4, 因为117 649的个位上的数字是9,而93=729, 所以 的个位上的数字是9, 初中同步培优卷 所以117 649的立方根为49,所以 =-49. ②0.81. 详解: = , 因为103=1 000,1003=1 000 000,1 000<531 441<1 000 000, 所以10< <100,所以 是两位数, 因为531 441的前三位为531,后三位为441,83=512,93=729,512< 531<729,所以 的十位上的数字为8, 因为531 441的个位上的数字为1,而13=1, 初中同步培优卷 所以 的个位上的数字是1, 所以531 441的立方根为81, 所以 = = = =0.81. 初中同步培优卷 $