第1章 整式的乘法 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式乘除、幂的运算、乘法公式及代数变形等核心知识，通过基础题、综合题和拓展题的层级设计，将幂运算、因式分解与实际应用串联，帮助学生构建完整的代数知识网络。 其亮点在于融入几何直观、数学文化等素养元素，如通过图形面积关系理解乘法公式，结合杨辉三角探究二项式展开规律，培养学生的抽象能力和推理意识。分层题型设计满足不同学生需求，教师可借此精准把握学情，提升复习效率。

第1章　素养提优测试卷 时间：120分钟 满分：150分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. (2025湖南长沙开福期中,★☆☆)已知a·a·ax=a12,则x等于  (        ) A. 10　　    B. 4　　    C. 8　　    D. 9 A 解析　由题意得,a2+x=a12,所以2+x=12,解得x=10.故选A. 初中同步培优卷 2. (2025辽宁中考,★☆☆)下列计算正确的是 (        ) A. m+3m=4m2　　    B. 2m·3m=5m2 C. (mn)2=mn2　　    D.  =m6 D 解析    m+3m=(1+3)m=4m,故A计算错误;2m·3m=6m2,故B计算 错误;(mn)2=m2n2,故C计算错误; =m2×3=m6,故D计算正确.故 选D. 初中同步培优卷 3. 【跨信息技术·计算机】(★☆☆)一种计算机每秒可做4×108 次运算,它工作3×103秒运算的次数为 (        ) A. 12×1024　　    B. 1.2×1012　    C. 12×1012　　    D. 12×108 B 解析    (4×108)×(3×103)=(4×3)×(108×103)=12×1011= 1.2×1012.故选B. 初中同步培优卷 4. (2025湖南永州十六中期中,★☆☆)下列计算中,正确的有  (        ) ①(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3;②(m+n)(n+m)=m2+mn+n2;③(a-2)2= a2-2a+4;④(1-a)(1+a)=1-a2. A. 1个　　    B. 2个　　    C. 3个　　    D. 4个 B 初中同步培优卷 解析    (2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3,故①计算正确;(m+n)(n+m)= m2+2mn+n2,故②计算错误;(a-2)2=a2-4a+4,故③计算错误; (1-a)(1+a)=1-a2,故④计算正确.综上,计算正确的有2个,故选B. 初中同步培优卷 5. (2025湖南岳阳期中,★☆☆)计算 × ×(-1)2 027的 结果是     (        ) A. - 　　    B.  　　    C.  　　    D. -  D 解析　原式= × ×(-1)=- .故选D. 初中同步培优卷 6. (★☆☆)若(x+2)(2x-n)=2x2+mx+2,则m-n的值是 (        ) A. 6　　    B. 4　　    C. 2　　    D. -6 A 解析　因为(x+2)(2x-n)=2x2+(4-n)x-2n, 所以2x2+(4-n)x-2n=2x2+mx+2, 所以4-n=m,-2n=2,所以m=5,n=-1, 所以m-n=5+1=6.故选A. 初中同步培优卷 7. 【学科特色·整体思想】(★★☆)已知4m=a,8n=b,其中m,n为 正整数,则22m+6n= (        ) A. ab2　　    B. a+b2　　    C. a2b3　　    D. a2+b3 A 解析　因为4m=a,8n=b,所以22m+6n=22m×26n= · =4m·82n=4m·  =ab2.故选A. 初中同步培优卷 8. (2025江苏淮安期末,★★☆)如果xn=y,那么我们规定(x,y)=n. 例如:因为32=9,所以(3,9)=2.若(m,12)=a,(m,8)=b,(m,96)=c,则a,b 和c的关系是 (        ) A. ab=c　　    B. ab=c　　    C. a+b=c　　    D. 无法确定 C 解析　由题意得,ma=12,mb=8,mc=96,所以ma·mb=mc,所以ma+b=mc, 所以a+b=c.故选C. 初中同步培优卷 9. 【新课标·几何直观】(2025湖南常德期中,★★☆)如图①,7 张长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按如图②所示的方式不 重叠地放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分(两个长方形)用 阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当 BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b 满足 (        ) B 初中同步培优卷   A. a= b　　    B. a=3b　　    C. a= b　　    D. a=4b 初中同步培优卷 解析　左上角阴影部分的长为(BC-a),宽为3b,所以面积为3b (BC-a),右下角阴影部分的长为(BC-4b),宽为a,所以面积为(BC -4b)a,所以阴影部分面积的差S=3b(BC-a)-(BC-4b)a=(3b-a)BC +ab,因为当BC的长度变化时,S始终保持不变,所以3b-a=0,即a =3b.故选B. 初中同步培优卷 10. 【新考向·规律探究题】(2024浙江杭州萧山月考,★★★) 观察等式:2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,…….若250= x,则用含x的式子表示250+251+252+…+299+2100的结果是(        ) A. x2-2x　　    B. 2x2-2　　    C. 2x2-x　　    D. x2-2 C 解析　由题意得,2+22+23+24+…+2n=2n+1-2,所以250+251+252+…+ 299+2100=2+22+…+2100-(2+22+…+249)=2101-2-(250-2)=2101-250=2×  -250=2x2-x.故选C. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共24分) 11. (2025广东深圳期末,★☆☆)如果xn=2,那么x2n=_________.     4     解析　因为xn=2,所以x2n= =22=4.故答案为4. 初中同步培优卷 12. (2025湖南邵阳期中,★☆☆)计算: × xy2=_________.     3x5y4 解析　原式=4x4y2× xy2=3x5y4.故答案为3x5y4. 初中同步培优卷 13. (2025贵州铜仁期末,★☆☆)若x+y=3且xy=-2,则代数式(x+ 1)·(y+1)=_________.     2     解析　因为x+y=3且xy=-2,所以(x+1)(y+1)=xy+(x+y)+1=-2+3+ 1=2.故答案为2. 初中同步培优卷 14. (2025湖南益阳资阳期中,★☆☆)已知三角形的一边长是6a+ 2b,这边上的高是2b-6a,则这个三角形的面积是__________.     2b2-18a2 解析　这个三角形的面积为 (6a+2b)(2b-6a)=2b2-18a2.故答 案为2b2-18a2. 初中同步培优卷 15. (2025湖南衡阳期中,★★☆)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63, 那么a+b的值为__________.     ±4     解析　因为(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,所以(2a+2b)2-12=63,所以 (2a+2b)2=64,所以2a+2b=2(a+b)=±8,所以a+b=±4. 初中同步培优卷 16. (★★☆)甲、乙两人共同计算一道整式乘法题:(x+a)(2x +b),由于甲把a的符号抄成了“-”,得到的结果是2x2-7x+3,乙 漏抄了第二个因式中x的系数,得到的结果是x2+2x-3,则(-2a+b) (a+b)的值为________. 　-14     解析　由题意得(x-a)(2x+b)=2x2+(-2a+b)x-ab=2x2-7x+3,(x+a)(x +b)=x2+(a+b)x+ab=x2+2x-3,所以-2a+b=-7,a+b=2,所以(-2a+b) (a+b)=-7×2=-14.故答案为-14. 初中同步培优卷 17. (★★☆)若x,y为任意数,定义运算:x*y=(x+1)(y+1)-1,得到 下列五个结论:①x*y=y*x;②x*(y+z)=x*y+x*z;③(x+1)*(x-1)=(x *x)-1;④x*0=0;⑤(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1.其中正确的是__ ________(填序号). ① ③     初中同步培优卷 解析　因为x*y=(x+1)(y+1)-1,y*x=(y+1)(x+1)-1, 所以x*y=y*x,故①正确; 因为x*(y+z)=(x+1)(y+z+1)-1=xy+xz+x+y+z+1-1=xy+xz+x+y+z, x*y+x*z=(x+1)(y+1)-1+(x+1)(z+1)-1 =xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z,所以x*(y+z)≠x*y+x*z,故②错误; 因为(x+1)*(x-1)=(x+1+1)(x-1+1)-1=(x+2)x-1=x2+2x-1, (x*x)-1=(x+1)(x+1)-1-1=x2+2x-1, 所以(x+1)*(x-1)=(x*x)-1,故③正确; 初中同步培优卷 因为x*0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x, 所以x*0≠0,故④错误; 因为(x+1)*(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)-1=(x+2)2-1=x2+4x+3, x*x+2*x+1=(x+1)(x+1)-1+(2+1)(x+1)-1+1 =(x+1)2+3(x+1)-1=x2+5x+3, 所以(x+1)*(x+1)≠x*x+2*x+1,故⑤错误. 综上,正确的是①③.故答案为①③. 初中同步培优卷 18. 【新考向·数学文化】(2025浙江杭州期中,★★★)杨辉三 角是中国古代数学的重要成果之一.观察所给图形,(x-1)2 025的 展开式中,共有_____________项,含x2 024项的系数是________. 　-2 025         2 026     初中同步培优卷 解析    (a+b)1=a+b,展开式有2项, (a+b)2=a2+2ab+b2,展开式有3项, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,展开式有4项, (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,展开式有5项,…… 所以展开式(x-1)2 025中,共有2 025+1=2 026项; (a+b)1=a+b,展开式中从左往右第二项为b, (a+b)2=a2+2ab+b2,展开式中从左往右第二项为2ab,(a+b)3=a3+3 a2b+3ab2+b3,展开式中从左往右第二项为3a2b,(a+b)4=a4+4a3b+ 初中同步培优卷 6a2b2+4ab3+b4,展开式中从左往右第二项为4a3b,……,所以(a +b)n的展开式中从左往右第二项为nan-1b,令a=x,b=-1,n=2 025, 所以(x-1)2 025的展开式中从左往右第二项为-2 025x2 024,所以 (x-1)2 025的展开式中,含x2 024项的系数是-2 025. 初中同步培优卷 三、解答题(共66分) 19. (★☆☆)(6分)计算: (1)(a-b+2c)2. (2)(a-2b)(a2+4b2)(a+2b). 解析    (1)原式=[(a-b)+2c]2=(a-b)2+4c(a-b)+4c2=a2-2ab+b2+4ac- 4bc+4c2. (2)原式=(a-2b)(a+2b)(a2+4b2)=(a2-4b2)(a2+4b2)=a4-16b4. 初中同步培优卷 20. (★☆☆)(6分)老师在黑板上布置了一道题:已知y=-1,求代 数式(x-2y)2-(x+y)(x-y)+y(4x-y)的值,小白和小红展开了讨论:   你认为谁说得对?并将代数式化简求值. 解析　小红说得对.(x-2y)2-(x+y)(x-y)+y(4x-y)=x2-4xy+4y2-x2+y2 +4xy-y2=4y2.结果与x值无关,当y=-1时,原式=4. 初中同步培优卷 21. (2025北京北师大附中期末,★☆☆)(8分)代数式(mx+2)(2x- 1)+x2+n化简后不含x2项和常数项. (1)求m,n的值. (2)求m2 025n2 026的值. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意得,(mx+2)(2x-1)+x2+n=2mx2-mx+4x-2+x2+n=(2 m+1)x2+(4-m)x-2+n,因为代数式(mx+2)·(2x-1)+x2+n化简后不含 x2项和常数项,所以2m+1=0,-2+n=0,所以m=- ,n=2. (2)当m=- ,n=2时,m2 025n2 026=m2 025·n2 025·n=(mn)2 025·n=  ×2=-2. 初中同步培优卷 22. (2025湖南永州期中,★☆☆)(8分) (1)已知(a+b)2=25,ab=10,求a2+b2的值. (2)已知(a+b)2=17,(a-b)2=13,求ab的值. 解析    (1)因为(a+b)2=25,所以a2+2ab+b2=25,因为ab=10,所以a2 +b2=25-2×10=5. (2)因为(a+b)2=17,(a-b)2=13,所以(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-a2+2 ab-b2=4ab=17-13=4,所以ab=1. 初中同步培优卷 23. (2025湖南岳阳期中,★☆☆)(8分)某公司门前有一块长为 (6a+2b)m,宽为(4a+2b)m的长方形空地要铺地砖,如图所示,空 白的A,B两正方形区域是建筑物,不需要铺地砖,两正方形区 域的边长均为(a+b)m. (1)用含a,b的式子表示铺设地砖的面积. (2)当a=2,b=3时,需要铺地砖的面积是多少? (3)在(2)的条件下,某种道路防滑地砖是边长为0.2 m的正方形,每块1.5元,不考虑其他因素,如果要购买此种地砖,需要多少钱? 初中同步培优卷 解析    (1)铺设地砖的面积为(6a+2b)(4a+2b)-2(a+b)2=24a2+12 ab+8ab+4b2-2a2-4ab-2b2 =(22a2+16ab+2b2)m2. (2)当a=2,b=3时,22a2+16ab+2b2=22×22+16×2×3+2×32=88+96+ 18=202(m2). (3)202÷0.22×1.5=202÷0.04×1.5=7 575(元). 初中同步培优卷 24. (2025广东深圳期末,★★☆)(10分)阅读材料:如果一个数 的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫作虚数单位,那么形如a+bi 的数就叫作复数,a叫作这个复数的实部,b叫作这个复数的虚 部.它有如下特点: ①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似, 例如: 计算:(2+i)+(3-4i)=(2+3)+(1-4)i=5-3i;(3+i)i=3i+i2=3i-1. 初中同步培优卷 ②若有两个复数,它们的实部和虚部分别相等,则称这两个复 数相等;若它们的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数 共轭,如1+2i的共轭复数为1-2i. (1)填空:(2+i)(2-i)=_______,(2+i)2=_______. (2)若a+bi是(1+2i)2的共轭复数,求(b-a)2的值. (3)已知(a+i)(b+i)=1-3i,求(a2+b2)(i+i2+i3+i4+…+i2 025)的值. 初中同步培优卷 解析    (1)5;3+4i. 详解:(2+i)(2-i)=4-i2=4+1=5, (2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i. (2)因为(1+2i)2=1+4i+4i2=1+4i-4=-3+4i,a+bi是(1+2i)2的共轭复数, 所以a=-3,b=-4,所以(b-a)2=(-4+3)2=(-1)2=1. (3)由题意得,(a+i)(b+i)=ab+(a+b)i-1=1-3i, 即ab-1+(a+b)i=1-3i,所以ab-1=1,a+b=-3, 所以ab=2,a+b=-3, 初中同步培优卷 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(-3)2-2×2=9-2×2=5, 所以(a2+b2)(i+i2+i3+i4+…+i2 025) =5×(i-1-i+1+i-1-i+1+…+i-1-i+1+i) =5×[(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)+i] =5×i=5i. 初中同步培优卷 25. 【新课标·几何直观】(★★☆)(10分)数学活动课上,老师 准备了若干个如图①所示的三种纸片,A种纸片是边长为a的 正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为b、宽为 a的长方形,并用一张A种纸片,一张B种纸片,两张C种纸片拼 成如图②所示的大正方形. 初中同步培优卷 (1)观察图②的面积关系,写出正确的等式:___________ ______. (2)若要拼出一个面积为(2a+b)(3a+2b)的长方形,则需要A种 纸片6张,B种纸片2张,C种纸片_______张. (3)正方形ABCD和正方形AEFG按如图③所示的方式摆放,边 长分别为x,y.若x2+y2=34,BE=2,求图中两个阴影三角形的面积 和. 初中同步培优卷 解析    (1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)7.详解:因为(2a+b)(3a+2b)=6a2+4ab+3ab+2b2=6a2+7ab+2b2, 所以要拼出一个面积为(2a+b)(3a+2b)的长方形,需要A种纸片 6张,B种纸片2张,C种纸片7张. (3)由题意得,DG=BE=x-y=2, 题图中阴影部分的面积为 ×2y+ ×2x=x+y. 因为x2+y2=34,所以(x-y)2=x2+y2-2xy=34-2xy=4,所以2xy=30, 所以(x+y)2=x2+y2+2xy=34+30=64,所以x+y=8(负值舍去),即题 图中阴影部分的面积为8. 初中同步培优卷 26. 【新考向·代数推理】(★★★)(10分)阅读以下材料: 已知两个两位数,将它们各自的十位数字和个位数字交换位 置后,得到两个与原两个两位数均不同的新数,若这两个两位 数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等,则称这样 的两个两位数为“对称数对”,例如43×68=34×86=2 924,所以 43和68是“对称数对”.解决如下问题: (1)请判断12与84是不是“对称数对”,并说明理由. (2)为探究“对称数对”的本质,可设“对称数对”中一个数 的十位数字为a,个位数字为b,且a≠b;另一个数的十位数字为 初中同步培优卷 c,个位数字为d,且c≠d,则a,b,c,d之间满足怎样的数量关系?试 说明理由. (3)有一个两位数,十位数字为(x+1),个位数字为(x+3);另一个 两位数,十位数字为(x+5),个位数字为(x+2).若这两个数为 “对称数对”,求出这两个两位数. 初中同步培优卷 解析    (1)12与84是“对称数对”,理由如下: 因为12×84=1 008,21×48=1 008,所以12×84=21×48,所以12 与84是“对称数对”. (2)ac=bd,理由如下: 由题意得,(10a+b)(10c+d)=100ac+10ad+10bc+bd, (10b+a)(10d+c)=100bd+10bc+10ad+ac, 因为(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c), 所以(100ac+10ad+10bc+bd)-(100bd+10bc+10ad+ac)=0, 所以99ac-99bd=0,所以99(ac-bd)=0, 初中同步培优卷 所以ac-bd=0,所以ac=bd. (3)由(2)可得(x+1)(x+5)=(x+3)(x+2), 所以x2+6x+5=x2+5x+6,解得x=1, 所以x+1=2,x+3=4,x+5=6,x+2=3, 所以这两个两位数分别为24和63. 初中同步培优卷 $